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Galoistheorie 2


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Mögliche Literatur: S. Bosch, Algebra, Seiten 158 - 162, Skript von K. Conrad

Aufgabe 1

Sei $ K $ ein Körper. Überlege Dir, wie sich für jedes separable $ f\in K[X] $ von Grad $ n $ die Galoisgruppe $ \gal_K(f) $ als Untergruppe von $ S_n $ auffassen lässt.

Tipps

Verwende eine geeignete Gruppenwirkung der Galoisgruppe auf der Menge der Nullstellen von $ f $ .

Beispiel(e)

Prüfe Deine Überlegungen am Beispiel von $ \gal_\Q(X^4-2) $ nach.

Aufgabe 2

Für einen Körper $ K $ und ein $ f\in K[X] $ definieren wir bekanntlich $ \gal_K(f)\coloneqq \gal(L\vert K) $ für $ L $ einen Zerfällungskörper von $ f $ über $ K $ . Sei nun $ \cha(K)\notin\{2,3\} $ und sei $ f\in K[X] $ irreduzibel mit $ \deg (f)=3 $ . Zeige:

  1. $ \gal_K(f)=A_3 $ oder $ \gal_K(f)=S_3 $ .
  2. Seien $ x_1,x_2,x_3 $ die Nullstellen von $ f $ im Zerfällungskörper $ L $ von $ f $ über $ K $ . Wir definieren \begin{equation*} \Delta\coloneqq \left( (x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_1-x_3)\right) ^2\in K, \end{equation*} die sogenannte Diskriminante von $ f $ . Dann gilt: \begin{equation*} \gal_K(f)=A_3\quad\Leftrightarrow\quad \Delta\text{ ist ein Quadrat in }K \end{equation*}
  3. Verallgemeinere die Aussage auf den Fall von $ \deg(f)=n $ und zeige: \begin{equation*} \gal_K(f)\subset A_n\quad\Leftrightarrow\quad\Delta\text{ ist ein Quadrat in }K. \end{equation*}

Tipps
  • Zu b). Betrachte das Element $ \delta\coloneqq (x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_1-x_3)\in K $ (wann liegt dieses Element bereits in $ K $ ?). Für ein $ \sigma\in \gal_K(f) $ , was ist $ \sigma(\delta) $ ?
  • Zu c). Der Beweis von b) lässt sich direkt übertragen.

Beispiel(e)

Verwende diese Aufgabe, zusammen mit der folgenden Bemerkung, um den Isomorphietyp von $ \gal_\Q(X^3-3X-1) $ und $ \gal_\Q(X^3-4X-1) $ zu bestimmen.

Bemerkung

Ist $ f=X^3+aX+b $ , so ist die Diskriminante gegeben durch \begin{equation*} \Delta = -4a^3-27b^2. \end{equation*} Zusatzfrage: Wie kann man diese Formel nutzen, um die Diskriminante eines allgemeinen Polynomes dritten Grades zu berechnen? Allgemein lässt sich die Diskriminante eines Polynomes $ f=\sum_{i=0}^na_nX^n $ folgendermaßen systematisch berechnen (vgl. Bosch, Algebra, Seiten 174 - 178): Bekanntlich ist \begin{equation*} f'(X)=\sum_{i=0}^{n-1}(i+1)a_{i+1}X^i=\sum_{i=0}^{n-1}b_iX^i, \end{equation*} mit $ b_i\coloneqq (i+1)a_{i+1} $ . Dann ist die Diskriminante von $ \Delta_f $ gerade \begin{equation*} \Delta_f=(-1)^{n(n-1)/2}\det (M), \end{equation*} wobei $ M $ die folgende Matrix ist: Matrix

Aufgabe 3

Zeige: Ist $ p $ eine Primzahl und $ f\in\Q[X] $ von Grad $ p $ irreduzibel, so dass $ f $ genau zwei Nullstellen in $ \C\setminus\R $ besitzt, dann gilt bereits $ \gal_\Q(f)\simeq S_p. $

Tipps

Erinnere Dich an das Übungsblatt 3, in auf dem gezeigt wurde, dass $ S_n=\langle (1,2,\ldots,n),(i,i+1)\rangle $ für ein beliebiges $ i\in \{1,\ldots, n-1\} $ .

Beispiel(e)

Bestimme den Isomorphietyp von $ \gal_\Q(X^3+4X^2+6) $ .

Aufgabe 4

Sei $ K $ ein Körper und $ f\in K[X] $ separabel. Zeige: $ \gal_K(f) $ operiert transitiv auf den Nullstellen von $ f $ genau dann, wenn $ f $ irreduzibel ist.

Tipps

Ist $ f=g\cdot h $ ein Produkt von Faktoren mit $ \deg(g),\deg(h)<\deg(f) $ , dann ist klar, dass $ \gal_K(f) $ nicht transitiv auf den Nullstellen von $ f $ wirken kann (wieso kann eine Nullstelle von $ g $ nie in der selben Bahn liegen wie eine Nullstelle von $ h $ ?). Für die umgekehrte Richtung erinnere Dich an das letzte Übungsblatt (Galoistheorie I). Sind $ a,b $ zwei Nullstellen von $ f $ , dann konstruiere zuerst einen $ K $ -Morphismus $ \varphi\colon K(a)\rightarrow \overline K $ in einen algebraischen Abschluss $ \overline K $ von $ K $ , so dass $ \varphi(a)=b $ gilt. Überlege Dir dann, dass dieser sich zu einem Morphismus $ \tilde\varphi\colon \zerf_K(f)\rightarrow \overline K $ fortsetzen lässt, und dass dieser aufgrund der Normalität von $ K\subset \zerf_K(f) $ (nach Definition) bereits ein $ K $ -Automorphismus von $ \zerf_K(f) $ ist.

Aufgabe 5 (Bonusaufgabe)

Sei $ n\in\N $ beliebig. Konstruiere eine Galoiserweiterung $ K\subset L $ mit \begin{equation*} \gal(L\vert K)=S_n. \end{equation*}

Tipps

Beginne mit $ L=\quot(k[X_1,\ldots ,X_n])=k(X_1,\ldots ,X_n) $ für einen Körper $ k $ und setze $ G\coloneqq S_n\subset\aut_k(L) $ (wobei hier $ S_n $ durch eine geeignete Gruppenwirkung auf $ k(X_1,\ldots,X_n) $ als Untergruppe von $ \aut_k(L) $ aufgefasst wird - nämlich welche?) und $ K\coloneqq L^G $ (Möglicher Hinweis: $ K $ lässt sich einfach darstellen durch den Gebrauch der elementarsymmetrischen Funktionen).
Mögliche Variante: Eventuell fällt es hier sogar leichter, allgemeiner für einen beliebigen Körper $ L $ über $ k $ und eine endliche Untergruppe $ G\subset\aut_k(L) $ zu zeigen, dass $ L^G\subset L $ eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $ G $ ist, und dieses Ergebnis dann auf die Situation der Aufgabe anzuwenden. Zeige dazu zuerst, dass $ K\subset L $ normal und separabel ist, indem du $ L $ als Zerfällungskörper einer geeigneten Familie separabler Polynome ausdrückst.
Zu $ G=\gal(L/K) $ : $ \subset $ ist klar nach Definition von $ K\coloneqq L^G $ . Um $ \supset $ zu zeigen, überlege Dir, dass $ [L:K] \leq \lvert G\rvert $ gilt. Verwende dazu den Satz über die Existenz eines primitiven Elementes und die zuvor angestellten Überlegungen, um zu zeigen, dass für jede endliche Zwischenerweiterung $ K\subset Z\subset L $ gilt $ [Z:K]\leq \lvert G\rvert $ . Zeige dann, dass also gilt $ [L:K]\leq \lvert G\rvert $ und damit \begin{equation*} \lvert G\rvert \leq \lvert\gal(L/K)\rvert = [K:L]\leq \lvert G\rvert, \end{equation*} also $ \lvert G\rvert = \lvert \gal(L/K)\rvert $ (d.h. $ G=\gal(L/K) $ ).

Aufgabe 6

Bestimme explizit alle Elemente von $ G\coloneqq\gal_\Q(X^5-2) $ . Bonusaufgabe: Zeige außerdem, dass $ G\simeq \Z_5\rtimes_\varphi\Z_4 $ gilt für ein geeignetes $ \varphi $ .

Tipps

Zur Bonusaufgabe: Zeige zuerst, dass $ G $ einen Normalteiler $ N $ der Ordnung $ 5 $ enthält (also $ N\simeq\Z_5 $ ). Überlege Dir dann, dass $ G $ sicher auch eine Untergruppe $ H $ der Ordnung $ 4 $ enthält (ist diese Normalteiler?) und dass aus Ordnungsgründen gelten muss $ N\cap H\simeq \{\id\} $ . Als Guppe der Ordnung $ 4 $ muss gelten $ H\simeq\Z_4 $ oder $ H\simeq\Z_2\times\Z_2 $ - welcher von beiden Fällen liegt hier vor und warum? Erinnere Dich nun an Übungsblatt 4 und schließe, dass $ G\simeq N\rtimes_\varphi H $ gilt für ein passendes $ \varphi $ (wie erhält man dieses?).

Aufgabe 7

Sei $ K\subset L $ eine Galoiserweiterung.

  1. Gib eine vollständige Definition der Norm $ N_{L/K}\colon L\rightarrow K $ .
  2. Gib eine vollständige Definition der Spur $ \spu_{L/K}\colon L\rightarrow K $ .
  3. Sei $ K\subset L $ eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $ G\coloneqq \gal(L/K) $ und $ U\subset G $ eine Untergruppe. Sei weiter $ e_1,\ldots ,e_n $ (mit $ n=\lvert G\rvert $ ) eine Basis von $ L $ über $ K $ . Es gelte $ \cha(K)=0 $ (generell würde $ \ggt(\cha(K),n)=1 $ genügen). Zeige, dass dann $ L^U $ (als Vektorraum) über $ K $ von $ \spu_U(e_1),\ldots,\spu_U(e_n) $ erzeugt wird.