Suche

Polynome


Übungsblatt als .pdf $ \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\coloneqq}{:=} \newcommand{\eqqcolon}{=:} \newcommand{\legendre}[2]{\left(\frac{#1}{#2}\right)} \newcommand{\zmatrix}[4]{\left(\begin{matrix}#1\\ #3\end{matrix}\right)} \DeclareMathOperator{\gal}{Gal} \DeclareMathOperator{\mat}{Mat} \DeclareMathOperator{\ggt}{ggT} \DeclareMathOperator{\kgv}{kgV} \DeclareMathOperator{\id}{Id} \DeclareMathOperator{\modu}{mod} \DeclareMathOperator{\aut}{Aut} \DeclareMathOperator{\sym}{S} \DeclareMathOperator{\asym}{A} \DeclareMathOperator{\gl}{GL} \DeclareMathOperator{\discr}{disc} \DeclareMathOperator{\zerf}{Zerf} \DeclareMathOperator{\er}{ER} \DeclareMathOperator{\cha}{char} \DeclareMathOperator{\ord}{ord} \DeclareMathOperator{\syl}{Syl} \DeclareMathOperator{\slg}{SL} \DeclareMathOperator{\gal}{Gal} \DeclareMathOperator{\mat}{Mat} \DeclareMathOperator{\ggt}{ggT} \DeclareMathOperator{\kgv}{kgV} \DeclareMathOperator{\id}{Id} \DeclareMathOperator{\modu}{mod} \DeclareMathOperator{\aut}{Aut} \DeclareMathOperator{\sym}{S} \DeclareMathOperator{\asym}{A} \DeclareMathOperator{\gl}{GL} \DeclareMathOperator{\discr}{disc} \DeclareMathOperator{\zerf}{Zerf} \DeclareMathOperator{\er}{ER} \DeclareMathOperator{\cha}{char} \DeclareMathOperator{\ord}{ord} \DeclareMathOperator{\syl}{Syl} \DeclareMathOperator{\im}{Im} $

Mögliche Literatur: S. Bosch, Algebra, Seiten 61 - 68, und Wikipedia.

Aufgabe 1

Sei $ R $ ein faktorieller Ring (falls Dir der Einstieg in diese Aufgabe schwerfällt, löse die Aufgabe zuerst für $ R=\Z $ und übertrage Deinen Beweis anschließend auf einen beliebigen faktoriellen Ring!).
  1. Wiederhole, was der Inhalt eines Polynomes ist, und wann ein Polynom primitiv und wann es normiert genannt wird, und mache Dir klar, dass beispielsweise normierte Polynome insbesondere auch primitiv sind. Vollziehe außerdem nach, wie sich das Konzept von Inhalt bzw. Pimitivität eines Polynomes auf Polynome aus $ Q(R)[X] $ erweitern lässt, also auf Polynome über dem Quotientenkörper $ Q(R) $ von $ R $ . (Falls Du beschlossen hast, die Aufgabe zuerst für $ R=\Z $ zu lösen wäre hier also $ Q(R)=Q(\Z)=\Q $ .)
  2. Zeige, dass der Polynomring über $ R $ in einer Variable $ R[X] $ wieder faktoriell ist. Überlege Dir dazu, dass die irreduziblen Elemente aus $ R[X] $ gerade die irreduziblen Elemente aus $ R\subset R[X] $ und diejenigen primitiven Polynome aus $ R[X] $ sind, die irreduzibel in $ Q(R)[X] $ sind. Verwende dazu den Begriff des Inhaltes eines Polynomes und zeige, dass ein solches Polynom schon prim in $ R[X] $ ist. Zeige dann, dass sich jedes Polynom in $ R[X] $ als eindeutiges Produkt solcher Primelemente schreiben lässt (verwende dazu, dass $ R $ und $ Q(R)[X] $ schon als faktoriell bekannt sind).

Anleitung
  • Zu a). Zur Verallgemeinerung des Inhaltes auf Polynome in $ Q(R)[X] $ : Der Inhalt $ c(f)\in Q(R) $ von einem Polynom $ f\in Q(R)[X] $ sollte derart definiert sein, dass die Koeffizienten von $ \tilde f\coloneqq 1/c(f)\cdot f $ keinen gemeinsamen Primfaktor mehr haben (beachte, dass nun auch negative Potenzen der Primfaktoren auftreten können). Überzeuge Dich davon, dass für ein Polynom $ f\in Q(R)[X] $ gilt: $ c(f)=1\Rightarrow f\in R[X] $ .
  • Zu b). (vgl. Algebra von S. Bosch)
    • Zeige, dass ein Primelement $ p\in R $ auch prim in $ R[X] $ ist. (Eine Möglichkeit hierfür: Gib einen Isomorphismus $ R[X]/(p)\overset{\simeq}{\rightarrow}R/(p)[X] $ an -- wieso genügt das schon?)
    • Für ein primitives $ f\in R[X] $ , das prim in $ Q(R)[X] $ ist, betrachte $ g,h\in R[X] $ mit $ f\vert gh $ . Es folgt $ f\vert g $ oder $ f\vert h $ in $ Q(R)[X] $ nach Voraussetzung. Wieso liefert das bereits $ f\vert g $ oder $ f\vert h $ in $ R[X] $ ? Betrachte die Inhalte einer möglichen Faktorisierung! (Erinnere Dich, dass ein Polynom aus $ Q(R)[X] $ mit Inhalt $ 1 $ schon in $ R[X] $ liegt, vgl. den Tipp zu a).
    • Wie lässt sich ein beliebiges $ f\in R[X] $ eindeutig in ein $ r\in R $ und ein primitives Polynom $ \tilde f\in R[X] $ zerlegen? Wieso liefert die (eindeutige) Zerlegung von $ \tilde f $ in $ Q(R)[X] $ in irreduzible Faktoren eine (eindeutige) Zerlegung von $ \tilde f $ in $ R[X] $ in primitive Faktoren (die in $ Q(R)[X] $ irreduzibel sind, also irreduzibel in $ R[X] $ sind nach der obigen Überlegung)?

Beispiel(e)

Finde ein reduzibles Polynom in $ \Z[X] $ , welches irreduzibel in $ \Q[X] $ ist.

Aufgabe 2

Sei $ R $ ein faktorieller Ring und $ f=\sum_{i=0}^na_iX^i\in R[X] $ ein beliebiges Polynom über $ R $ (falls das die Aufgabe erleichtern sollte verwende wieder zuerst $ R=\Z $ und übetrage Deine Beweise dann direkt auf den Fall eines beliebigen faktoriellen Ringes $ R $ ).
  1. Ist $ f $ normiert und $ n=\deg(f)\in\{2,3\} $ , so ist $ f\in R[X] $ genau dann irreduzibel, wenn $ f $ keine Nullstelle in $ R $ besitzt.
  2. $ f $ ist genau dann irreduzibel, wenn $ \tilde f $ irreduzibel ist, wobei $ \tilde f(X)=f(X+n) $ sei, für ein beliebiges $ n\in\Z $ .
  3. Eisenstein-Kriterium: Ist $ f $ primitiv und existiert ein Primelement $ p\in R $ , so dass $ p\vert a_i $ für alle $ i\in\{0,\ldots , n-1\} $ , aber $ p $ teilt nicht $ a_n $ und $ p^2 $ teilt nicht $ a_0 $ , so ist $ f\in R[X] $ irreduzibel.
  4. Reduktionskriterium: Ist $ f=\sum_{i=0}^na_iX^i\in R[X] $ primitiv und existiert ein Primelement $ p\in R $ , so dass $ p $ nicht $ a_n $ teilt und das Bild $ \phi(f) $ von $ f $ unter dem kanonischen Morphismus $ \phi\colon R[X]\rightarrow R/(p)[X] $ (überlege Dir, wie dieser Morphismus aussieht!) irreduzibel (in $ R/(p)[X] $ ) ist, so ist $ f $ irreduzibel in $ R[X] $ .

Tipps
  • Zu a). Bei einer der Richtungen hilft möglicherweise Aufgabe 5 von Übungsblatt 5.
  • Zu c). Mögliche kurze Variante: Nimm an, es existiere eine Zerlegung und betrachte diese in $ R/(p)[X] $ - was lässt sich dann über die konstanten Koeffizienten der Faktoren sagen, um einen Widerspruch zur Voraussetzung, dass $ p^2 $ nicht $ a_0 $ teilt, zu erhalten?
  • Zu d). Nimm wieder an, es gäbe eine entsprechende Zerlegung, und transportiere diese nach $ R/(p)[X] $ , um einen Widerspruch zur Irreduzibilität von $ \phi(f) $ zu erhalten.

Beispiel(e)

(Aus Algebra von S. Bosch)

  • Ist $ X^4+3X^2+X^2-2X+1\in\Q[X] $ irreduzibel?
  • Ist $ X^2Y+XY^2-X-Y+1\in\Q[X,Y] $ irreduzibel?
  • Ist $ X^2YZ-X^2Y+XY+XZ+Z+Y\in\R[X,Y,Z] $ irreduzibel?

Aufgabe 3

Es sei $ f=\sum_{i=0}^na_iX^i\in\Z[X] $ (mit $ a_n\neq 0 $ ). Zeige: Ist $ a/b\in\Q $ eine Nullstelle von $ f $ (ohne Einschränkung $ \ggt(a,b)=1 $ ), dann gilt $ b\vert a_n $ und $ a\vert a_0 $ .

Beispiel(e)

Ist $ X^3+4X^2-7X+6\in\Q[X] $ irreduzibel?

Aufgabe 4

Sei $ K $ ein beliebiger Körper (oder auch nur ein beliebiger faktorieller Ring). Zeige, dass es in $ K[X] $ unendlich viele verschiedene irreduzible Polynome gibt.

Tipps

Erinnere Dich an Euklids Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Aufgabe 5

Zeige, dass das Polynom $ f(X)=X^4+1\in\Q[X] $ die folgende Eigenschaften hat:

  1. $ f $ ist irreduzibel über $ \Q $
  2. $ f $ ist reduzibel über $ \F_p $ für jede Primzahl $ p $ .
    Hinweis:Diese Aufgabe setzt einige wenige Grundkenntnisse zur Theorie endlicher Körper und algebraischer Erweiterungen voraus und sollte daher im Zweifelsfalle erst nach Abschluss von Übungsblatt 11 bearbeitet werden.

Anleitung
  • Um zu zeigen, dass $ f $ über $ \Q $ irreduzibel ist, überlege Dir, dass $ f(X) $ gerade $ \phi_8(X) $ , das Minimialpolynom der primitiven $ 8 $ -ten Einheitswurzeln über $ \Q $ ist.
  • Betrachte dann zuerst den Fall $ p=2 $ und beobachte, dass $ f $ über $ \F_2 $ nicht irreduzibel ist.
  • Sei nun $ p\neq 2 $ eine Primzahl. Der Plan ist folgender: Erinnere Dich, dass (und wie bzw. wieso) die Gruppe der $ 8 $ -ten Einheitswurzeln über $ \F_p $ isomorph zu $ \Z_8 $ ist, und dass die primitiven Einheitswurzeln unter dieser Isomorphie gerade den Einheiten $ \Z_8^\times\subset\Z_8 $ entsprechen. Beobachte, dass $ \Z_8^\times $ nicht zyklisch ist, dass also $ j^2=1\in\Z_8^\times $ gilt für alle $ j\in\Z_8^\times $ , und also $ \zeta^{j^2}=\zeta $ für jede (primitive) $ 8 $ -te Einheitswurzel über $ \F_p $ und jedes $ j\in\Z_8^\times $ . Nach Voraussetzung ( $ p\neq 2 $ prim) ist insbesonder $ p\mod 8 $ ein Element von $ \Z_8^\times $ und also $ \zeta^{p^2}=\zeta $ für jede (primitive) $ 8 $ -te Einheitswurzel $ \zeta $ über $ \F_p $ . Somit ist aber $ \zeta\in\F_{p^2} $ (vgl. Theorie endlicher Körper), also insbesondere $ [\F_p(\zeta):\F_p]\leq 2 $ , womit das Minimalpolynom von $ \zeta $ über $ \F_p $ höchstens Grad $ 2 $ haben kann. Da das Minimalpolynom von $ \zeta $ nach obigen Überlegungen aber auch ein Teiler von $ f(X) $ sein muss, ist $ f $ somit reduzibel über $ \F_p $ .