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Gruppen 2: Elementare Gruppentheorie


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Mögliche Literatur: S. Bosch, Algebra, Seiten 20 - 23 und 238 - 243.

Aufgabe 1

  1. Zeige, dass eine Gruppe $G$ genau dann zyklisch ist, wenn es einen surjektiven Gruppenmorphismus $\mathbb{Z}\rightarrow G$ gibt.
  2. Folgere, das jede zyklische Gruppe isomorph zu $\mathbb{Z}_m:=\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ für ein $m\in\mathbb{N}\cup\{0\}$ ist.

Tipps
  • Zu a). Mögliche Hinweise: Ist $\varphi\colon\Z\rightarrow G$ ein Gruppenmorphismus von $\Z$ in irgendeine Gruppe $G$, wieso ist dann $\varphi$ eindeutig durch $\varphi(1)\in G$ bestimmt? Gibt es für jedes $g\in G$ einen Morphismus $\varphi_g\colon \Z\rightarrow G$ mit $\varphi_g(1)=g$? Falls du einen solchen Morphismus findest, was ist sein Bild? Und schließlich: Was ist, wenn $G$ zyklisch ist, d.h. $G=\langle g\rangle$ für ein $g\in G$?
  • Zu b). Überlege, welche Untergruppen es in $\mathbb{Z}$ gibt und verwende den Homorphiesatz.

Aufgabe 2

Zeige: Ist $p$ eine Primzahl, so ist jede Gruppe der Ordnung $p$ zyklisch.

Tipps
Welche Ordnungen können Elemente einer solchen Gruppe haben? (Tipp: Satz von Lagrange, und: Wie hängt die Ordnung eines Elementes $g\in G$ in einer Gruppe $G$ mit der Ordnung $\lvert\langle g\rangle\rvert$ der von $g$ erzeugten Untergruppe von $G$ zusammen?)

Aufgabe 3

  1. Ist $G$ eine endliche Gruppe mit neutralem Element $1$, so gilt für alle $g\in G$, dass $g^{\lvert G\rvert }=1$ (kleiner Satz von Fermat).
  2. Wie immer bezeichne $Z(G)$ das Zentrum einer beliebigen Gruppe $G$. Zeige: Ist $G/Z(G)$ zyklisch, so ist $G$ abelsch.
  3. Ist $G$ eine zyklische Gruppe der Ordnung $n$, so gibt es für jeden Teiler $m$ von $n$ genau eine Untergruppe von $G$ der Ordnung $m$, und diese ist wiederum zyklisch.

Tipps
  • Zu a). Betrachte die von $g$ erzeugte Untergruppe und verwende den Satz von Lagrange. (Wie hängt die Ordnung eines Elementes $g\in G$ in einer Gruppe $G$ mit der Ordnung $\lvert\langle g\rangle\rvert$ der von $g$ erzeugten Untergruppe von $G$ zusammen?)
  • Zu b). Die Voraussetzung, dass $G/Z(G)$ zyklisch ist, bedeutet ja nichts anderes als $G/Z(G)=\langle[x]\rangle$ für ein geeignetes $x\in G$ - damit lässt sich jedes Element $g\in G$ schreiben als $x^ih$ für ein $i\in\N\cup\{0\}$ und $h\in Z(G)$...
  • Zu c). Zeige zuerst, dass jede Untergruppe einer zyklischen Gruppe wieder zyklisch ist. [Beweisidee hierfür: Sei $a$ ein Erzeuger von $G$, dann ist jedes Element der Untergruppe ja von der Form $a^i$ für ein $i\in\mathbb{N}\cup\{0\}$. Sei dann $j\in\mathbb{N}$ (also insbesondere $j>0$) die kleinste Zahl, so dass $a^j$ in der Untergruppe liegt, zeige dann, dass dieses Element die Untergruppe erzeugt. Division mit Rest kann hierbei sehr hilfreich sein... ] Zeige danach, dass zu jedem Teiler eine solche Untergruppe existiert - ist $a$ ein Erzeuger von $G$, welche Potenz von $a$ ist dann ein kanonischer Kandidat für den Erzeuger der Untergruppe? Wieso zeigen diese beiden Aussagen zusammen die Behauptung? Also: Wieso müssen zwei zyklische Untergruppender selben Ordnung von $G$ schon gleich sein? Beachte, dass die Aussage im Allgemeinen sicher nicht stimmt, wenn $G$ nicht zyklisch ist... (Was wäre ein Gegenbeispiel?) Wenn Du nicht weiterkommst, hilft es vielleicht, die Aussage erst einmal an einem konkreten Beispiel -z.B. $\Z_{12}$ - nachzuvollziehen.

Beispiel(e)
Was sind die Untergruppen von $\Z_{18}$?

Aufgabe 4 (Gruppenwirkungen)

Gib vollständige Definitionen der folgenden Begriffe:
(freie, effektive, transitive) Gruppenwirkung einer Gruppe auf einer Menge, Bahn, Standgruppe einer solchen Wirkung

a.) Sei $G$ eine Gruppe und $X$ eine Menge. Zeige, dass jede Gruppenwirkung von $G$ auf $X$ einem eindeutigen Gruppenmorphismus $$G\rightarrow S_{\lvert X\rvert}$$ von $G$ in die symmetrische Gruppe in $\lvert X\rvert$ Ziffern entspricht, und umgekehrt, dass es also mit anderen Worten eine Bijektion $$\{\text{Gruppenwirkungen von }G\text{ auf }X\}\leftrightarrow \{\text{Gruppenmorphismen }G\rightarrow S_{\lvert X\rvert}\}$$ gibt. Zeige weiter, dass sich unter dieser Bijektion effektive Gruppenwirkungen von $G$ auf $X$ und injektive Gruppenmorphismen $G\rightarrow S_{\lvert X\rvert}$ entsprechen.

b.) Zeige, dass die folgenden beiden Abbildungen Gruppenwirkungen von $G$ auf sich selbst definieren:

  1. Die {Wirkung durch (Links-)Translation: $$\begin{aligned} G\times G&\rightarrow G\\ (g,h)&\mapsto gh \end{aligned}$$
  2. Die Wirkung durch Konjugation: $$\begin{aligned} G\times G&\rightarrow G\\ (g,h)&\mapsto ghg^{-1} \end{aligned}$$
Sind diese Wirkungen effektiv? Kann man mit Hilfe von a) und b) die Gruppe $G$ als Untergruppe von $S_{\lvert G\rvert}$ auffassen?

Tipps
  • Zu a). Für eine Gruppenwirkung $\varphi\colon G\times X\rightarrow X$ definiere die Abbildung $G\rightarrow \mathrm{Abb}(X,X)$ in die Menge $\mathrm{Abb}(X,X)$ der Abbildungen von $X$ nach $X$, indem Du für ein $g\in G$ die zugehörige Abbildung durch $x\mapsto \varphi(g,x)$ definierst. Wieso sind die Abbildungen im Bild dieser Zuordnung schon bijektiv (und damit nach Definition Permutationen der Elemente von $X$, also selbst wiederum Elemente von $S_{\lvert X\rvert}$)?

Beispiel(e)
  • Zeige, dass $\Z\times\Z_4\rightarrow\Z_4,~(a,[b])\mapsto [a+b]$ eine wohldefinierte Gruppenwirkung ist. Was ist der zugehörige Morphismus $\Z\rightarrow S_{\lvert \Z_4\rvert}=S_4$? Ist diese Wirkung effektiv? Ist sie transitiv?
  • Betrachte den Morphismus $\varphi\colon\Z_4\rightarrow S_4$, der durch $1\mapsto (1,2,4,3)$ gegeben ist (wieso/wie definiert dies eindeutig einen Gruppenmorphismus?). Wir fassen die Elemente von $S_4$ als Permutationen der Elemente $[1],[2],[3],[4]$ der Menge $X=\Z_5\setminus\{[0]\}$ auf. Was ist die zu $\varphi$ gehörige Gruppenwirkung von $\Z_4$ auf $X$? Ist diese Wirkung effektiv? Ist die Wirkung transitiv? Gib einen Gruppenisomorphismus $(\Z_4,+)\simeq (\Z_5\setminus\{[0]\},\cdot)=(X,\cdot)$ an - entspricht die obige Wirkung unter diesem Morphismus einer Wirkung der Gruppe $X$ auf sich selbst, die Du bereits kennst?
  • Denke Dir weitere Beispiele aus, z.B. für eine effektive, aber nicht transitive und eine nicht effektive, aber transitive Wirkung...

Aufgabe 5 (Bahnengleichung)

Sei $\sigma\colon G\times X\rightarrow X$ eine Wirkung einer Gruppe $G$ auf einer Menge $X$.
  1. Zeige, dass die Bahnen dieser Wirkung eine disjunkte Zerlegung von $X$ bilden.
  2. Sei $G\times X\rightarrow X$ eine Gruppenwirkung einer Gruppe $G$ auf einer endlichen Menge $X$. Seien $x_1,\ldots ,x_n$ ein Repräsentantensystem der Bahnen dieser Wirkung und seien $G _ {x_i}$ die entsprechenden Standgruppen. Zeige, dass gilt: $$\lvert X\rvert =\sum_{i=1}^n[G:G_{x_i}]$$

Tipps
  • Zu zeigen ist also, dass für zwei Bahnen $Gx_1,Gx_2$ gilt: $Gx_1=Gx_2$ oder $Gx_1\cap Gx_2=\emptyset$, und dass außerdem jedes $x\in X$ in mindestens einer (nach der vorigen Überlegung also genau einer) Bahn liegt - in welcher Bahn liegt $x\in X$ auf jeden Fall?
  • Zu b). Unter einem Repräsentantensystem der Bahnen (einer Wirkung) verstehen wir eine Menge $\{x_1,\ldots,x_n\}$ von Elementen $x_i\in X$, so dass für alle $i\neq j$ gilt $Gx_i\neq Gx_j$ und $\{Gx_i\vert i=1,\ldots,n\}$ die Menge aller Bahnen ist. $[G:G_{x_i}]$ is nur eine andere Schreibweise für $\lvert G/G_{x_i}\rvert$. Zeige für die eigentliche Aussage, dass (für alle $x_i$, oder allgemeiner für alle $x\in X$) eine Bijektion von Mengen $G/G_{x_i}\leftrightarrow Gx_i$ existiert (wobei $Gx_i$ die Bahn von $x_i$ unter der Wirkung von $G$ und $G _ {x_i}$ die Standgruppe von $G$ an $x_i$ bezeichnen soll) - was wäre eine kanonische Abbildung $f\colon G\rightarrow Gx_i$? Ist die induzierte Abbildung $\overline f\colon G/G_{x_i}\rightarrow Gx_i,~[g]\mapsto f(g)$ wohldefiniert? Ist sie injektiv/surjektiv?

Beispiel(e)
  • $S_3$ wirkt auf der Menge $X=\{1,2,3,4\}$ durch Permutation der ersten drei Ziffern. Was sind die Bahnen? Prüfe die Bahnengleichung von Hand nach!
  • Überlege Dir ein Beispiel für eine Gruppe $G$, eine Menge $X$ und eine Gruppenwirkung $G\times X\rightarrow X$, die $X$ in mindestens drei Bahnen zerlegt und prüfe auch hier die Bahnengleichung nach!

Aufgabe 6

  1. Sei $G\times X\rightarrow X$ eine transitive Gruppenwirkung. Zeige, dass alle Standgruppen der Wirkung zueinander konjugiert sind.
  2. Sei $G$ eine Gruppe und $M:=\{U\subset G\text{ Untergruppe}\}$ die Menge aller Untergruppen von $G$. Betrachte die Wirkung von $G$ auf $M$ durch Konjugation, also $$\begin{aligned} G\times M&\rightarrow M\\ (g,U)&\mapsto gUg^{-1}. \end{aligned}$$ Unter welchem anderen Begriff kennst Du die Standgruppe eines Elementes $U$ aus $M$?
  3. Quelle: Nach Aufgabe 5.1.1 aus Algebra von S. Bosch.
    Sei $G$ eine Gruppe und $H$ eine Untergruppe. Betrachte die Wirkung $$\begin{aligned} H\times G&\rightarrow G\\ (h,g)&\mapsto hg \end{aligned}$$ von $H$ auf $G$ durch (Links-)Translation. Unter welchem anderen Begriff kennst du die Bahnen dieser Wirkung?

Tipps
  • Zu a). Zur Erinnerung: Zwei Untergruppen $U,V\subset G$ heißen konjugiert zueinander, wenn ein $g\in G$ existiert, so dass $U=gVg^{-1}$.

Aufgabe 7

Sei $G$ eine endliche Gruppe und $p$ die kleinste Primzahl, die $\lvert G\rvert $ teilt. Sei weiter $H\subset G$ eine Untergruppe mit Index $[G:H]=p$. Zeige, dass $H$ ein Normalteiler in $G$ ist.

Anleitung
Mögliche Beweisvariante:
  1. Definiere eine Wirkung von $G$ auf der Menge $G/H$ der ($G$-Links-)Nebenklassen von $H$, durch $$G\times G/H\rightarrow G/H,\quad (g,aH)\mapsto (ga)H.$$ Diese entspricht bekanntlich (vgl. Aufgabe 4) einem Gruppenmorphismus $\varphi\colon G\rightarrow S_{\lvert G/H\rvert}$. Der Kern dieses Morphismus' ist also ein Normalteiler in $G$ vgl. Aufgabe 4 des ersten Übungsblattes (Homomorphiesatz). Überlege Dir, dass $\mathrm{ker}(\varphi)$ außerdem eine Untergruppe von $H$ ist (wieso genügt es, nur "Teilmenge" - statt "Untergruppe" zu zeigen?).
  2. Verwende den Homomorphiesatz, um $G/\mathrm{ker}(\varphi)$ als Untergruppe von $S_{\lvert G/H\rvert}$ aufzufassen (Ist $\iota\colon H\rightarrow G$ ein injektiver Gruppenmorphismus, also $\ker(\iota)=\{1_H\}$, so können wir $H$ folgendermaßen als Untergruppe von $G$ auffassen: Schränken wir die Zielgruppe $G$ auf das Bild $\im(\iota)$ von $\iota$ (das ja eine Untergruppe von $G$ ist - wieso?) ein, so ist der induzierte Morphismus $\iota\colon H\rightarrow \im(\iota)$ offensichtlich surjektiv. Da $\iota$ aber auch schon injektiv war, ist $\iota\colon H\overset{\simeq}{\rightarrow}\im(\iota)$ ein Isomorphismus, und wir identifizieren auf diese Weise $H$ mit der Untergruppe $\im(\iota)\subset G$).
  3. Folgere mit dem Satz von Lagrange, dass $\lvert G/\mathrm{ker}(\varphi)\rvert $ entweder $1$ oder $p$ sein muss. Wieso ist $1$ ausgeschlossen? (Was würde das für $\ker(\varphi)$ bedeuten? Und was für $H$?)
  4. Schließe hieraus, dass $\mathrm{ker}(\varphi)=H$ gilt.