Amplitudengleichungen für stochastische PDEs


Projektstart: 01.01.2000
Laufzeit: unbefristet
Projektträger: Universität Augsburg, RWTH Aachen (bis 2006), DFG-Forschungsstipendium BL535/5-1 (2003), DFG-Kongressreisen (2003,2005,2007)
Projektverantwortung vor Ort: Dirk Blömker

Zusammenfassung

Amplitudengleichungen beschreiben die wesentliche Dynamik komplizierter (stochastischer) partieller Differentialgleichungen in der Nähe eines Stabilitätswechsels. Hierbei wird die natürliche Separation der Zeitskalen für einen Mehrskalenansatz genutzt.
Zentrales Ziel dieses Projektes ist es, nachdem Ergebnisse dieses Typs in der physikalischen Theorie formal hergeleitet und erfolgreich angewendet werden, und für deterministiche partielle Differentialgleichungen (PDEs) auch rigorose Ergebnisse bekannt sind, diese für stochastische PDEs rigoros zu verifizieren und dann anzuwenden.

Beschreibung

Dies ist ein langjährig angelegtes Forschungsprojekt, dass eine Vielzahl von Unterprojekten zur Folge hat. Dies sind zum Beipiel Stabilisierung durch additives Rauschen, oder Modulationsgleichungen auf grossen Gebieten. Eine wichtige Publikation, die Ergebnisse des Forschungsprojektes vor der Übersiedlung nach Augsburg zusammenfasst, ist:
Amplitude equations for stochastic partial differential equations. World Scientific Publishing, Singapore, (2007).
Kooperationspartner: Martin Hairer (Warwick)
Grigorios A. Pavliotis (Imperial)
Wael Wagih M. E. Elhaddad (Augsburg)
Guido Schneider (Stuttgart)
Stanislaus Maier-Paape (Aachen)


Publikationen

  1. Amplitude equations for stochastic partial differential equations.
    126S., Vol. 3 of Interdisciplinary Mathematical Sciences,
    World Scientific Publishing, Singapore, (2007)

  2. Some Remarks on Stabilization by Additive Noise.
    (with M. Hairer, G. Pavliotis)
    Preprint, 2008.

  3. Multiscale analysis for SPDEs with quadratic nonlinearities.
    (with M. Hairer, G.A. Pavliotis),
    Nonlinearity, 20:1721--1744, 2007

  4. Stochastic Swift-Hohenberg equation near a change of stability.
    (with M. Hairer, G. Pavliotis),
    pp. 27--37 in Proceedingd of Equadiff 11,
    Proceedings of minisymposia and contributed talks, July 25-29, 2005, Bratislava,
    (Ed. M. Fila, A. Handlovicova, K. Mikula, M. Medved, P. Quittner und D. Sevcovic), 2007.

  5. Approximation of the stochastic Rayleigh-Benard problem
    near the onset of convection and related problems.
    Stochastics and Dynamics, 23(2):255--274, 2005.

  6. Modulation equation for SPDEs on large domains.
    (with M. Hairer, G. Pavliotis),
    Communications in Mathematical Physics, 258:479--512, 2005.

  7. Amplitude equations for SPDEs: Approximate centre manifolds and invariant measures.
    (with M. Hairer),
    pp. 41--60, IMA Volume 140 Probability and partial differential equations in modern applied mathematics,
    (Ed. J. Duan, E.C. Waymire), Springer, 2005

  8. Stochastic Modulation equations.
    (with M. Hairer, G. Pavliotis),
    PAMM, 5(1):611--612, 2005,
    Proceedings of the GAMM anual meeting.

  9. Multiscale expansion of invariant measures.
    (with M. Hairer),
    Communications in Mathematical Physics, 251(3):515--555, 2004.

  10. Amplitude equations for locally cubic non-autonomous nonlinearities.
    SIAM Journal on Applied Dynamical Systems, 2(2):464--486, 2003.

  11. The stochastic Landau equation as an amplitude equation.
    (with S. Maier-Paape, G. Schneider),
    Discrete and Continuous Dynamical Systems, Series B, 1(4):527--541, 2001.