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Gruppen 3: Elementare Gruppentheorie


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Mögliche Literatur: S. Bosch, Algebra, Seiten 243 - 254.

Symmetrische Gruppe

Aufgabe 1

Wie immer bezeichne $S_n$ die symmetrische Gruppe in $n$ Ziffern. Zeige:
  1. Jedes Element $\sigma\in S_n$ lässt sich als ein Produkt disjunkter Zykel schreiben
  2. Jedes $\sigma\in S_n$ lässt sich als Produkt von Transpositionen darstellen.
  3. $A_n\subset S_n$ wird von der Menge der $3$-Zykeln in $S_n$ erzeugt.
  4. Es ist $S_n=\langle (1,2,\ldots,n),(i,i+1)\rangle$ für jedes $i\in\{1,\ldots,n-1\}$. Ist $n$ eine Primzahl, so wird $S_n$ von einem beliebigen $n$-Zykel und einer beliebigen Transposition erzeugt. Finde ein Gegenbeispiel zu diesem Zusatz für den Fall, dass $n$ nicht prim ist. Betrachte dann Deinen Beweis - lässt sich die Voraussetzung, dass $n$ prim ist, abschwächen?

Tipps
  • Zu a). Betrachte die Bahnen der kanonischen Wirkung von $\langle\sigma\rangle$ auf $\{1,\ldots,n\}$. Was ist der Zusammenhang zwischen einem Orbit von $\langle\sigma\rangle$ und einem Zykel-Faktor von $\sigma$?
  • Zu b). Verwende a), indem Du Dir überlegst, dass es also genügt, zu zeigen, dass sich jeder Zykel als Produkt von Transpositionen schreiben lässt.
  • Zu c). Verwende Teil b), indem Du die Transpositionen in Paare sortierst. Unterscheide dabei die Fälle $(i,j)(j,k)$ und $(i,j)(k,l)$ (der zweite Fall lässt sich direkt auf den ersten zurückführen).
  • Zu d). Überlege Dir zuerst allgemein, dass (und wie) für einen beliebigen Zykel $(1,\ldots, m)$ (oBdA nach Umnummerieren immer von dieser Form) und ein $\sigma\in S_n$ gilt $$\sigma(1,\ldots,m)\sigma^{-1} = (\sigma(1),\ldots,\sigma(m)).$$ Zeige nun, dass sich aus $(1,2,\ldots,n)$ und $(i,i+1)$ für ein festes $i$ jede Transposition $(j,j+1)$ und damit dann jede beliebige Transposition erzeugen lässt. Zum Zusatz: Überlege Dir, dass sich dieser Fall auf den obigen reduzieren lässt - betrachte dazu eine geeignete Potenz des $n$-Zykels (und nummeriere bei Bedarf die Elemente $\{1,\ldots,n\}$ passend um). Als mögliches Gegenbeispiel im Fall, dass $n$ nicht prim ist, betrachte die Gruppe $\langle (1,2,3,4),(1,3)\rangle\subset S_4$.

Aufgabe 2

Bestimme alle Untergruppen der $S_4$.

Tipps
Mögliche Vorgehensweise: Unterscheide die Untergruppen nach solchen, die transitiv auf $\{1,2,3,4\}$ wirken und solchen, die das nicht tun. Überlege Dir weiter, dass ganz allgemein eine nicht transitiv (auf $\{1,\ldots,n\}$) wirkende Untergruppe der $S_n$ bereits in einer Untergruppe der Form $S _ {i_1}\times \ldots\times S _ {i_r}\subset S_n$ liegen muss mit $\sum\limits_{j=1}^ri_j=n$ - im Falle von $n=4$ wie in der Aufgabe muss eine solche Untergruppe also in $S_2\times S_2\subset S_4$ oder in $(S_3\times S_1\simeq ) S_3\subset S_4$ liegen. Auf diese Weise lassen sich systematisch alle nicht transitiv wirkenden Untergruppen bestimmen. Versuche dann, die verschiedenen transitiv wirkenden Untergruppen ihren Erzeugern nach aufzulisten, unter Verwendung der Ergebnisse aus Aufgabe 1. Falls Du Dir unsicher bist kannst Du Deine Liste z.B. hier auf Vollständigkeit überprüfen.

Ein Rätsel

Rätsel und Lösung von dieser Seite. Vielen Dank an Ingo für den Tipp!

$100$ Gefangene erhalten die einmalige Chance, ihre Freiheit durch folgendes Spiel zurückzugewinnen: Jeder Gefangene trägt eine eindeutige Nummer zwischen $1$ und $100$. Die Gefangenen können auf keine Weise miteinander kommunizieren, außer einmal vor Spielbeginn, um eine gemeinsame Strategie festzulegen. Danach werden sie getrennt und jeder Gefangene wird einzeln in einen Raum gebracht, in dem $100$ identische Kisten in einer Reihe stehen, von denen jede einen Zettel mit einer eindeutigen Zahl zwischen $1$ und $100$ enthält (alle Zahlen von $1$ bis $100$ tauchen also in jeweils einer Kiste auf). Jeder Gefangene darf hier $50$ der $100$ Kisten öffnen, danach wird der Raum (natürlich inklusive der Kisten) wieder in seinen Ausgangszustand zurückversetzt. Hat der Gefangene in keiner der $50$ von ihm geöffneten Kisten den Zettel mit der Zahl, die seiner Nummer entspricht, gefunden, ist das Spiel beendet und alle Gefangenen haben ihre Chance verwirkt. Das Spiel endet für die Gefangenen also nur dann erfolgreich, wenn \textbf{alle} Gefangenen bei einem ihrer $50$ Versuche ihre eigene Nummer ziehen - würden alle ihre Kisten zufällig auswählen, wäre die Chance auf Erfolg also $(1/2)^{100}\approx 8\cdot 10^{-31}$ und damit praktisch nicht vorhanden. Überlege Dir eine Strategie, mit der die Gefangenen einen Erfolgschance von mindestens $30\%$ haben.

Anleitung
  • Betrachte die Menge $\{1,\ldots,100\}$ der Gefangenen-Nummern. Die Anordnung der Nummern in den Kisten stellt dann eine Permutation dieser Menge, also ein Element der symmetrischen Gruppe $S_{100}$ dar. Als solches lässt es sich wie aus Aufgabe 1 bekannt als Produkt disjunkter Zykel schreiben.
  • Bedenke nun die folgende Strategie: Die Gefangenen bestimmen, die Kisten (bei noch unbekanntem Inhalt) im Voraus eindeutig zu nummerieren (z.B. von links nach rechts - es war ja vorgegeben, dass die Kisten in einer Reihe stehen sollen). Jeder Gefangene startet bei der Kiste, die seiner eigenen Nummer entspricht, öffnet sie, und wählt als nächste Kiste diejenige, die der in der Kiste gefundenen Nummer entspricht.
  • Überlege dir, dass diese Strategie genau dann erfolgreich sein wird, wenn die obige Zykelzerlegung keinen Zykel einer Länge $> 50$ als Faktor enthält. Überlege Dir schließlich, wie sich die Anzahl solcher Permutationen, deren Zerlegung in disjunkte Zykel einen Zykel der Länge $n$ (für $n\in\{51,\ldots,100\}$) enthält, berechnen lässt und bestimme damit die Wahrscheinlichkeit, dass die Zerlegung einer beliebigen Permutation aus $S_{100}$ einen $n$-Zykel enthält (Tipp: Diese ist gerade $1/n$ - ein Beispiel für kleinere Zahlen kann bei der Ideenfindung helfen).
  • Optional: Um das zumindestens manuell aufwändige Summieren der erhaltenen Wahrscheinlichkeiten durch eine hinreichend genaue Abschätzung zu ersetzen (bei der sich der Rechenaufwand auf eine einzige Logarithmus-Auswertung reduziert, für beliebige Anzahlen von Gefangenen), überlege Dir, dass sich die Summe durch ein passendes Integral (von $50$ bis $100$ in diesem Fall, von $n/2$ bis $n$ für $n$ Gefangene) über die Funktion $1/x$ abschätzen lässt.

p-Gruppen und Sylowsätze

Aufgabe 4

  1. Zeige, dass für eine $p$-Gruppe $G$ gilt: $p \vert \lvert Z(G)\rvert$.
  2. Zeige, dass jede Gruppe der Ordnung $p^2$ abelsch ist.

Tipps
  • Zu a). Betrachte eine geeignete Gruppenwirkung von $G$ auf sich selbst (die Wirkung sollte der Art sein, dass sich die Elemente des Zentrums als die Elemente charakterisieren lassen, deren Bahnen die Länge $1$ haben). Erinnere dich dann daran, dass die Länge einer Bahn stets ein Teiler von $\lvert G\rvert $ ist (warum?) und verwende die Bahnengleichung.
  • Erinnere Dich an die Übungsaufgaben von Woche 2 zu zyklischen Gruppen.

Aufgabe 5

Gib eine vollständige Formulierung der Sylowsätze und nutze diese für eine möglichst kurze Lösung von Examensaufgabe F12-T1-A2.

Aufgabe 6

  1. Finde ein Beispiel für eine Gruppe $G$ und eine Primzahl $p$, so dass sich zwei $p$-Sylowgruppen $S$ und $R$ von $G$ nichttrivial schneiden (das heißt $\{1_G\}\subsetneq S\cap R$).
  2. Beweise den zweiten Sylowsatz (dass je zwei $p$-Sylowgruppen zueinander konjugiert sind).
  3. Zeige: Ist $S$ eine $p$-Sylowgruppe einer Gruppe $G$, so ist die Anzahl $s_p$ aller $p$-Sylowgruppen in $G$ gleich $[G:N_S]$, wobei $N_S$ den Normalisator von $S$ in $G$ bezeichnen soll.

Tipps
  • Zu a). Eine Möglichkeit: $G=S_5$, $p=2$.
  • Zu b). Sind $S,R$ zwei beliebige $p$-Sylowgruppen, dann betrachte die Wirkung von $R$ auf $G/S$ durch Linkstranslation und versuche zu verwenden, dass nach Definition $p$ nicht $\vert G/S\rvert$ teilt, wohingegen ja aber $R$ sogar eine $p$-Gruppe ist, um mit Hilfe der Bahnengleichung zu folgern, dass diese Wirkung mindestens einen Fixpunkt haben muss.
  • Zu c). Betrachte die Wirkung von $G$ auf der Menge aller $p$-Sylowgruppen durch Konjugation und verwende den zweiten Sylowsatz.