Suche

Algebraische Topologie

Die offizielle Vorlesungsseite findet sich hier.

Neuigkeiten

Kapitel 2.V und damit alles außer dem Ausblick ist nun endlich bereit. Das einzige, was also noch fehlt ist der Beweis des lokalen Gradsatzes, den frag ich also nicht ab. Ebenso wenig irgendetwas was nach der Formulierung des Satzes von Eilenberg-Steenrod kommt (den habe ich etwas allgemeiner aufgeschrieben als in der Vorlesung). Die Formulierung des Gradsatzes sollte man aber schon im Kopf haben... sach ich ma.

Übersicht

Die Vorlesung findet dienstags 14:00 - 15:30 Uhr im Raum L/1008 und donnerstags 14:00 - 15:30 Uhr in Raum L/1009 statt. Die Übung findet montags 12:15 - 13:45 Uhr in Raum L/1008 statt. Sie wird von Moritz Meisel gehalten.

Beschreibung

Die Vorlesung wird sich in drei Themenblöcke gliedern.
Im ersten werden wir abstrakte (das heißt nicht in einen euklidischen Raum eingebettete) Mannigfaltigkeiten kennen lernen und ihr grundlegenden Eigenschaften erarbeiten. Hierbei werden wir auf zahlreiche Probleme stoßen, die erst mit den Methoden der späteren Kapitel (und teilweise weit darüber hinaus) gelöst werden können. Insbesondere werden die die Sprache der Faserbündel einführen.
Das zweite Kapitel widmet sich dann den einfachsten Faserbündeln, den sogenannten Überlagerungen. Diese tauchen überall in der Differentialtopologie und -geometrie, und sogar der höheren algebraischen Geometrie auf. Sie lassen sich mit Hilfe der Fundamentalgruppe vollständig klassifizieren. Diese Klassifikation werden wir im Rahmen der Kategorientheorie formulieren. Sie ist der Klassifkation von Körpererweiterungen in der Galoistheorie sehr ähnlich und, wenn die Zeit es erlaubt, können wir bei entsprechendem Vorwissen diese Analogie etwas ausarbeiten. Dies ist wohl eine der auf den ersten Blick überraschendsten Parallelen zwischen Topologie und Algebra.
Das dritte und bei weitem längste Kapitel führt dann eine neue Invariante in das Arsenal der Topologie ein: Homologie. Sie ist ähnlich der Fundamentalgruppe eine Art die Komplexität eines Raumes in Zahlen (und Gruppen) zu messen und auf diese Weise viele geometrische Probleme algebraisch zugänglich zu machen. Zugrunde liegt ihr die Theorie der Kettenkomplexe, die sich im Laufe der Zeit zu einem eigenen Gebiet, der homologischen Algebra, entwickelt hat, das in großen Teilen der Algebra, Zahlentheorie, Geometrie und Topologie heute ein unumgängliches Hilfmittel darstellt (es wird des öfteren etwas dümmlich gewitzelt, dass (Ko)Homologie die fünfte Grundrechenart der modernen Algebra darstellt). Hier werden wir die benötigten Resultate von Grund auf entwickeln. Insbesondere wollen wir uns mit dem Abbildungsgrad einer Abbildung zwischen geschlossenen Mannigfaltigkeiten beschäftigen.
Zuletzt werden wir uns mit diesen neuen Techniken bewaffnet wieder der geometrischen Probleme des ersten Kapitels zuwenden und feststellen, dass sich einige von ihnen nun von selbst lösen, einige etwas Arbeit erfordern und einige sich einfach nicht ergeben wollen.


Schlagwörter sind (ungefähr in Reihenfolge ihres Auftauchens):

Mannigfaltigkeiten, Vektor- und Faserbündel

Kategorien und Funktoren, Überlagerungstheorie

Simplizialkomplexe, Kettenkomplexe, singuläre Homologie, Zell- komplexe, Abbildungsgrad

Invarianz der Dimension, Brouwerscher Fixpunktsatz, Satz von Borsuk-Ulam, Satz vom Igel

Skript

Overview and fairytale
Chapter 1, Section I
Chapter 1, Section II
Chapter 2, Section I
Chapter 2, Section II
Chapter 2, Section III
Chapter 2, Section IV
Chapter 2, Section V
Outlook

Aufgabenblätter

Sheet no 1
Sheet no 2
Sheet no 3, Solution to Exercise 3.1
Sheet no 4
Sheet no 5
Sheet no 6
Sheet no 7
Sheet no 8
Sheet no 9
Sheet no 10
Sheet no 11
Sheet no 12
Sheet no 13
Sheet no 14

Quaternions, from Ebbinghaus et al, Numbers
The theorem of Brown-Seifert-van Kampen, from tom Dieck, Algebraic Topology

Literaturvorschl ge

Kapitel I:
T. Bröcker, K. Jänich: Einführung in die Differentialtopologie
T. tom Dieck: Topologie
K. Jänich: Vektoranalysis
J. Lee: Introduction to smooth manifolds

Kapitel II:
T. tom Dieck: Topologie
K. Jänich: Topologie - so schreibt man über Mathematik!
G. Laures, M. Szymik: Grundkurs Topologie
J. Munkres: Topology

Kapitel III:
G. Bredon: Topology and Geometry
A. Hatcher: Algebraic Topology - online verfügbar
W. Lück: Algebraische Topologie - mein Chef in Bonn
E. Spanier: Algebraic Toplogy
G. Whitehead: Elements of Homotopy theory

Desweiteren findet man im Internet wunderbare Skripten: Hier etwa eines von Friedhelm Waldhausen (einem der Titanen der modernen Topologie) und hier und hier eines von Christian Ausoni, dessen Assistent ich seinerzeit war.