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Lineare Algebra


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Mögliche Literatur: K. Jänich, Lineare Algebra

Aufgabe 1

Sei $ K $ ein Körper, $ V $ ein $ n $ -dimensionaler Vektorraum über $ K $ und $ m\colon V\rightarrow V $ ein Endomorphismus von $ V $ , welcher bezüglich einer fest gewählten Basis der Matrix $ M\in\mat_K(n,n) $ entspreche.

  1. Gib eine Vollständige Definition an für die folgenden Begriffe:
    • Das charakteristische Polynom $ \chi_M(X)\in K[X] $ von $ M $ ,
    • das Minimalpolynom $ \mu_M(X)\in K[X] $ von $ M $ ,
    • Eigenwerte von $ M $ ,
    • Eigenvektoren von $ M $ ,
    • Eigenräume von $ M $ ,
    • algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes,
    • geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes,
  2. Das Minimalpolynom einer Matrix $ M $ wie oben ist im Allgemeinen nicht irreduzibel. Mache Dir klar, inwiefern dies kein Widerspruch ist zur Minimalität (bezogen auf den Grad, vgl. Definition von $ \chi_M $ aus Teil a.) von $ \mu_M $ ! Finde ein Beispiel für eine Matrix $ M $ , so dass das $ \mu_M $ nicht irreduzibel ist, und eines für eine Matrix $ \tilde M $ , so dass das Minimalpolynom $ \mu_{\tilde M} $ irreduzibel ist in $ K[X] $ .
  3. Gib (mit Beweis) ein notwendiges und hinreichendes Kriterium dafür an, um für eine Matrix wie in Teil a. zu entscheiden, ob $ M $ diagonalisierbar ist.
  4. Formuliere den Satz von Cayley-Hamilton.

Beispiel(e)

Vollziehe alle obigen Begriffe an einer Beispielmatrix deiner Wahl nach.

Aufgabe 2

Sei $ K $ ein Körper und $ M\in\mat_K(n,n) $ . Zeige:

  1. Das Minimalpolynom $ \mu_M $ teilt das charakteristische Polynom $ \chi_M $ (oder allgemeiner - nach dem Satz von Caley-Hamilton - jedes Polynom $ P\in K[X] $ mit $ P(M)=0 $ ).
  2. $ \mu_M $ und $ \chi_M $ haben dieselben Nullstellen (nämlich die Eigenwerte von $ M $ ).

Tipps
  • Zu a). Folgt aus der Minimalitätseigenschaft des Minimalpolynomes (Polynomdivision!).
  • Zu b). Für $ f\in K[X] $ und $ v $ einen Eigenvektor zum Eigenwert $ \lambda $ von $ M $ ist $ v $ auch Eigenvektor von $ f(M) $ , zum Eigenwert $ f(\lambda) $ .

Bonusaufgabe (Jordansche Normalform)

Sei $ K $ ein beliebiger Körper und $ V $ ein $ n $ -dimensionaler Vektorraum über $ K $ . Weiter sei $ m\colon V\rightarrow V $ ein Endomorphismus von $ V $ , dessen Matrix bezüglich einer gegebenen Basis von $ V $ mit $ M\in\mat_K(n,n) $ bezeichnet werden soll. Zeige: Zerfällt das Minimalpolynom $ \mu_M\in K[X] $ von $ M $ über $ K $ vollständig in Linearfaktoren (beispielsweise ist dies für jeden Vektorraumendomorphismus über einem algebraisch abgeschlossenen Körper - wie z.B. $ \C $ - der Fall), so existiert eine Basis von $ V $ , bezüglich derer die Darstellungsmatrix von $ m $ Jordan'sche Normalform hat.

Anleitung

Die folgende Anleitung liefert einen zwar langen, aber dafür elementaren und sehr nützlichen (für die praktische Bestimmung der Normalform) Beweis. Die Idee ist die folgende:

  1. Zeige zuerst, dass sich der Vektorraum $ V $ in $ m $ -invariante Unterräume $ E_{\lambda_i} $ (das bedeutet $ m(E_{\lambda_i})\subseteq E_{\lambda_i} $ ), $ i=1,\ldots,r $ , zerlegen lässt, für $ \lambda_1,\ldots ,\lambda_r $ die (verschiedenen) Eigenwerte von $ M $ (bzw. $ m $ ). Genauer wird \begin{equation*} E_{\lambda_i}=\ker(M-\lambda_i\id)^{n_i} \end{equation*} sein für ein gewisses $ n_i\in \N $ .
  2. Beobachte, dass $ M\vert _{E_{\lambda_i}}\colon E_{\lambda_i}\rightarrow E_{\lambda_i} $ nur einen Eigenwert (nämlich $ \lambda_i $ ) besitzt, und dass $ (M-\lambda_i\id)\vert_{E_{\lambda_i}}\colon E_{\lambda_i}\rightarrow E_{\lambda_i} $ nilpotent ist.
  3. Zeige: Ist $ V $ ein endlich dimensionaler Vektorraum und $ A\colon V\rightarrow V $ ein nilpotenter Endomorphismus, so existiert eine Basis von $ V $ , bezüglich derer die darstellende Matrix zu $ A $ die Blockdiagonalform $$ \left(\begin{matrix} B_{l_1}&&\\ &\ddots &\\ && B_{l_m} \end{matrix}\right) $$ besitzt, wobei jeder Block $ B_{l_j} $ von der Form $$ \left(\begin{matrix} 0&1&0&\cdots &0&0\\ 0&0&1&\cdots &0&0\\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots & \vdots & \vdots \\ 0&0&0&\cdots &0&1\\ 0&0&0&\cdots &0&0 \end{matrix}\right)\in \mat_K(l_j,l_j) $$ ist (also $ 1 $ auf der oberen Nebendiagonalen und $ 0 $ überall sonst), insbesondere also $ \sum_{j=1}^ml_j=\dim(V) $ . \item Wähle eine solche Basis für jedes $ E_{\lambda_i} $ , für den nilpotenten Endomorphismus $ (M-\lambda_i\id)\vert_{E_{\lambda_i}} $ , dann hat $ M $ bezüglich der resultierenden Basis von $ V $ Jordan'sche Normalform.

Tipps
  • Zu 1.
    • Für ein festes $ i $ setze $ U_k\coloneqq \ker(M-\lambda_i\id)^k $ . Betrachte dann die aufsteigende Reihe $ U_1\subset U_2\subset \ldots $ und folgere, dass es ein $ k_0\in\N $ gibt mit $ U_{k}=U_{k_0} $ für alle $ k\geq k_0 $ .
    • Zeige $ V=\ker(M-\lambda_i\id)^k\oplus\im(M-\lambda_i\id)^k $ für diese $ k\geq k_0 $ .
    • Zeige: $ \ker(M-\lambda_i\id)^k $ und $ \im(M-\lambda_i\id)^k $ sind $ M $ -invariante Unterräume von $ V $ .
    • Schließe den Schritt durch Induktion über die Dimension von $ V $ ab.
  • Zu 3. Führe abermals eine Induktion über $ \dim(V) $ (beachte, dass, da $ A $ nach Voraussetzung nilpotent ist, gilt $ \im(A)\subsetneq V $ ). Formuliere für den Induktionsbeweis die zu zeigende Behauptung um zu "Ist $ A\colon V\rightarrow V $ nilpotent, so existiert eine Basis von $ V $ der Form \begin{equation*} e_1,Ae_1,\ldots ,A^{n_1-1}e_1,\ldots, e_r,Ae_r,\ldots ,A^{n_r-1}e_r, \end{equation*} wobei $ A^{n_i}e_i=0 $ für alle $ i=1,\ldots ,r $ . " Der Morphismus $ A\colon V\rightarrow \im(A) $ ist nach Definition surjektiv - verwende dies, um im Induktionsschritt passende Urbilder zur erhaltenen Basis in $ \im(A) $ wählen zu können. Die fehlenden Basiskomponenten lassen sich durch Basisergänzung im Unterraum $ \ker(A) $ finden.

Aufgabe 4

Stelle so viele Zusammenhänge wie möglich zwischen Größe und Anzahl der Jordan-Blöcke zu den verschiedenen Eigenwerten einer Matrix, algebraischer und geometrischer Vielfachheit der entsprechenden Eigenwerte und dem Minimalpolynom der zugehörigen Matrix her.

Tipps

Der Beweis der vorigen Aufgabe hilft hier an vielen Stellen weiter. Zeige beispielsweise:

  • Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes $ \lambda $ ( $ = $ Multiplizität des Eigenwertes $ \lambda $ als Nullstelle des charakteristischen Polynomes) entspricht der Summe der Größen aller Jordan-Blöcke zum Eigenwert $ \lambda $ .
  • Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes $ \lambda $ entspricht der Anzahl der Jordan-Blöcke zum Eigenwert $ \lambda $ .
  • Die Multiplizität des Eigenwertes $ \lambda $ als Nullstelle des Minimalpolynomes entspricht der Größe des größten Jordan-Blockes zum Eigenwert $ \lambda $ .

Aufgabe 5

Verwende die vorige Aufgabe, um folgendes Kriterium für die Diagonalisierbarkeit einer Matrix $ M\in\mat_K(n,n) $ über einem Körper $ K $ zu zeigen (außer Du hast dieses Kriterium bereits für Teil c) der ersten Aufgabe verwendet): "Die Matrix $ M $ ist diagonalisierbar genau dann, wenn ihr Minimalpolynom $ \mu_M\in K[X] $ über $ K $ in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt."

Aufgabe 6

Sei $ \F_q $ "der'' Körper mit $ q $ Elementen. Bestimme $ \lvert \gl(n,\F_q)\rvert $ und $ \lvert \spl(n,\F_q)\rvert $ .

Tipps

Eine (quadratische) Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Spalten- bzw. Zeilenvektoren paarweise linear unabhängig sind.