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Konstruierbarkeit


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Mögliche Literatur: S. Bosch, Algebra, Abschnitt 6.4 "Konstruktionen mit Zirkel und Lineal'', Notizen von K. Conrad zu Galoisgruppen von Kubiken und Quartiken.

Für sämtliche Aufgaben bezeichne $ \mathfrak{K} $ die Menge der aus $ \{0,1\} $ mit Zirkel und Lineal konstruierbaren Zahlen (vgl. z.B. S. Bosch, Algebra, Seiten 282 und 283 für Details).

Aufgabe 1

Zeige, dass $ \mathfrak{K}\subset \C $ abgeschlossen unter den folgenden Operationen (in $ \C $ ) ist: $ +,\cdot,(\bullet)^{-1},\sqrt{(\bullet)},\lvert (\bullet)\rvert $ .

Tipps

Zu " $ \cdot $ '': Strahlensatz
Zu " $ \sqrt{(\bullet)} $ '': Winkelhalbierung, Satz des Thales und Höhensatz

Aufgabe 2

(Vgl. S. Bosch, Algebra, Abschnitt 6.4). Sind folgende Probleme geometrisch (mit Zirkel und Lineal) lösbar (mit kurzer Begründung)?

  1. Gegeben ein Quadrat mit Kantenlänge $ a $ , konstruiere daraus ein Quadrat mit dem doppelten Flächeninhalt.
  2. Gegeben ein Würfel mit Kantenlänge $ a $ , konstruiere daraus einen Würfel mit dem doppelten Volumen.

Aufgabe 3

Sind folgende Aussagen wahr oder falsch (mit Begründung)?

  1. Es ist möglich, ein reguläres $ 6 $ -Eck (aus der Menge $ \{0,1\} $ ) mit Zirkel und Lineal zu konstruieren.
  2. Es ist möglich, ein reguläres $ 7 $ -Eck (aus der Menge $ \{0,1\} $ ) mit Zirkel und Lineal zu konstruieren.

Tipps

Zu 1. Wieso genügt es, zu zeigen, dass eine primitive $ 6 $ -te Einheitswurzel konstruierbar ist? Was ist Real- und Imaginärteil einer solchen?

Aufgabe 4

Zeige, dass mit Zirkel und Lineal eine Winkeldreiteilung im Allgemeinen nicht möglich ist.

Tipps

Ein mögliches Gegenbeispiel könnte Überlegungen ganz ähnlich zu denen in Aufgabe 3 verwenden.

Bemerkung (Ein wichtiger Satz zur Konstruierbarkeit)

Vgl. Kapitel 6.4 von Algebra von S. Bosch. Sei $ M\subset\C $ eine Menge. Wir bezeichnen mit $ \overline{M} $ das Bild von $ M $ unter der komplexen Konjugation und mit $ \mathfrak{K}(M) $ die aus $ M $ mit Hilfe von Zirkel und Lineal konstruierbaren komplexen Zahlen. Wenn wir ohne Bezug auf $ M $ von Konstruierbarkeit (mit Zirkel und Linal) sprechen, so nehmen wir implizit wieder $ M=\{0,1\} $ an (z.B. $ \Q(M\cup\overline M)=\Q $ in diesem Falle).

Satz
Für $ z\in\C $ ist äquivalent:

  1. $ z\in\mathfrak{K}(M) $ .
  2. $ z $ ist in einer Galoiserweiterung $ L $ von $ \Q(M\cup\overline M) $ enthalten, so dass $ [L:\Q(M\cup\overline M)]=2^i $ für ein $ i\in \N $ ist.

Aufgabe 5

Überlege Dir, dass sich aus obigem Satz leicht die folgende Variante für $ M=\{0,1\} $ erhalten lässt (zur Erinnerung: in diesem Falle schreiben wir $ \mathfrak{K}(M) =:\mathfrak{K} $ ).

Für ein $ z\in\C $ ist äquivalent:
  1. $ z\in\mathfrak{K} $
  2. Ist $ L $ der normale Abschluss von $ \Q(z) $ (in $ \C $ ), so ist $ [L:\Q]=2^i $ für ein $ i\in \N $ .

Bonusaufgabe 6 (Ein wichtiges Gegenbeispiel)

Widerlege durch ein Gegenbeispiel die folgende Aussage:

"Ein $ z\in\C $ liegt genau dann in $ \mathfrak{K} $ (ist also mit Zirkel und Lineal aus $ \{0,1\} $ konstruierbar), wenn der Grad von $ z $ über $ \Q $ eine Zweierpotenz ist, also $ [\Q(z):\Q]=2^m $ für ein $ m\in\N\cup\{0\} $ ."

Gehe dazu folgendermaßen vor (Beispiel aus den Notizen von K. Conrad):

  • Betrachte das Polynom $ P(X)\coloneqq X^4+8X+12\in\Q[X] $ . Zeige, dass $ P $ irreduzibel ist über $ \Q $ . Tipp: $ P $ hat keine rationalen Nullstellen - wieso? Nimm dann an, $ P $ zerfiele in zwei irreduzible Faktoren von Grad $ 2 $ . Betrachte dann diese Zerlegung modulo $ 5 $ und beobachte, dass sich hieraus ein Widerspruch ergibt.
  • Lies Dir die Seiten 167 - 178 aus S. Bosch, Algebra, Abschnitt 4.4 durch, um zu erfahren, wie Du ziemlich einfach die Diskriminante von $ P $ ausrechnen kannst. Folgere, dass $ \gal_{\Q}(P)\subset A_4 $ gelten muss (also $ \gal_\Q(P)=V_4 $ oder $ \gal_\Q(P)=A_4 $ ).
  • Benenne mit $ x_1,x_2,x_3,x_4 $ die vier Nullstellen von $ P $ in $ \C $ . Setze außerdem $ y_1\coloneqq x_1x_2+x_3x_4 $ , $ y_2\coloneqq x_1x_3+x_2x_4 $ und $ y_3\coloneqq x_1x_4+x_2x_3 $ . Überlege Dir, dass $ R_P(X)\coloneqq (X-y_1)(X-y_2)(X-y_3) $ ein Polynom in $ \Q[X] $ ist. (Man nennt dieses Polynom auch die (kubische) Resolvente von $ P $ .)
  • Überzeuge Dich durch Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich von Folgendem: "Ist $ Q(X)=X^4+aX^3+bX^2+cX+d $ ein normiertes Polynom vierten Grades, so ist (mit derselben Definition wie oben) $ R_Q(X)=X^3-bX^2+(ac-4d)X-(a^2d+c^2-4bd) $ ." Falls Du nachvollziehen möchtest, wie man auf diese Terme für die Koeffizienten kommt: Dies ist beispielsweise ebenfalls auf den Seiten 167 - 178 aus S. Bosch, Algebra, Abschnitt 4.4 zu finden, ein (von Hand ausführbares) algorithmisches Verfahren hierzu wird z.B. auf Seite 172 oben beschrieben.
  • Zeige, dass $ R_P(X) $ irreduzibel über $ \Q $ ist, und folgere, dass $ 3 $ ein Teiler von $ \gal_\Q(P) $ sein muss und also $ \gal_\Q(P)\simeq A_4 $ gelten muss.
  • Schließe das Gegenbeispiel ab, indem Du Dir überlegst, dass für eine beliebige Nullstelle $ a\in\C $ von $ P $ gilt: $ [\Q(a):\Q]=4 $ und $ a\notin\mathfrak{K} $ .