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Ringe 1: Ringe und Ideale


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Mögliche Literatur: S. Bosch, Algebra, Seiten 25 - 43.

Aufgabe 1

Sei $R$ ein Ring (wie hier immer kommutativ mit $1$) und seien $I,J\subset R$ zwei Ideale. Zeige:
  1. Die Mengen $I\cap J$ und $I+J:=\{ i+j\vert i\in I,~j\in J\}$ sind wieder Ideale in $R$. Außerdem setzen wir $I\cdot J:=\langle i\cdot j\vert i\in I,~j\in J\rangle $. (Hilfreiche Bonusaufgabe: Überlege Dir mit Hilfe eines Gegenbeispiels, dass $\{i\cdot j\vert i\in I,~j\in J\}$ im Allgemeinen nicht wieder ein Ideal sein muss.) Zeige weiter, dass stets $I\cdot J\subset I\cap J$ gilt, und dass im Fall $I+J=R$ schon $I\cdot J=I\cap J$ ist.
  2. Ist $K\subset R$ ein Ideal, das in $I\cup J$ enthalten ist, so gilt bereits $K\subset I$ oder $K\subset J$. Insbesondere ist $I\cup J$ im Allgemeinen nicht wieder ein Ideal von $R$.

Tipps
  • Zu a). Um $I+J=R\Rightarrow I\cdot J=I\cap J$ zu zeigen, überlege Dir, dass es, wenn $I+J=R$ gilt, also $i\in I$ und $j\in J$ geben muss, so dass $i+j=1$ ist. Verwende dies, um die Inklusion $I\cap J\subset I\cdot J$ zu zeigen. Tipp zur Bonusaufgabe: Wieso sollten $I$ und $J$ hier keine Hauptideale sein? Betrachte z.B. den Ring $\R[X,Y,Z,W]$...
  • Zu b). Nimm an, es gebe $k_1,k_2\in K$, so dass $k_1\in I\setminus (I\cap J)$ und $k_2\in J\setminus (I\cap J)$. Betrachte dann $k_1+k_2$.

Beispiel(e)
Vollziehe die obigen Aussagen an Beispielen der Form $n\Z\subset \Z$ nach. Überlege Dir weitere Beispiele!

Aufgabe 2

  1. Seien $\varphi\colon R\rightarrow S$ ein Morphismus von Ringen und $I\subset R$, $J\subset S$ (Prim-)Ideale. Sind $\varphi(I)$ und $\varphi^{-1}(J)$ wieder (Prim-)Ideale? Was ist, wenn $\varphi $ surjektiv ist?
  2. Sei $R$ ein Ring (kommutativ mit $1$) und $I\subset R$ ein Ideal. Zeige, dass eine Bijektion $$\{J\subset R\vert J\text{ Ideal mit }I\subset J\}\leftrightarrow \{J\subset R/I\vert J\text{ Ideal}\}$$ existiert, und dass diese Primideale auf Primideale abbildet.

Tipps

Zu b). Verwende den Korrespondenzsatz für Gruppen. Was ist dann nur noch zu zeigen? (vgl. Definition eines Ideales!)

Beispiel(e)

Vergleiche die Ideale von $\Z[X]$ mit solchen von $\Z[X]/(X^2+1)$. Überlege Dir weitere Beispiele!

Aufgabe 3

Seien $R$ ein Ring (kommutativ mit $1$) und $I,J\subset R$ Ideale. Zeige:
  1. $I$ ist genau dann ein Primideal, wenn $R/I$ ein Integritätsbereich ist.
  2. $I$ ist genau dann ein maximales Ideal, wenn $R/I$ ein Körper ist.

Tipps

Zu b). Mögliche Variante: Verwende den Korrespondenzsatz aus Aufgabe 2 b).

Beispiel(e)
  • Ist $I=(X+1)\subset\Z[X]$ ein Primideal? Ist $I$ maximal?
  • Ist $I=(X+1)\subset\Q[X]$ ein Primideal? Ist $I$ maximal?
  • Ist $I=(2,X^2+1)\subset\Z[X]$ ein Primideal? Ist $I$ maximal?
  • Ist $(X,Y)\subset \Q[X,Y]$ prim/maximal?

Aufgabe 4

Zeige, dass der Kern eines Ringmorphismus' stets ein Ideal ist und beweise den Homomorphiesatz für Ringe:
"Ist $\varphi\colon R\rightarrow S$ ein Morphismus von Ringen, so ist $$\overline\varphi\colon R/\ker(\varphi)\rightarrow S,\quad \overline\varphi(r\ker(\varphi))=\varphi(r)$$ ein (wohldefinierter und) injektiver Ringmorphismus."

Tipps
Verwende den Homomorphiesatz für Gruppen.

Aufgabe 5

  1. Sei $R$ ein Integritätsbereich. Sei weiter $ f \in R [ X ] $ beliebig und $ g \in R [ X ] $ so, dass der Leitkoeffizient von $ g $ eine Einheit ist, also $g= \sum _ { i=0 } ^ na _ iX ^i $ mit $ a _ n \in R^ \times $. Zeige, dass $q,r \in R [ X ] $ existieren mit $ \mathrm {deg}(r)< \mathrm{deg} (g) $ und $$ f= q \cdot g + r. $$
  2. Zeige: Ist $R$ ein Integritätsbereich und $f \in R [ X ]$ mit $ \deg(f)=n $, so besitzt $f$ in $R$ höchstens $n$ verschiedene Nullstellen.

Tipps
  • Zu a). Unterscheide zuerst die Fälle $ \mathrm {deg} (g)> \mathrm{deg} (f) $ und $ \mathrm {deg} (g) \leq \mathrm {deg} (f) $. Führe den Beweis im zweiten Fall dann durch Induktion über den Grad von $f$ (im Induktionsschritt ist es dabei entscheidend, dass der Leitkoeffizient von $ g $ eine Einheit ist, d.h. es existiert ein $ a \in R$, so dass $ f- a X ^ { \deg(f)- \deg (g)} g $ von Grad $ <\deg(f) $ ist).
  • Zu b). Folgere aus a), dass für eine Nullstelle $ b \in R$ von $f$ gilt $ (X-b) \vert f$ (in $ R [ X ] $).

Aufgabe 6

Sei $ R $ ein Integritätsbereich und $a \in R$ ein beliebiges Element. Gib einen Isomorphismus $R [ X ] /(X-a) \overset{\sim} { \longrightarrow } R $ an. Nutze eine analoge Idee, um eine vollständige Lösungsskizze zu Examensaufgabe F14-T2-A1 zu erstellen, die höchstens zwei Zeilen lang ist.