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Gruppen 1: Elementare Gruppentheorie


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Mögliche Literatur: S. Bosch, Algebra, Seiten 20 - 23 und 238 - 243.

Aufgabe 1

Gib vollständige Definitionen der folgenden Begriffe an: (Abelsche) Gruppe, Untergruppe, Zentrum, Zentralisator, Normalisator, Gruppenmorphismus, Normalteiler Sei nun $G$ eine Gruppe.
  1. Betrachte die Abbildung $$\begin{aligned} p_n\colon G&\rightarrow G\\ g&\mapsto g^n\end{aligned}$$ für ein $n\in\mathbb{N}$. Ist $p_n$ ein Gruppenmorphismus?
  2. Zeige, dass die Abbildung $$\varphi\colon G\rightarrow \mathrm{Aut}(G),$$ gegeben durch $$\begin{aligned} \varphi(g)\colon G&\rightarrow G\\ h&\mapsto ghg^{-1} \end{aligned}$$ ein Gruppenmorphisus ist. Was ist der Kern?
  3. Seien $H$ und $N$ Untergruppen von $G$. Zeige, dass $H\cap N$ eine Untergruppe von $G$ ist. Zeige weiter, dass $N\cdot H=\{n\cdot h~\vert~n\in N,~h\in H\}$ eine Untergruppe von $G$ ist, sofern $N$ ein Normalteiler ist.

Aufgabe 2

Nach Aufgabe 1.1.2 aus Algebra von S. Bosch.
  1. Existiert ein Gruppenisomorphismus $(\mathbb{R},+)\simeq (\mathbb{R}_{>0},\cdot)$?
  2. Ist $(\mathbb{Q},+)$ isomorph zu $(\mathbb{Q}_{>0},\cdot)$?

Tipps
  • Zu a.) $e$-Funktion.
  • Zu b.) Betrachte z.B. die Gleichung $x^2=2$ in $\mathbb{Q}_{>0}$. Angenommen, $\mathbb{Q}$ und $\mathbb{Q}_{>0}$ wären isomorph, welche Gleichung könnte man dann, um Lösungen zu finden, äquivalent in $\mathbb{Q}$ lösen? Wie steht es um die jeweilige Lösbarkeit?

Aufgabe 3 (Satz von Lagrange)

Sei $G$ eine endliche Gruppe und $H$ eine Untergruppe. Gib die Definition einer (links-)Nebenklasse $gH$ für ein $g\in G$ an.
  1. Zeige: Für $g_1,g_2\in G$ gilt $$g_1H=g_2H\Leftrightarrow g_1^{-1}g_2\in H,$$ und $$g_1H\neq g_2H\Leftrightarrow g_1H\cap g_2H=\emptyset ,$$ das heißt, die Linksnebenklassen sind disjunkt.
  2. Zeige, dass je zwei Linksnebenklassen gleich viele Elemente besitzen, nämlich gerade $\lvert H\rvert $ Stück.
  3. Folgere aus a und b den Satz von Lagrange, also $\lvert G\rvert = \lvert H\rvert\cdot\lvert G/H\rvert $ wobei $\lvert G/H\rvert $ die Anzahl der Linksnebenklassen bezeichnen soll.
  4. Zeige: Ist $H$ ein Normalteiler in $G$, so bildet die Menge $G/H:= \{gH~\vert g\in G\}$ der Linksnebenklassen, zusammen mit der Verknüpfung $g_1H\cdot g_2H:= g_1g_2H$, eine Gruppe.

Tipps
  • Die Definition der Linksnebenklasse zu $g\in G$ ist $gH:= \{gh~\vert ~h\in H\}$.
  • Zu d.Zu zeigen ist hier eigentlich nur die Wohldefiniertheit! (Was könnte schief gehen bei dieser Definition der Multiplikation?)

Beispiel(e)
  • Betrachte $G=\mathbb{Z}$ und $H=4\mathbb{Z}$. Was sind die Nebenklassen und wie funktioniert die kanonische Gruppenoperation auf $\Z_4\coloneqq\mathbb{Z}/4\Z$?
  • Betrachte $G=S_4$ (die symmetrische Gruppe in $4$ Ziffern) und $$H=V_4\coloneqq \{\id,(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)\}$$ die Kleinsche Vierergruppe. Schreibe Dir explizit alle (links-)Nebenklassen auf. Überzeuge Dich, dass $V_4\subset S_4$ ein Normalteiler ist und mache Dich mit der kanonischen Gruppenoperation auf $S_4/V_4$ vertraut.
  • Überlege Dir weitere Beispiele!

Aufgabe 4

Sei $\varphi\colon H\rightarrow G$ ein Gruppenmorphismus.
  1. Zeige, dass $\mathrm{ker}(\varphi)$ ein Normalteiler in $H$ ist.
  2. Überlege, inwiefern $\varphi$ einen Gruppenmorphismus $\overline\varphi\colon H/\mathrm{ker}(\varphi)\rightarrow G$ induziert, und zeige, dass $\overline\varphi$ injektiv ist und dass also insbesondere $\overline\varphi$ ein Isomorphismus ist, falls $\varphi$ surjektiv ist.
  3. (optional, aber hilfreich u.a. für die nächste Aufgabe)
    Überlege Dir folgende leichte Verallgemeinerung von b): Ist $\varphi\colon H\rightarrow G$ ein Gruppenmorphismus und $N\subset H$ ein Normalteiler, und gilt $\varphi(n)=e_G$ für alle $n\in N$ und $e_G$ das neutrale Element in $G$ (also $N\subset\ker(\varphi)$), so induziert $\varphi$ einen wohldefinierten Gruppenmorphismus $$\overline\varphi\colon H/N\rightarrow G,\quad [h]\mapsto \varphi(h).$$

Tipps
  • Zu b.Die Abbildungsvorschrift von $\overline\varphi$ ist gegeben durch $\overline\varphi(h\mathrm{ker}(\varphi))=\varphi(h)$, vgl. Teil c) (wieso ist das wohldefiniert?)

Beispiel(e)
  • Wie immer schreiben wir $Z_n\coloneqq\Z/n\Z$. Betrachte den Morphismus $$\varphi\colon \Z_{12}\rightarrow\Z_4,\quad [x]\mapsto [x].$$ (Wieso) ist dieser wohldefiniert? Was sind $\ker(\varphi)$ und $Z_{12}/\ker(\varphi)$? Wie sieht $\overline\varphi$ aus?
  • Überlege Dir weitere Beispiele!

Aufgabe 5

Leite aus dem Homomorphiesatz die Isomorphiesätze ab, zeige also:
(I1)
Ist $G$ eine Gruppe, $H\subset G$ eine Untergruppe und $N\subset G$ ein Normalteiler. Dann ist $$H\cdot N\coloneqq\{h\cdot n\vert h\in H,~n\in N\}\subset G$$ eine Untergruppe, $N\subset H\cdot N$ ein Normalteiler, $H\cap N\subset H$ ebenfalls ein Normalteiler und wir erhalten einen kanonischen Isomorphismus $$H/(H\cap N)\overset{\sim}{\longrightarrow}(H\cdot N)/N.$$
(I2)
Ist $G$ eine Gruppe und sind $H,N$ Normalteiler in $G$ mit $N\subset H\subset G$. Dann sind auch $N\subset H$ und $H/N\subset G/N$ Normalteiler und wir erhalten einen kanonischen Isomorphismus $$(G/N)/(H/N)\overset{\sim}{\longrightarrow}G/H.$$

Anleitung
  • Zu (I1): Zum Nachrechnen der Untergruppen-/Normalteilereigenschaften vgl. auch die erste Aufgabe. Überlege Dir, dass $$\iota\colon H\rightarrow H\cdot N,\quad h\mapsto h\cdot e_N$$ (mit $e_N\in N$ dem neutralen Element) einen Gruppenmorphismus definiert. Verknüpfe diesen mit der kanonischen Projektion $\pi_N\colon H\cdot N\rightarrow (H\cdot N)/N$ und überlege Dir, dass $$H\overset{\iota}{\longrightarrow}H\cdot N\overset{\pi_N}{\longrightarrow}(H\cdot N)/N$$ surjektiv ist und $\ker(\pi_N\circ\iota)=H\cap N$ ist. Verwende nun den Homomorphiesatz.
  • Mache Dir zuerst klar, inwiefern sich $H/N$ als Untergruppe bzw. Normalteiler von $G/N$ auffassen lässt (Tipp: Bearbeite zuerst die nächste Aufgabe zum Korrespondenzsatz). Überlege dann, dass die kanonische Projektion $\pi_H\colon G\rightarrow G/H$ einen (kanonischen) surjektiven Gruppenmorphismus $$\pi\colon G/N\rightarrow G/H,\quad [g]_N\mapsto [g]_H$$ induziert (vgl. den optionalen Teil c) der vorigen Aufgabe zum Homomorphiesatz), wobei hier $[\bullet]_N$ die Nebenklassen modulo $N$ -- und analog für $H$ -- bezeichnen soll und zeige schließlich $\ker(\pi)=H/N$.

Beispiel(e)
  • Zu (I1)
    Betrachte z.B. $G=S_4$, $H=\langle(1,2,3)\rangle=\{\id,(1,2,3),(1,3,2)\}$ und $N=V_4$ (die Kleinsche Vierergruppe, wie oben) und prüfe den ersten Isomorphiesatz von Hand nach.
  • Zu (I2):
    Verwende hier z.B. $G=S_4$, $H=A_4$ (die alternierende Gruppe) und $N=V_4$, um den zweiten Isomorphiesatz nachzuprüfen.
  • Überlege Dir weitere Beispiele!

Aufgabe 6 (Korrespondenzsatz)

Sei $G$ eine Gruppe und $N$ ein Normalteiler in $G$. Zeige, dass eine bijektive Abbildung $$\{U\subseteq G\text{ Untergruppe}\vert N\subseteq U\}\leftrightarrow \{V\subseteq G/N\text{ Untergruppe}\}$$ existiert. Zeige weiter, dass $U$ ein Normalteiler in $G$ ist genau dann, wenn die zugehörige Untergruppe $V\subset G/N$ ein Normalteiler in $G/N$ ist.

Tipps
Eine der beiden Abbildungen (von links nach rechts in der obigen Schreibweise) ist gegeben durch $U\mapsto U/N$ (wieso ist das wohldefiniert? etc.)

Anleitung
Erinnere dich an die kanonische Projektion $$\pi\colon G\rightarrow G/N,\quad g\mapsto [g].$$

Definiere Abbildungen $$\varphi\colon\{U\subseteq G\text{ Untergruppe}\vert N\subseteq U\}\rightarrow \{V\subseteq G/N\text{ Untergruppe}\},\quad$$ $$U\mapsto \pi(U)=U/N$$ und $$\psi\colon \{V\subseteq G/N\text{ Untergruppe}\}\rightarrow \{U\subseteq G\text{ Untergruppe}\vert N\subseteq U\},\quad$$ $$V\mapsto \pi^{-1}(V),$$ und zeige, dass diese wohldefiniert sind (Tipp: Für $\varphi$ ist nichts zu zeigen, was könnte im Falle von $\psi$ schiefgehen?).

Spoiler
  • zur Wohldefiniertheit von $\psi$: Es ist also zu zeigen, dass für eine Untergruppe $V\subset G/N$ die Menge $\pi^{-1}(V)\subset G$ wirklich wieder eine Untergruppe ist (und dass $N\subset \pi^{-1}(V)$ ist, was dann aber wieder klar ist).
  • Zeige nun noch, dass $\varphi$ und $\psi$ zueinander invers sind, also $\varphi\circ \psi=\id$ und $\psi\circ\varphi=\id$. Hierbei ist $\varphi\circ\psi=\id$ wieder einfach zu zeigen, der wesentliche Teil hier ist $\psi\circ\varphi=\id$. Dazu ist ja zu zeigen, dass für eine Untergruppe $U\subset G$ mit $N\subset U$ gilt $\pi^{-1}(\pi(U))=U$ -- da diese Behauptung mengentheoretisch im Allgemeinen sicher falsch ist (welche der beiden Inklusionen "$\subset$'' bzw. "$\supset$'' ist im Allgemeinen falsch, welche stimmt immer?), liegt es also nahe, die (Unter-)Gruppenstruktur von $U$ (und die Voraussetzung $N\subset U$) verwenden. Tipp: Was bedeutet "$x\in\pi^{-1}(\pi(U))$'' formal ausgeschrieben?
  • Falls nicht schon geschehen, passe Deine bisherige Argumentation nun noch an den Fall an, dass $U$ bzw. $V$ Normalteiler sind.

Beispiel(e)
  • Betrachte wieder $G=S_4$, $N=V_4$ (die Kleinsche Vierergruppe, wie oben). Überlege Dir, dass $S_4/V_4\simeq S_3$ gelten muss, mögliche Varianten hierzu:

    1. Überlege Dir, dass $\lvert S_4/V_4\rvert = 6$ gilt und also $S_4/V_4$ isomorph zu $\Z_6$ oder $S_3$ sein muss, und finde dann zwei explizite Elemente $a,b\in S_4$, für die $[a][b]\neq [b][a]\in S_4/V_4$ gilt.

    2. Wenn Du bereits den Begriff der Kommutator(unter)gruppe $[G,G]$ zu einer Gruppe $G$ kennst, kannst Du $[S_4,S_4]=A_4$ (ohne Beweis) nutzen, um $S_4/V_4\simeq \Z_6$ aufgrund der Tatsache, dass $\Z_6$ abelsch (sogar zyklisch) ist, auszuschließen.

    Liste jetzt alle Untergruppen von $S_3\simeq S_4/V_4$ auf und finde die entsprechenden Untergruppen $U\subset S_4$ mit $V_4\subset U$.
  • Überlege Dir weitere Beispiele!