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Ringe 2: Faktorielle und Euklidische Ringe


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Mögliche Literatur: S. Bosch, Algebra, Seiten 44 - 53.

Aufgabe 1

Sei $R$ ein Ring (kommutativ mit $1$) und sei $a\in R\setminus R^\times $. Definiere, wann $a$ irreduzibel und wann $a$ prim heißt. Zeige:
  1. Ist $R$ ein Integritätsbereich, so ist jedes Primelement in $R$ irreduzibel.
  2. Ist $R$ faktoriell, gilt auch die Umkehrung, dass also jedes irreduzible Element von $R$ auch bereits prim ist.

Tipps
  • Zu a). Sei also $p\in R$ prim und es gelte $p=uv$ für gewisse $u,v\in R$. Zu zeigen ist dann ja, dass $u\in R^\times $ oder $v\in R^\times $ gilt. Nutze dazu die Definition eines Primelementes und die Tatsache, dass man in Integritätsbereichen "Kürzen'' kann (wieso?).
  • Zu b). Sei $p\in R$ irreduzibel und es gelte $p\vert ab$ für $a,b\in R$, also $ab=cp$ für ein $c\in R$. Zerlege dann alle beteiligten Faktoren in eindeutige irreduzible Faktoren (was ja möglich ist, da $R$ faktoriell ist) und vergleiche.

Beispiel(e)

Betrachte den Ring $R=\Z[\sqrt{-5}]$ und die Gleichung $$2\cdot 3 = 6 = (1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}).$$ Zeige, dass $3\in R$ (ebenso wie $2$, $1+\sqrt{-5}$ und $1-\sqrt{-5}$) ein irreduzibles Element ist, welches aber nicht prim ist.

Bemerkung

Oft (z.B. hier bei Wikipedia) oder auch in Algebra von S. Bosch) wird für die Definition eines Hauptidealringes $R$ vorausgesetzt, dass $R$ ein Integritätsbereich ist. Wir wollen hier einen Ring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, als Hauptidealring und einen Integritätsbereich mit der selben Eigenschaft als Hauptidealbereich bezeichnen.

Aufgabe 2

Gib eine vollständige Definition eines Euklidischen Ringes an und zeige:
  1. $R$ Euklidisch$\quad\Rightarrow\quad R$ Hauptidealbereich.
  2. Bonusaufgabe:Zeige zusätzlich: Hauptidealbereich$\quad\Rightarrow\quad R$ faktoriell. Hinweis: Zeige oder verwende ohne Beweis, dass ein Hauptidealbereich $R$ Noethersch ist (ein Ring $R$ heißt Noethersch, wenn für jede Inklusionskette $I_1\subset I_2\subset I_3\subset \ldots $ von Idealen $I_j\subset R$ gilt, dass es ein $r\in\mathbb{N}$ gibt, so dass $I_r=I_{r+1}=I_{r+2}=\ldots$, also $I_s=I_r$ für alle $s\geq r$).
  3. Überlege Dir, dass Euklidische Ringe gerade so definiert sind, dass der bekannte 'Euklidische Algorithmus' zum Auffinden des größten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen in Euklidischen Ringen funktioniert. Wiederhole den erweiterten Euklidischen Algorithmus und verwende ihn, um eine Darstellung $$\mathrm{ggT}(78,99)=r\cdot 78+s\cdot 99,\quad r,s\in\mathbb{Z}$$ zu berechnen (Zahlenbeispiel von Wikipedia)

Tipps
  • Zu a). In einem beliebigen Ideal $I$ betrachte das Element $a\in I\setminus\{0\}$ von minimaler Norm und zeige $I=(a)$. Falls die allgemeine Situation Schwierigkeiten macht überlege Dir z.B. zuerst den Fall von $R=\Z$ mit der Betragsnorm.
  • Zu b). Zeige erst, dass für ein beliebiges $a\in R\setminus R^\times $ eine Zerlegung in irreduzible Faktoren existiert, indem Du folgendermaßen vorgehst: Überlege Dir zuerst, dass in einem Hauptidealbereich jedes irreduzible Element bereits prim ist, indem du zeigst, dass für ein solches Element $a$ das Hauptideal $(a)$ maximal ist. Betrachte nun ein beliebiges Element $a$. Ist $a$ bereits irreduzibel (bzw. prim), so ist nichts zu zeigen. Andernfalls existieren $b,c\in R\setminus R^\times$ mit $a=b\cdot c$. Sind $b$ und $c$ nicht irreduzibel (bzw. prim), so wiederhole den Vorgang für beide. Verwende die Noetherizität von $R$, um zu zeigen, dass dieser Prozess nach endlich vielen Schritten endet. Zeige danach, dass zwei gegebene Faktorisierungen in irreduzible bzw. Primaktoren bis auf Reihenfolge der Faktoren gleich sein müssen. Für den Beweis der Noetherizität von Hauptidealringen überlege Dir, dass für eine aufsteigende Kette von Idealen die Vereinigung all dieser Ideale wieder ein (Haupt-)Ideal ist und dass sich also ein Ideal in der Kette findet, das bereits den Erzeuger dieses Ideals enthält.

Beispiel(e)
  • Überlege Dir ein Beispiel für einen faktoriellen Ring, der kein Hauptidealbereich ist.
  • Nutze den erweiterten Euklidischen Algorithmus, um $\ggt(-2+6i,7-i)$ in $\Z[i]$ zu berechnen. (Tipp: Löse zuerst die nächste Aufgabe)

Aufgabe 3

  1. Zeige, dass für einen Körper $K$ der Polynomring $K [ X ] $ Euklidisch ist.
  2. Zeige, dass $\mathbb{Z}[i]$ mit der Norm $$N\colon \mathbb{Z}[i]\rightarrow \mathbb{N},\quad a+ib\mapsto a^2+b^2$$ Euklidisch ist.
  3. Zeige, dass $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$, mit der Norm $$N\colon\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]\rightarrow\mathbb{N},\quad a+b\sqrt{-3}\mapsto a^2+3b^2$$ nicht Euklidisch ist.
  4. Zeige, dass $\mathbb{Z}[\omega]$ mit $\omega :=(1+\sqrt{-3})/2$ und der Norm $$N\colon \mathbb{Z}[\omega]\rightarrow\mathbb{N},\quad a+b\omega \mapsto (a+b\omega)(a+b\overline\omega)$$ Euklidisch ist (wobei $\overline{(\bullet)}$ die komplexe Konjugation bezeichnet).

Tipps
  • Zu b) und d).Fasse diese Ringe als 'Gitter' in $\mathbb{C}$ auf (zeichne Dir den Unterring $\mathbb{Z}[i]$ bzw. $\mathbb{Z}[\omega]$ als Punkte in eine Skizze von $\mathbb{C}$ ein). Wir betrachten im Folgenden nur den Fall $\mathbb{Z}[i]$, Teil d) funktioniert analog). Beobachte, dass die gegebene Norm gerade mit der aus $\mathbb{C}$ bekannten Norm übereinstimmt und folgere, dass bezüglich der Standardmetrik in $\mathbb{C}$ der Abstand von einem beliebigen Punkt aus $\mathbb{C}$ zum nächstgelegenen Punkt aus $\mathbb{Z}[i]$ höchstens $\sqrt{2}/2$ ist. Nutze diese Überlegung, um für beliebige $x,y\in\mathbb{Z}[i]$ ein $q\in\mathbb{Z}[i]$ zu finden, so dass $N(x/y-q)\leq \sqrt{2}/2 <1$ ist (in $\mathbb{C}$), so dass also gilt $x=qy+r$ für ein $r$ mit $N(r)< N(y)$ Anleitung: Verwende für $q$ denjenigen 'Gitterpunkt' von $\Z[i]$, der am nächsten an $x/y\in\C$ liegt und definiere $r\coloneqq x-qy\in\Z[i]$).
  • Zu c). Zeige beispielsweise, dass $2\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ irreduzibel, aber nicht prim ist. Nutze zum Nachweis der Irreduzibilität die gegebene Norm (zeige dazu, dass diese multiplikativ ist).

Aufgabe 4

Verwende ohne Beweis, dass der Ring $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ mit der Norm $$\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]\rightarrow \mathbb{N},\quad a+b\sqrt{-2}\mapsto a^2+2b^2$$ Euklidisch ist.

  1. Zeige, dass die gegebene Norm multiplikativ ist.
  2. Zeige, dass ein Element in $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ genau dann eine Einheit ist, wenn seine Norm $1$ ist.
  3. Zeige, dass für $x\in \mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ gilt: Ist $N(x)$ prim, so ist $x$ irreduzibel in $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$. Finde ein irreduzibles Element in $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$, dessen Norm nicht prim ist.

Tipps

Zu a) und b). Drücke wieder die Norm mit Hilfe der komplexen Konjugation aus.