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Ringe 3: Kongruenzrechnung


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Mögliche Literatur: S. Bosch, Algebra, Seiten 42 - 44.

Aufgabe 1 (Chinesischer Restsatz)

  1. Sei $R$ ein Ring (kommutativ mit $1$) und seien $I,J\subset R$ zwei koprime Ideale, d.h. $I+J=R$. Zeige, dass es einen Isomorphismus von Ringen $$R/(I\cdot J)\overset{\sim}{\longrightarrow}R/I\times R/J$$ gibt. Gib explizit dessen Abbildungsvorschrift und die der Umkehrabbildung an.
  2. Ist $R$ ein Ring wie in Teil a., und seien $I_1,\ldots ,I_r\subset R$ paarweise koprime Ideale, also $\forall i\neq j\colon I_i+I_j=R$. Zeige, dass es einen Isomorphismus $$R/(I_1\cdot\ldots\cdot I_r)\overset{\sim}{\longrightarrow}R/I_1\times\ldots\times R/I_r$$ gibt.

Tipps
  • Zu a). Wegen $I+J=R$ findet man $i\in I$, $j\in J$ mit $i+j=1$. Definiere die Umkehrabbildung durch $(a_1,a_2)\mapsto ja_1+ia_2$.
  • Zu b). Führe den Beweis durch Induktion über die Anzahl $r$ der Ideale und verwende für den Induktionsschritt Teil a) - überzeuge Dich hierfür davon, dass unter den gegebenen Voraussetzungen $I_1\cdot\ldots\cdot I_{r-1}$ koprim zu $I_r$ ist. Eeine Möglichkeit hierfür: Wähle für alle $i\neq r$ Elemente $a_i\in I_i$, $b_i\in I_r$, so dass $a_i+b_i=1$ gilt (wieso geht das?) und betrachte dann $\prod_i(a_i+b_i)$.

Beispiel(e)

Gib einen Isomorphismus $\Q[X]/(X^4-1)\rightarrow\Q[X]/(X^2-1)\times\Q[X]/(X^2+1)$ an, zusammen mit einer expliziten Umkehrabbildung.

Aufgabe 2

Seien $p_1,\ldots,p_r$ paarweise teilerfremde Zahlen aus $\Z$. Überlege Dir, dass es nach Aufgabe 1 einen Isomorphismus $$\pi\colon\Z/(p_1\cdots p_r)\Z\overset{\sim}{\longrightarrow}\Z/p_1\Z\times\ldots\times \Z/p_r\Z$$ gibt. Überlege Dir, wie sich die Umkehrabbildung mit Hilfe der $p_i$, $i=1,\ldots ,r$, konstruieren lässt.

Anleitung

Nach Voraussetzung ist $p_i$ teilerfremd zu $\prod_{j\neq i}p_j$ für jedes $i\in\{1,\ldots ,r\}$, d.h. $\prod_{i\neq j}p_j$ ist invertierbar modulo $p_i$. Sei $\overline a_i$ das Inverse in $\Z/p_i\Z$ und $a_i\in\Z$ mit $a_i=\overline a_i\mod p_i$. Setze dann $e_i\coloneqq \prod_{i\neq j}p_j\cdot a_i\in\Z/(p_1\cdots p_r)\Z$ und setze $\pi^{-1}(x_1,\ldots,x_r)\coloneqq \sum_{i=1}^re_ix_i$. Zeige dann, dass $\pi^{-1}$ in der Tat die Umkehrabbildung zu $\pi$ ist.

Beispiel(e)

Gib eine explizite Umkehrabbildung zum kanonischen Morphismus $$\Z_{60}\rightarrow\Z_3\times\Z_4\times\Z_5$$ an.

Aufgabe 3

Löse Examensaufgabe H14-T2-A1 mit Hilfe des chinesischen Restsatzes, zeige also:
Ein Ring $R$ (kommutativ mit $1$) ist genau dann direktes Produkt von zwei nichttrivialen Ringen, also $R\simeq R_1\times R_2$ mit $R_1,R_2\neq 0$, wenn $R$ ein nichttriviales idempotentes Element besitzt, wenn also $e\in R\setminus \{0,1\}$ existiert mit $e^2=e$.

Tipps

Zu "$\Leftarrow$'': Betrachte die Ideale $(e)$ und $(1-e)$ in $R$.

Aufgabe 4 (Hensels Lemma)

Für ein $f\in\Z[X]$ wollen wir die Existenz von Lösungen von $f(X)=0$ modulo einer Primpotenz $p^n$, also $p$ prim, $n\in\N$, untersuchen. Zeige Folgendes: Ist $r\in\Z/p\Z$ eine Lösung der Gleichung $f(X)=0\mod p$ und ist $f'(r)\neq 0\in\Z/p\Z$ (hier soll $f'$ die Ableitung von $f$ bezeichnen), so existieren für alle $n\in\N$ eindeutige $s_n\in\Z/p^n\Z$, mit $s_1=r$, so dass $f(s_n)\equiv 0\mod p^{n}$ und $s_n\equiv s_{n-1}\mod p^{n-1}$ für alle $n$, insbesondere $s_n\equiv s_1=r\mod p$. Zu zeigen ist also kurz gesagt, dass einfache Nullstellen von $f$ in $\Z/p\Z$ eindeutig Lösungen von $f(X)=0$ in $\Z/p^n\Z$ entsprechen.

Anleitung

Führe den Beweis durch Induktion über $n$. Sei für den Induktionsschritt $s$ eine Lösung von $f(X)=0\mod p^{n+1}$. Beobachte, dass dann insbesondere $f(s)=0\mod p^n$ gilt, dass also eine Lösung $r$ von $f(X)=0\mod p^n$ existiert mit $r=s\mod p^n$, also $s=r+ap^n$ für ein $a\in\Z/p\Z$. Schreibe nun $f$ allgemein als $f(X)=\sum_{i=0}^ma_iX^i$ und zeige, dass gilt $$f(r+ap^n)=f(r)+ap^nf'(r)\mod p^{n+1}$$ für $f'$ die Ableitung von $f$. Schließe den Induktionsschritt ab, indem Du Dir überlegst, dass mit $f(r+ap^n)=f(s)=0\mod p^{n+1}$ (nach Voraussetzung) $a$ modulo $p$ eindeutig bestimmt ist (wähle dazu ein Inverses $b=f'(r)^{-1}$ von $f'(r)$ modulo $p$).

Beispiel(e)

Wie viele Lösungen hat die Gleichung $X^2+2=0$ in $\Z_{81}$? Wie viele Lösungen hat die Gleichung in $\Z_{162}$?