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Gruppen 4: Elementare Gruppentheorie


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Mögliche Literatur: S. Bosch, Algebra, Seiten 255 - 259, und/oder Skript zu einfachen und auflösbaren Gruppen von A. Gathmann

Semidirektes Produkt

Aufgabe 1

Gib die Definition des semidirekten Produktes $N\rtimes _\varphi H$ zweier Gruppen $N$ und $H$ an, und zeige:
  1. $N$ ist ein Normalteiler in $N\rtimes_\varphi H$.
  2. Es ist $(N\rtimes_\varphi H)/N\simeq H$.

Tipps
  • Zu a). Überlege Dir zuerst, wie sich $N$ (und natürlich auch $H$) als Untergruppe von $N\rtimes_\varphi H$ auffassen lässt. (Was ist die naheliegendste Art, einen injektiven Gruppenmorphismus $N\rightarrow N\rtimes_\varphi H$ anzugeben? Was ist dessen Bild?)
  • Zu b). Eine Möglichkeit: Es gibt einen kanonischen Gruppenmorphismus $H\rightarrow N\rtimes_\varphi H\rightarrow N\rtimes_\varphi H/N$. Gib diesen an und zeige Injektivität und Surjektivität...

Aufgabe 2

Zeige, dass $N\rtimes_\varphi H$ genau dann abelsch ist, wenn $N$ und $H$ abelsch sind und $\varphi\colon H\rightarrow \mathrm{Aut}(N)$ der triviale Morphismus $h\mapsto \mathrm{Id}$ für alle $h\in H$ ist.

Tipps

Betrachte geeignete Paare von Elementen in $N\rtimes_\varphi H$.

Aufgabe 3

  1. Zeige: Ist $G$ eine Gruppe (wir bezeichnen das neutrale Element wieder mit~$1$) und sind $H,K$ Normalteiler in $G$ mit $H\cap K=\{1\}$, so existiert ein kanonischer Isomorphismus $$H\times K\overset{\sim}{\longrightarrow }H\cdot K.$$ Zeige allgemeiner, dass für einen Normalteiler $N\subset G$ und eine beliebige Untergruppe $H\subset G$ mit $N\cap H=\{1\}$ ein kanonischer Isomorphismus $$N\rtimes_{\varphi}H\overset{\sim}{\longrightarrow }N\cdot H$$ für ein geeignetes $\varphi$ existiert.
  2. Zeige: Sind $p\le q$ zwei Primzahlen, so dass $p$ nicht $q-1$ teilt, dann ist jede Gruppe der Ordnung $pq$ zyklisch. Finde ein Gegenbeispiel für den Fall, dass $p$ doch $q-1$ teilt.

Tipps
  • Zu a). Der kanonische Kandidat für einen solchen Isomorphismus ist die Abbildung $(h,k)\mapsto hk$ (für $(h,k)\in H\times K$). Für den allgemeineren Fall betrachte $$\varphi\colon H\rightarrow \aut(N),\quad h\mapsto \left(h\cdot(\bullet)\cdot h^{-1}\colon N\rightarrow N\right).$$
  • Zu b). Verwende die Sylowsätze und Teil a).

Auflösbarkeit

Aufgabe 4

  1. Sei $G$ eine auflösbare Gruppe und $H\subset G$ eine Untergruppe. Zeige, dass auch $H$ auflösbar ist.
  2. Sei $G$ eine beliebige Gruppe und $N\subset G$ ein Normalteiler. Zeige, dass $G$ genau dann auflösbar ist, wenn $N$ und $G/N$ auflösbar sind.

Anleitung
  • Zu a). Sei $\{1\}=A_0\subset\ldots\subset A_r=G$ eine Auflösung von $G$. Wie kannst Du hieraus eine Auflösung von $H$ erhalten? (Weitere Tipps: Betrachte die Reihe $$\{1\}=\underset{\eqqcolon \tilde A_0}{\underbrace{A_0\cap H}}\subset\ldots\subset\underset{\eqqcolon \tilde A_r}{\underbrace{ A_r\cap H}}=H$$ und zeige, dass diese eine Auflösung von $H$ ist. Um zu zeigen, dass $\tilde A_i/\tilde A_{i-1}$ abelsch ist, überlege Dir, dass der Morphismus $A_i\cap H\rightarrow A_i\rightarrow A_i/A_{i-1}$ einen injektiven Morphismus $\tilde A_i/\tilde A_{i-1}\rightarrow A_i/A_{i-1}$ induziert - wieso genügt das schon?)
  • Zu b). Sei wieder eine Auflösung $\{1\}=A_0\subset\ldots\subset A_r=G$ von $G$ gegeben. Um zu zeigen, dass $G/N$ auflösbar ist, verwende den Korrespondenzsatz für die Reihe $$N=N\cdot A_0\subset N\cdot A_1\subset \ldots\subset N\cdot A_r=G.$$ Wir nennen $\tilde A_i\coloneqq (N\cdot A_i)/N$. Um dann zu zeigen, dass $\tilde A_i/\tilde A_{i-1}$ abelsch ist, überlege Dir, dass der offensichtliche Morphismus $$A_i\rightarrow N\cdot A_i\rightarrow (N\cdot A_i)/(N\cdot A_{i-1})\simeq \tilde A_i/\tilde A_{i-1}$$ (der letzte Schritt verwendet die Isomorphiesätze) einen surjektiven Morphismus $$A_i/A_{i-1}\rightarrow \tilde A_i/\tilde A_{i-1}$$ induziert. Für den umgekehrten Fall gegebener Auflösungen von $N$ und $G/N$, verwende wiederum den Korrespondenzsatz (und die Isomorphiesätze), um hieraus eine Auflösung von $G$ zu konstruieren.

Beispiel(e)
Nutze die Aufgabe, um zu zeigen, dass $S_3$ und $S_4$ auflösbar sind.

Aufgabe 5

Seien $p$ und $q$ Primzahlen. Zeige, dass jede Gruppe der Ordnung $pq$ auflösbar ist.

Tipps
Unterscheide die Fälle $p=q$ (vergleiche hierfür das letzte Übungsblatt) und $p\neq q$.

Aufgabe 6

Zeige, dass jede endliche $p$-Gruppe auflösbar ist.

Anleitung

Führe eine Induktion über $n$, für $p^n$ die Ordnung der $p$-Gruppe. Die Fälle bis $n=2$ sind bereits bekannt, für den Induktionsanfang ist also nichts zu zeigen. Suche dann für den Induktionsschritt einen Normalteiler $N$ der Ordnung $p^i$ für ein $1\leq i< n$ in $G$ (so dass also die Faktorgruppe $G/N$ gerade die Ordnung $p^{n-i}$ besitzt) und verwende die Induktionsvoraussetzung für die Faktorgruppe und den Normalteiler, zusammen mit Aufgabe 4. (Tipp: Unterscheide zwei Fälle. Ist $G$ abelsch, so ist ohnehin nichts zu zeigen. Ist $G$ nicht abelsch, so ist Dir aus den bisherigen Aufgaben schon ein geeigneter Normalteiler bekannt...)

Aufgabe 7

Sezte hier als bekannt voraus, dass $A_5$ die kleinste nicht-abelsche einfache Gruppe ist. Zeige unter dieser Voraussetzung, dass jede Gruppe von Ordnung $< 60$ auflösbar ist.

Tipps
Was bedeutet es definitionsgemäß, dass eine Gruppe nicht einfach ist? Verwende Aufgabe 4.