Suche

Körpererweiterungen


Übungsblatt als .pdf $ \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\lgd}[2]{\left(\frac{#1}{#2}\right)} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\coloneqq}{:=} \newcommand{\eqqcolon}{=:} \newcommand{\legendre}[2]{\left(\frac{#1}{#2}\right)} \newcommand{\zmatrix}[4]{\left(\begin{matrix}#1\\ #3\end{matrix}\right)} \DeclareMathOperator{\gal}{Gal} \DeclareMathOperator{\mat}{Mat} \DeclareMathOperator{\ggt}{ggT} \DeclareMathOperator{\kgv}{kgV} \DeclareMathOperator{\id}{Id} \DeclareMathOperator{\modu}{mod} \DeclareMathOperator{\aut}{Aut} \DeclareMathOperator{\sym}{S} \DeclareMathOperator{\asym}{A} \DeclareMathOperator{\gl}{GL} \DeclareMathOperator{\discr}{disc} \DeclareMathOperator{\zerf}{Zerf} \DeclareMathOperator{\er}{ER} \DeclareMathOperator{\cha}{char} \DeclareMathOperator{\ord}{ord} \DeclareMathOperator{\syl}{Syl} \DeclareMathOperator{\slg}{SL} \DeclareMathOperator{\gal}{Gal} \DeclareMathOperator{\mat}{Mat} \DeclareMathOperator{\ggt}{ggT} \DeclareMathOperator{\kgv}{kgV} \DeclareMathOperator{\id}{Id} \DeclareMathOperator{\modu}{mod} \DeclareMathOperator{\aut}{Aut} \DeclareMathOperator{\sym}{S} \DeclareMathOperator{\asym}{A} \DeclareMathOperator{\gl}{GL} \DeclareMathOperator{\discr}{disc} \DeclareMathOperator{\zerf}{Zerf} \DeclareMathOperator{\er}{ER} \DeclareMathOperator{\cha}{char} \DeclareMathOperator{\ord}{ord} \DeclareMathOperator{\syl}{Syl} \DeclareMathOperator{\im}{Im} $

Mögliche Literatur: S. Bosch, Algebra, Seiten 84 - 95, 110 - 112 und 114 - 121 (Quelle für sämtliche Aufgaben - und fast alle Tipps - dieses Übungsblattes).

Algebraische Erweiterungen

Aufgabe 1 (Charakteristik und Primkörper)

Sei $ K $ ein beliebiger Körper. Zeige, dass es ein eindeutiges $ p\in\N\cup\{0\} $ gibt, $ p=0 $ oder $ p $ prim, so dass ein injektiver Morphismus von Ringen \begin{equation*}\Z/p\Z\rightarrow K \end{equation*} existiert.
Erinnere Dich nun, dass für einen solchen Körper $ K $ dieses $ p $ von oben gerade die Charakteristik von $ K $ genannt wird, geschrieben $ \cha(K) $ , und dass der Primkörper $ P_K $ von $ K $ als der (eindeutige) kleinste Teilkörper von $ K $ definiert ist. Überlege Dir, dass

  1. $ \vert K\rvert = p^n $ für ein $ n\in\N\quad\Rightarrow\quad \cha(K)=p $ . Gib mindestens ein Gegenbeispiel zur umgekehrten Implikation an.
  2. $ \cha(K)=0\quad\Leftrightarrow\quad P_K\simeq \Q $ .
  3. $ \cha(K)=p> 0\quad\Leftrightarrow\quad P_K\simeq\F_p $ .

Tipps
  • Zu a). Betrachte den kanonischen Ringmorphismus $ \Z\rightarrow K $ und dessen Kern $ I $ . Verwende nun den Homomorphiesatz, um Dir zu überlegen, dass $ \lvert \Z/I\rvert $ ein Teiler von $ \lvert K\rvert=p^n $ sein muss. Wieso impliziert dies bereits $ I=(p) $ ?
  • Zu b). Nun ist bekannt, dass der kanonische Ringmorphismus $ \varphi\colon\Z\rightarrow K $ injektiv ist. Überlege Dir, dass das Bild $ \varphi(\Z) $ in jedem Teilkörper von $ K $ enthalten sein muss, insbesondere also auch im Primkörper $ P_K $ . Da $ \varphi $ injektiv ist, können wir $ \Z $ mit seinem Bild $ \varphi(\Z)\subset P_K\subset K $ identifizieren und schreiben also $ \Z\subset P_K $ . Überlege Dir nun, dass also auch $ \Q\subset P_K $ gelten muss, da $ P_K $ ja ein Körper ist, und damit $ P_K\simeq\Q $ (wie lässt sich der hier skizzierte letzte Schritt formalisieren?).
  • Zu c). Gehe ähnlich wie bei b) vor: Überlege Dir mit Hilfe des Homomorphiesatzes, dass man $ \Z_p $ als Teilkörper von $ K $ auffassen kann, und in einem zweiten Schritt dann, dass dies auch für jeden Teilkörper von $ K $ zutrifft.
  • Nützliche Hilfsaussage für b) und c): Ist $ L\subset K $ ein Teilkörper, so ist $ \cha(L)=\cha(K) $ (wieso?).

Aufgabe 2 (Gradformel)

Sei $ K\subset L $ eine endliche Körpererweiterung. Erinnere Dich, wie der Grad $ [L:K] $ einer solchen Erweiterung defniert ist (und mache Dich mit dem Konzept vertraut - wieso ist beispielsweise klar, dass $ [L:K]=1\Leftrightarrow K=L $ gilt?) und beweise die Gradformel, das heißt zeige, dass für endliche Erweiterungen $ K\subset L\subset M $ gilt $ [M:K]=[M:L]\cdot [L:K] $ . Bedenke anschließend noch, inwiefern die gesamte Aufgabe auch für nicht endliche Erweiterungen Sinn macht.

Tipps

Nutze Vektorraumbasen von $ L $ über $ K $ und von $ M $ über $ L $ , um eine Basis von $ M $ über $ K $ zu konstruieren.

Aufgabe 3

Sei $ K\subset L $ eine Körpererweiterung. Erinnere Dich, wann ein Element $ \alpha\in L $ algebraisch und wann es transzendent über $ K $ genannt wird. Gib außerdem an, wie $ K[\alpha] $ und $ K(\alpha) $ definiert werden. Definiere schließlich, wann die Erweiterung $ K\subset L $ algebraisch heißt. Zeige dann:

  1. Ist $ [L:K]<\infty $ , so ist $ K\subset L $ eine algebraische Erweiterung. Zeige durch ein Gegenbeispiel, dass die Umkehrung dieser Aussage nicht gilt.
  2. Ist $ \alpha\in L\setminus K $ transzendent über $ K $ , so ist $ K[\alpha]\simeq K[X] $ .
  3. Ist $ \alpha $ algebraisch, und ist $ f_\alpha\in K[X] $ das Minimalpolynom von $ \alpha $ über $ K $ (wieso besitzt jedes algberaische Element ein solches Minimalpolynom?), so ist $ K[\alpha]\simeq K[X]/(f_\alpha) $ . Insbesondere ist also $ K[\alpha] $ in diesem Fall ein Körper und es ist $ K[\alpha]=K(\alpha) $ sowie $ [K(\alpha):K]=\deg(f_\alpha) $ .
  4. Ist $ L=K(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) $ von endliche vielen algebraischen Elementen erzeugt über $ K $ , so ist $ L=K(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)=K[\alpha_1,\ldots,\alpha_n] $ und $ [L:K]<\infty $ , insbesondere ist also $ K\subset L $ algebraisch.
  5. Seien $ K\subset L\subset M $ Körpererweiterungen. Zeige, dass $ K\subset M $ algebraisch ist genau dann, wenn $ K\subset L $ und $ L\subset M $ algebraisch sind.
  6. Ist $ L $ ein algebraisch abgeschlossener Körper, und $ \varphi\colon K\rightarrow L $ ein Körpermorphismus und $ K\subset M $ eine (endliche - auch wenn das an dieser Stelle nicht erforderlich ist, vereinfacht diese Voraussetzung den Beweis) algebraische Erweiterung. Dann lässt sich $ \varphi $ zu einem Morphismus $ \psi\colon M\rightarrow L $ fortsetzen, das heißt $ \psi\vert_K=\varphi $ .

Tipps
  • Zu a). Ist $ [L:K]<\infty $ , so können die Monome $ \alpha,\alpha^2,\alpha^3,\ldots $ nicht linear unabhängig über $ K $ sein...
  • Zu b). Definiere einen Ringmorphismus durch $ K[X]\rightarrow K[\alpha],~X\mapsto \alpha $ . Was sind Kern und Bild?
  • Zu c). Betrachte den Morphismus von Ringen $ K[X]\rightarrow K[\alpha],~ f\mapsto f(\alpha) $ und verwende den Homomorphiesatz.
  • Zu d). Induktion über $ n $ und c).
  • Zu e). Die Richtung " $ \Rightarrow $ '' ist klar nach Definition einer algebraischen Erweiterung. Reduziere die umgekehrte Richtung auf den Fall, dass $ [L:K] $ endlich ist, um zu zeigen, dass ein beliebiges $ \alpha\in M $ algebraisch über $ K $ ist. Genauer: Für ein $ \alpha\in M $ ist nun bekannt, dass $ \alpha $ algebraisch über $ L $ ist, d.h. es gibt ein $ p(X)=\sum_{i=0}^na_iX^i\in L[X] $ mit $ p(\alpha)=0 $ . Von den $ a_i\in L $ wiederum wissen wir, dass sie algebraisch über $ K $ sind. Betrachte nun den Zwischenkörper \begin{equation*}K\subset K'=K(a_0,\ldots,a_n)\subset L \end{equation*} und folgere, dass $ \alpha $ algebraisch über $ K $ ist, indem du Dir überlegst, dass $ [K(\alpha):K] $ endlich sein muss (Teile a) und d) können hier helfen).
  • Zu f). Betrachte zuerst den Fall $ M=K(\alpha) $ und begründe, wie daraus bereits der allgemeine Fall folgt. Wieso genügt es in diesem Fall, das Bild von $ \alpha $ anzugeben, und welche Möglichkeiten gibt es für ein solches Bild? (Dein Beweis sollte verwenden, dass $ L $ algebraisch abgeschlossen ist!)

Separable Erweiterungen

Aufgabe 4

Sei $ K $ ein Körper, $ \overline K $ ein algebraischer Abschluss und $ f\in K[X] $ ein Polynom über $ K $ . Zeige:

  1. Es ist $ f $ genau dann separabel, wenn $ \ggt(f,f')=1 $ ist in $ \overline K[X] $ oder, äquivalent, in $ K[X] $ .
  2. Ist $ \cha(K)=0 $ , so ist jedes irreduzible $ f\in K[X] $ separabel.
  3. Ist $ \cha(K)=p> 0 $ , so is t ein irreduzibles $ f\in K[X] $ genau dann nicht separabel, wenn es ein $ r\in\N $ und ein $ g\in K[X] $ gibt mit $ f(X)=g(X^{p^r}) $ . Wählt man $ r $ maximal mit dieser Eigenschaft, so hat jede Nullstelle von $ f $ gerade die Vielfachheit $ p^r $ . Finde ein Beispiel für ein irreduzibles aber nicht separables Polynom.

Tipps
  • Zu a). Um einzusehen, dass der $ \ggt $ von $ f $ und $ f' $ in $ K[X] $ der selbe ist wie der in $ \overline K[X] $ , kann verwendet werden, dass $ K[X] $ und $ \overline K[X] $ Hauptidealbereiche sind, und also $ d=\ggt(f,f') $ durch $ (f,f')=(d) $ bestimmt ist (in $ K[X] $ bzw. $ \overline K[X] $ ). Zeige die Äquivalenz der beiden Idealgleichheiten (in $ K[X] $ und in $ \overline K[X] $ ) dann durch die Verwendung einer Darstellung $ d=pf+qf' $ in $ K[X] $ .
  • Zu c). Bedenke, dass in Charakteristik $ p $ die Abbildung $ (\bullet)^p $ ein Automorphismus ist (der sogenannte Frobenius-Automorphismus). Eine Möglichkeit für das gesuchte Beispiel: Betrachte $ K=\F_p(t) $ für eine Variable $ t $ und das Polynom $ P(X)=X^p-t\in K[X] $ (wieso ist dieses irreduzibel? Verwende ein passendes Kriterium).

Aufgabe 5

Sei $ K\subset L $ eine algebraische Körpererweiterung. Erinnere Dich daran, wann ein Element $ \alpha\in L $ separabel über $ K $ heißt, und wann man $ K\subset L $ eine separable Erweiterung nennt. Zeige:

  1. Ist $ K\subset K(\alpha) $ eine algebraische Erweiterung, so betrachte die Menge $ \hom_K(K(\alpha),\overline K) $ der Körpermorphismen über $ K $ von $ K(\alpha) $ in einen algebraischen Abschluss von $ K $ . Dann gilt $ \lvert \hom_K(K(\alpha),\overline K)\rvert =[K(\alpha):K]\quad\Leftrightarrow\quad\alpha $ ist separabel über $ K $ . (Bemerkung: Für eine beliebige endliche (insbesondere algebraische) Erweiterung $ K\subset L $ nennt man $ \lvert\hom_K(L,\overline K)\rvert $ den Separabilitätsgrad von $ L $ über $ K $ , geschrieben $ [L:K]_s $ ).
  2. Ist $ K\subset L\subset M $ eine Reihe von Körpererweiterungen, und ist $ K\subset M $ separabel, so ist auch $ K\subset L $ und $ L\subset M $ separabel.

Tipps

Zu a). Wieso ist ein $ K $ -Morphismus von $ K(\alpha) $ nach $ \overline K $ eindeutig durch das Bild von $ \alpha $ bestimmt?

Aufgabe 6 (Bonusaufgabe)

Zeige, dass auch die Umkehrung von Aufgabe 5b) gilt, dass also für Erweiterungen $ K\subset L\subset M $ gilt: $ K\subset M $ ist separabel genau dann, wenn $ K\subset L $ und $ L\subset M $ separabel sind. Gehe dazu folendermaßen vor:
Betrachte eine endliche (insbesondere algebraische) Erweiterung $ K\subset L $ . Erinnere Dich an die Definition des Separabilitätsgrades aus Aufgabe 5a) Bedenke außerdem, dass nur der Fall $ \cha(K)=p> 0 $ zu betrachten ist.

  • Überlege Dir, dass auch für den Separabilitätsgrad die Gradformel \begin{equation*}[M:K]_s=[M:L]_s\cdot [L:K]_s \end{equation*} für Erweiterungen $ K\subset L\subset M $ gilt. Vorsicht: Dieser Schritt ist der schwierigste in diesem Beweis (sollte es damit Probleme geben, lohnt es sich, diesen Schritt zu überspringen, bzw. als bekannt anzunehmen, und dennoch den Rest der Aufgabe zu bearbeiten)!. Überlege Dir Folgendes: Ist $ [L:K]_s=n $ und $ [M:L]_s=m $ , entsprechend $ \hom_K(L,\overline K)=\{f_1,\ldots ,f_n\} $ und $ \hom_L(M,\overline K)=\{g_1,\ldots g_m\} $ , dann ist $ \hom_K(M,\overline K)=\{\overline f_i\circ g_j\vert i\in\{i,\ldots ,n\},~j\in\{1,\ldots, m\}\} $ , wobei die $ \overline f_i $ die Forsetzungen der $ f_i\colon L\rightarrow \overline K $ zu $ \overline f_i\in\aut_K(\overline K) $ sind, also $ \overline f_i\vert_L=f_i $ (zeige dazu (oder verwende ohne Beweis), dass sich jeder Automorphismus $ f_i $ auf diese Weise fortestzen lässt - die Idee wäre hier, Aufgabe 3f) und das Lemma von Zorn zu verwenden).
  • Zeige, dass $ [L:K]_s=[L:K] $ gilt. Bedenke dazu, dass eine endliche separable Erweiterung von geeigneten separablen Elementen $ a_1,\ldots, a_n $ erzeugt wird, also $ L=K(a_1,\ldots,a_n) $ , und dass sich die Situation also oBdA (vergiss nicht, dieses oBdA zu begründen!) auf den Fall einer separablen Erweiterung der Form $ K\subset K(\alpha) $ reduzieren lässt. Zeige für diesen Fall $ [K(\alpha):K]_s=[K(\alpha):K] $ unter Verwendung von Aufgaben 5a) und 4c)
  • Zeige nun noch, dass umgekehrt $ [L:K]_s=[L:K] $ impliziert, dass $ K\subset L $ separabel ist, indem Du für ein beliebiges $ a\in L $ mit Aufgabe 4c) feststellst, dass $ a $ eine $ p^r $ -fache Nullstelle seines Minimalpolynomes ist, und dann durch Betrachten der Erweiterungen $ K\subset K(a)\subset L $ mit Hilfe der Gradformel für den Separabilitätsgrad zeigst, dass $ r=0 $ gelten muss (woraus wieder nach Aufgabe 4c) folgt, dass $ a $ separabel über $ K $ ist). Beim letzen Schritt hilft die Beobachtung $ [K(a):K]=p^r\cdot[K(a):K]_s $ .
  • Mit diesen drei Schritten hast Du also gezeigt, dass $ K\subset L $ genau dann separabel ist, wenn $ [L:K]_s=[L:K] $ ist. Damit folgt die eigentliche Aussage der Aufgabe!

Aufgabe 7

Formuliere den Satz vom primitiven Element und vollziehe dessen Beweis im Algebrabuch Deiner Wahl nach, um daraus eine Methode zu erhalten, systematisch das primitive Element zu einer beliebigen endlichen separablen Erweiterung zu finden.

Normale Erweiterungen

Aufgabe 8

Sei $ (f_i)_{i\in I} $ eine Familie von Polynomen $ f_i\in K[X] $ für einen Körper $ K $ . Definiere, wann ein Körper $ L $ über $ K $ ein Zefällungskörper von $ (f_i)_{i\in I} $ (über $ K $ ) heißt. Zeige dann:

  1. Sind $ L_1 $ und $ L_2 $ Zerfällungskörper über $ K $ , und ist $ \overline L_2 $ ein algebraischer Abschluss von $ L_2 $ (z.B. $ \overline K $ ), so lässt sich jeder $ K $ -Morphismus $ \overline f\colon L_1\rightarrow \overline L_2 $ zu einem Isomorphismus $ f\colon L_1\rightarrow L_2 $ einschränken.
  2. Je zwei Zerfällungskörper von $ (f_i)_{i\in I} $ über $ K $ sind (über $ K $ ) isomorph zueinander.

Tipps
  • Zu a). Betrachte ein belibiges $ f_i $ und bezeichne dessen Nullstellen in $ L_1 $ mit $ a_1,\ldots ,a_n $ und seine Nullstellen in $ L_2\subset \overline L_2 $ mit $ b_1,\ldots,b_n $ . Überlege dann, wieso so ein $ \overline f $ wie in der Angabe die $ a_i $ auf Elemente $ b_j\in L_2 $ abbilden muss, und dass daher $ \overline f(L_1)= L_2 $ folgt.
  • Zu b). Überlege Dir, dass ein algebraischer Abschlusss $ \overline K $ von $ K $ automatisch auch ein algebraischer Abschluss eines Zerfällungskörpers (von $ (f_i)_{i\in I} $ über $ K $ ) ist, und dass für beliebige Zerfällungskörper $ L_1,L_2 $ stets ein Morphismus $ L_1\rightarrow \overline K=\overline L_2 $ existiert.

Beispiel(e)

Gib den Zerfällungskörper von $ (f_1,f_2) $ über $ \Q $ in $ \C $ an, $ f_1=X^2-2\in\Q[X] $ , $ f_2=X^2-3\in\Q[X] $ .

Aufgabe 9

Sei $ K\subset L $ eine algebraische Erweiterung. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

  1. Jeder $ K $ -Morphismus $ \overline f\colon L\rightarrow \overline L $ , wobei $ \overline L $ ein algebraischer Abschluss von $ L $ ist, lässt sich zu einem $ f\in\aut_K(L) $ einschränken.
  2. $ L $ ist ein Zerfällungskörper zu einer Familie $ (f_i)_{i\in I} $ von Polynomen $ f_i\in K[X] $ .
  3. Jedes irreduzible $ f\in K[X ] $ , das eine Nullstelle in $ L $ besitzt, zerfällt über $ L $ vollständig in Lienarfaktoren.
  4. Erinnerung: Die Erweiterung $ K\subset L $ heißt normal, wenn diese drei äquivalenten Bedingungen erfüllt sind.

Anleitung
  • Zu i) $ \Rightarrow $ iii). Sei $ f\in K[X] $ irreduzibel und seien $ a,b $ Nullstellen von $ f $ in $ \overline L=\overline K $ , $ a\in L $ . Überlege, dass ein $ K $ -Morphismus $ K(a)\rightarrow \overline L $ existiert, der $ a $ auf $ b $ abbildet und dass dieser sich zu einem $ K $ -Morphismus $ L\rightarrow \overline L $ fortsetzen lässt, und dass damit aus 1. folgt $ b\in L $ .
  • Zu iii) $ \Rightarrow $ ii). Wähle Elemente $ a_i $ , so dass $ L $ über $ K $ durch die $ a_i $ erzeugt wird, also $ L=K(a_i)_{i\in I} $ und betrachte die Familie $ (f_i)_{i\in I} $ der Minimalpolynome $ f_i\in K[X] $ der $ a_i $ . Überlege Dir, dass dann $ L $ der Zerfällungskörper zu den $ (f_i)_{i\in I} $ über $ K $ ist.
  • Zu ii) $ \Rightarrow $ i). Überlege Dir, dass für einen $ K $ -Morphismus $ f\colon L\rightarrow \overline L $ wie in 1. das Bild $ f(L) $ des Zerfällungskörpers $ L $ (nach Voraussetzung 2.) wieder ein Zerfällungskörper derselben Familie von Polynomen ist und also nach Aufgabe 8a. (mit $ L_1=L=L_2 $ ) der Morphismus $ f $ zu einem Automorphismus $ L\rightarrow L $ eingeschränkt werden kann wie gewünscht.

Beispiel(e)

Überlege Beispiele für

  • eine normale Erweiterung von $ \Q $ ,
  • eine normale Erweiterung von $ \F_2 $ ,
  • eine nicht normale Erweiterung von $ \Q $ ,
  • eine normale, aber nicht separable Körpererweiterung.

Aufgabe 10

  1. Zeige: Jede Erweiterung $ K\subset L $ mit $ [L:K]=2 $ ist normal.
  2. Zeige: Ist $ K\subset L\subset M $ eine Reihe von Erweiterungen, so dass $ K\subset M $ normal ist, dann ist auch $ L\subset M $ normal. Zeige durch Gegenbeispiele, dass für solche Erweiterungen $ K\subset L $ nicht wieder normal sein muss, und dass umgekehrt auch aus der Normalität von $ K\subset L $ und $ L\subset M $ nicht die Normalität von $ K\subset M $ folgt.
  3. Sei $ K\subset L\coloneqq K(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) $ eine endliche algebraische Erweiterung. Überlege Dir, dass eine (bis auf Isomorphie) eindeutige kleinste Erweiterung $ L\subset M $ existiert, so dass $ K\subset M $ normal ist (man nennt $ M $ den normalen Abschluss von $ K\subset L $ ).

Tipps
  • Zu a). Zeige, dass $ L $ ein passender Zerfällungskörper ist.
  • Zu b). Verwende eine passende Chrarakterisierung der Normalität (z.B. 1. oder 2. aus Aufgabe 9).
  • Zu c). Betrachte die Minimalpolynome $ f_i\in K[X] $ von $ \alpha_i $ über $ K $ und setze $ M\coloneqq\zerf_K(f_1,\ldots,f_n) $ .