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Forschung / Research



Austrittszeiten der Irrfahrten (Professor Wachtel)

Austrittszeiten der Irrfahrten spielen eine sehr wichtige Rolle in vielen stochastischen Modellen in der Physik, Finanzmathematik und Statistik. Am Lehrstuhl werden insbesondere Austrittsprobleme mit beweglichen Grenzen untersucht, die bei der Konstruktion von sequentiellen Prozeduren in Statistik von sehr großer Bedeutung sind. Außerdem werden die Austrittszeiten aus Kegeln von mehrdimensionalen Irrfahrten untersucht. Von besonderem Interesse sind die Grenzwertsätze für die auf Nichtaustreten bedingten Irrfahrten. Solche Aussagen finden zahlreiche Anwendungen in Kombinatorik.


Asymptotisches Verhalten von Markovketten (Professor Wachtel)

Seit der Arbeit von Lamperit in den 60er Jahren genießen die Markovketten mit asymptotisch verschwindendem Drift ständige Aufmerksamkeit von Stochastikern. Sehr intensiv wurde die Frage der Rekurrenz/Transparenz bearbeitet. Außerdem wurden etliche relativ grobe Abschätzungen für invariante Maße solcher Ketten hergeleitet. Das Hauptziel in diesem Projekt ist es, das präzise Tail-Verhalten von stationären Maßen zu klären. Dafür wird Potenzialtheorie benutzt.


Stochastische Geometrie (Professor Heinrich)

Die stochastische Geometrie stellt Modelle zur Beschreibung und Verfahren zur statistischen Analyse von zufälligen geometrischen Strukturen zur Verfügung. Derartige Gebilde treten u.a. als Gefügestrukturen oder bei mikorskopischen Gewebeuntersuchungen und generell bei Problemen der Bildverarbeitung und Mustererkennung auf. Zu den Grundtypen von Modellen zählen die zufälligen Punktmuster (Punktprozesse), Geraden- und Faserprozesse, zufällige Mosaike sowie Keim-Korn-Prozesse. Beim letzteren handelt es sich um zufällig verstreute und teils sich überlappende zufällige Figuren. Zur Behandlung solcher Zufallsmengen werden geometrische und stochastische Kenngrößen definiert, zu deren Analyse fortgeschrittene Ergebnisse sowohl der Integralgeometrie als auch der Wahrscheinlichkeitsrechnung herangezogen werden. Ein interessantes und praktisch relevantes Problem ist die Gewinnung von Aussagen über 3D-Strukturen durch die statistische Analyse von linearen und ebenen Schnitten. Derartige Methoden werden unter dem Schlagwort "Stereologie" zusammengefasst.


Räumliche Statistik und Stereologie (Professor Heinrich)

Alle stochastisch-geometrischen Modelle von punkt-, linien- oder kornartigen Strukturen in einem euklidischen Raum verlangen geeignete statistische Verfahren zur Schätzung sowohl von Parametern als auch von nichtparametrischer Kenngrößen, welche die Modelle beschreiben. Damit verbunden sind auch statistische Testverfahren und Methoden zur Modellidentifikation. In der Regel wird dabei von einer einzigen Beobachtung in einem möglichst großen Beobachtungsfenster ausgegangen. Meist wird eine unbegrenzt wachsende Fensterfolge (large domain statistics) angenommen, was bei einigen Modellklassen – insbesondere beim Poissonschen Kornmodell (Boolesches Modell) – zu akzeptablen asymptotischen Verfahren geführt hat. Insgesamt ist festzustellen, daß im Vergleich zur klassischen Mathematischen Statistik die räumlich Statistik noch recht gering entwickelt ist. Hauptprobleme sind einerseits die Modellkomplexität und die vergleichsweise geringe Information aus der Beobachtung und andererseits die den Modellen innewohnenden stochastischen und geometrischen Abhängigkeiten. Ein interessantes und praktisch relevantes Problem ist die Gewinnung von Aussagen über 3D-Strukturen durch die statistische Analyse von linearen und ebenen Schnitten. Derartige Methoden werden unter dem Schlagwort "Stereologie" zusammengefaßt.

Die jeweils aktuellen Arbeiten finden Sie in den Publikationsverzeichnisse der einzelnen Autoren (wie z.B. Heinrich).