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Seminar zur Homotopietheorie

Die Fundamentalgruppe eines topologischen Raums X ist die Menge aller punktierten Schleifen in X mit festem Basispunkt, modulo stetiger Deformation. Die Gruppenverknüpfung ist durch Verkettung von Schleifen gegeben. Dieser Begriff wurde 1895 von Poincaré entwickelt, unter anderem als Hilfsmittel zu seiner Klassifikation der Flächen.

Der erste Teil des Seminars befasst sich mit der Einführung und Anwendung dieses fundamentalen Objekts der Homotopietheorie, beispielsweise in der Algebra.

Im zweiten Teil werden wir uns mit Verallgemeinerungen dieses Konzepts befassen, den höheren Homotopiegruppen und der stabilen Homotopietheorie. Letztere bildet den konzeptionellen Rahmen für die gesamte moderne algebraische Topologie. Wichtige Beispiele sind singuläre Homologie, K-Theorie, Bordismus sowie die stabilen Homotopiegruppen. Diese Theorien sind Gegenstand aktueller Forschung und haben fundamentale Bedeutung in der heutigen Mathematik. Ihre Entdeckung führte zu vielen der spektakulärsten Theoreme der letzten Jahrzehnte, etwa zum Indexsatz oder zur Klassifikation von Vektorfeldern auf Sphären.

Je nach Interesse der Teilnehmer kann dieses Forschungsgebiet im Rahmen weiterer Veranstaltungen oder von Abschlussarbeiten vertieft werden.

Das Seminar richtet sich an Bachelor- und Masterstudenten mit Interesse an Geometrie und Topologie. Es sollten Vorkenntnisse im Umfang einer einschlägigen Bachelorvorlesung (Einführung in die Geometrie oder Topologie) vorliegen.

Das Seminar findet statt Montags 10:15 in Raum L1 3008. Der erste Termin ist der 13.04.2015.


Ablaufplan als PDF

Literatur

Für den ersten Teil des Seminars:
  1. May, J. P., A concise course in algebraic topology, Chicago Lectures in Mathematics, 1999 (online erhältlich J. Peter May's Homepage).
  2. tom Dieck, Tammo, Topologie, de Gruyter Lehrbuch, 1991.
  3. tom Dieck, Tammo, Algebraic topology, EMS Textbooks in Mathematics, 2008 (teilweise auch online erhältlich).
  4. Hatcher, Alan, Algebraic Topology (online erhältlich Alan Hatcher's Homepage).
Für den zweiten Teil des Seminars:
  1. Switzer, Robert M., Algebraic Topology–Homotopy and Homology, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen, Band 212, 1975.
  2. Atiyah, Michael, K-Theory, Advanced Books Classics, 1994.