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Galoistheorie 1


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Mögliche Literatur: S. Bosch, Algebra, Seiten 139 - 145 und 182 - 191.

Aufgabe 1

Erinnere Dich daran, dass eine endliche Körpererweiterung $ K\subset L $ Galois'sch heißt, wenn $ K\subset L $ separabel und normal ist. Zeige, dass für eine Galoiserweiterung $ K\subset L $ gilt \begin{equation*} \lvert \aut_K(L)\rvert = [L:K]. \end{equation*}

Tipps

Überlege Dir zuerst, dass für einen algebraischen Abschluss $ \overline K $ von $ K $ (der also insbesondere auch ein algebraischer Abschluss von $ L $ ist), gilt \begin{equation*} \hom_K(L,\overline K)=\aut_K(L) \end{equation*} (dies ist gerade äquivalent zu einer der Definitionen einer normalen Erweiterung!). Zeige nun noch, dass \begin{equation*} \lvert \hom_K(L,\overline K)\rvert = [L:K] \end{equation*} gilt. Verwende dazu den Satz vom primitiven Element und Blatt 10.

Aufgabe 2

Sei $ K\subset L $ eine normale Körpererweiterung und $ G\subset \aut_K(L) $ eine endliche Untergruppe. Zeige:

  1. $ L^G\coloneqq \{ a\in L~:~g(a)=a~\forall ~g\in G\} $ ist ein Unterkörper von $ L $ , und die Erweiterung $ L^G\subset L $ ist Galois'sch mit Galoisgruppe $ G $ .
  2. Sei nun $ G=\aut_K(L) $ endlich. Ist $ K\subset L $ separabel, so ist $ K=L^G $ , ist $ K\subset L $ nicht separabel, so ist $ K\neq L^G $ und $ K\subset L^G $ ist eine rein inseparable Körpererweiterung. (Erinnerung: Ein Element $ a\in L $ heißt rein inseparabel über $ K $ , wenn es Nullstelle eines rein inseparablen Polynomes $ f\in K[X] $ ist, also eines Polynomes, welches in einem algebraischen Abschluss $ \overline K $ von $ K $ nur eine einzige Nullstelle besitzt.)

Tipps
  • Zu a). Zur Separabilität: Sei $ a\in L $ beliebig. Wie kann man auf kanonische Weise ein separables Polynom $ P\in L^G[X] $ finden mit $ P(a)=0 $ ? Zur Normalität: Zerfällungskörper (von Familien von Polynomen) sind normal - vielleicht lassen sich hier die für den Separabilitätsnachweis gefundenen Polynome wiederverwenden... Genauer: Die kanonische Wahl für ein solches Polynom in Teil a) (mit Nullstelle $ a $ ) wäre $ \prod_{g\in G}(X-g(a))\in L[X] $ . Ist dieses separabel? (Falls nicht, hat es einen kanonischen separablen Teiler mit Nullstelle $ a $ ? Hinweis: Betrachte einen Teiler der Form $ \prod_{[g]\in G/H}(X-g(a)) $ für eine geeignete Untergruppe $ H\subset G $ ...)
  • Zu b). Sei $ a\in L^G $ und $ f_a(X)\in K[X] $ das Minimalpolynom von $ a $ über $ K $ . Überlege Dir, dass $ f_a $ nur eine Nullstelle in $ L $ (oder äquivalent in einem algebraischen Abschluss $ \overline K $ von $ K $ ) haben kann. Hinweis: Angenommen, $ b\in L $ wäre eine weitere Nullstelle von $ f_a $ - zeige, dass es dann ein $ \varphi\in\aut_K(L) $ gäbe mit $ \varphi(a)=b $ (definiere dazu zuerst ein $ \overline\varphi\colon L^G\rightarrow \overline K $ mit $ \varphi(a)=b $ und überlege dann, dass sich ein solcher Morphismus zu einem $ K $ -Automorphismus $ \varphi\in\aut_K(L) $ fortsetzen lässt, in dem Du die passende Definition einer normalen Erweiterung verwendest).

Beispiel(e)

Finde eine Erweiterung $ K\subset L $ , so dass für $ G=\aut_K(L) $ gilt: $ K\neq L^G $ . Eine Option wäre beispielsweise das bereits öfter verwendete Beispiel $ K=\F_p(t^p) $ , $ L=\F_p(t) $ . Was ist $ \aut _{\F_p(t^p)}(\F_p(t)) $ ?

Aufgabe 3

Formuliere und beweise den Hauptsatz der Galoistheorie. Gehe für Letzteres beispielsweise folgendermaßen vor:

  • Sei $ K\subset L $ Galois'sch und $ G\coloneqq \gal(L\vert K) $ . Welche beiden Mengen vergleicht der Hauptsatz?
  • Vorsicht Spoiler: Der Hauptsatz der Galoistheorie gibt eine inklusionsumkehrende Bijektion zwischen der Menge der Untergruppen der Galoisgruppe und der Menge der Zwischenerweiterungen der Galoiserweiterung an, \begin{equation*} \{U\subset \gal(L\vert K)~\text{Untergruppe}\}\overset{1:1}{\leftrightarrow}\{K\subset Z\subset L~\text{Zwischenerw.}\}. \end{equation*} Eine offensichtlich Abbildung in eine der beiden Richtungen ist \begin{equation*} U\subset G\quad\mapsto \quad K\subset L^U\subset L. \end{equation*} Wie könnte eine Umkehrabbildung hierzu aussehen? (Wieso ist $ L^U\subset L $ in jedem Fall wieder eine Galois-Erweiterung?) Spoiler Ende
  • Der Zusatz zum Hauptsatz vergleicht die Eigenschaft einer Untergruppe, Normalteiler zu sein, mit der Eigenschaft einer Zwischenerweiterung, normal zu sein. Wie genau lautet der Zusatz?

Anleitung

Anleitung zum Beweis des Zusatzes:

  1. Ist für eine Untergruppe $ U\subset G $ die Erweiterung $ K\subset L^U $ ebenfalls Galois'sch, was wäre die kanonische Wahl, um aus einem $ g\in\gal(L\vert K)=\aut_K(L) $ ein Element in $ \gal(L^U\vert K)=\aut_K(L^U) $ zu machen? Wieso definiert dies einen surjektiven Gruppenmorphismus \begin{equation*} G\rightarrow \gal(L^U\vert K)~? \end{equation*} Was ist der Kern?
  2. Zur Surjektivität: Es ist also folgende Teilbehauptung zu zeigen: Ist $ K\subset E\subset L $ eine Zwischenerweiterung, so dass $ K\subset E $ und $ K\subset L $ Galois'sch sind (damit natürlich auch $ E\subset L $ ), dann lässt sich jeder Automorphismus $ f\in\aut_K(E) $ zu einem Automorphismus $ \tilde f\in\aut_K(L) $ fortsetzen.
  3. Sei schließlich $ U\triangleleft G $ ein Normalteiler. Um zu zeigen, dass $ K\subset L^U $ Galois'sch ist, genügt es, zu zeigen, dass $ K\subset L^U $ normal ist (warum?). Verwende hierzu die Definition von Normalität durch " $ K\subset L^U $ ist normal, genau dann, wenn jeder Körpermorphismus $ \varphi\colon L^U\rightarrow \overline{(L^U)} $ über $ K $ von $ L^U $ in einen algebraischen Abschluss $ \overline{(L^U)} $ von $ L^U $ sich zu einem Automorphismus $ \varphi\in\aut_K(L^U) $ beschränken lässt (das heißt $ \im(\varphi)=L^U $ ). Tipp: Ein algebraischer Abschluss von $ L $ ist auch ein algebraischer Abschluss von $ L^U $ ."

Tipps
  • Zu i). Fasse $ f\in \aut_K(E) $ als Morphismus $ \tilde f\colon E\rightarrow \overline L $ in einen algebraischen Abschluss $ \overline L $ von $ L $ auf (ein algebraischer Abschluss von $ L $ ist auch ein algebraischer Abschluss von $ E $ !). Dann gibt es eine Fortsetzung von $ \tilde f $ zu $ F\colon L\rightarrow \overline L $ (wieso?), d.\,h. $ F\vert_{E}=\tilde f $ . Nun ist aber $ L $ normal, somit ist $ F $ schon ein Element von $ \aut_K(L) $ .
  • Zu ii). Betrachte einen Morphismus $ \varphi\colon L^U\rightarrow \overline L $ über $ K $ , dieser hat eine Fortsetzung $ \tilde\varphi \colon L\rightarrow \overline L $ (siehe oben, wieso?). Da $ K\subset L $ normal ist, ist diese bereits ein $ K $ Automorphismus von $ L $ über $ K $ , wir schreiben also $ \tilde\varphi\in\aut_K(L) $ . Wegen $ \tilde\varphi\vert_{L^U}=\varphi $ nach Definition ist also $ \im \varphi\subset L $ , das heißt, $ \varphi $ ist bereits ein Morphismus nach $ L $ . Es bleibt also lediglich zu zeigen, dass für alle Elemente $ x\in\im\varphi $ im Bild von $ \varphi $ und alle $ u\in U $ gilt: $ u(x)=x $ (denn dann wäre ja gerade $ \im\varphi\subset L^U $ wie gewünscht). Hierzu verwenden wir, dass $ U $ ein Normalteiler in $ G $ ist.

Beispiel(e)

Betrachte die Galoiserweiterung $ \Q\subset\zerf_\Q(X^3-2) $ (oder irgendeine andere Galoiserweiterung Deiner Wahl). Zeichne Dir ein Diagramm aller Zwischenerweiterungen und eines aller Untergruppen der Galoisgruppe, und markiere Dir die Paare von Untergruppen und Zwischenerweiterungen, die sich unter der Bijektion des Hauptsatzes entsprechen (zeichne auch die vorhandenen Inklusionen ein - denke bei der Orientierung deiner Diagramme daran, dass die Bijektion des Hauptsatzes inklusionsumkehrend ist). Prüfe auch den Zusatz zum Hauptsatz an Deiner Skizze nach.

Aufgabe 4

Seien $ K\subset L $ und $ K\subset M $ Galois'sch, und $ L $ und $ M $ liegen beide in einem gemeinsamen Überkörper $ H $ . Zeige:

  1. $ K\subset L\cdot M $ und $ K\subset L\cap M $ sind wieder Galois'sch.
  2. Ist $ L\cap M=K $ , so existiert ein Gruppenisomorphismus $ $ \begin{aligned} \gal(L\cdot M\vert K)\overset{\simeq}{\rightarrow}&\gal(L\vert K)\times\gal(M\vert K)\\ g\mapsto &(g\vert_L,g\vert_M). \end{aligned} $ $
  3. Bonusaufgabe: Etwas allgemeiner ist $ $ \begin{aligned}\gal(L\cdot M\vert K)&\overset{\sim}{\rightarrow}\gal(L\vert K)\times_{\gal(L\cap M\vert K)}\gal(M\vert K)\\ g &\mapsto (g\vert_{L},g\vert_{M})\end{aligned} $ $ ein Gruppenisomorphismus, wobei für drei Gruppen $ A,B,C $ mit Morphismen $ f\colon A\rightarrow C $ und $ g\colon B\rightarrow C $ das sogenannte Faserprodukt definiert ist als \begin{equation*} A\times _CB\coloneqq\{(a,b)~:~f(a)=g(b)\}\subset A\times B. \end{equation*}

Tipps

Um Dir zu überlegen, wie die Einschränkungen $ g\vert_L $ , $ g\vert_M $ definiert sind, verwende die richtige Definition einer normalen Zwischenerweiterung. Mögliche Variante, um die Bijektivität der gegebenen Abbildung(en) zu zeigen: Was wäre ein naheliegender Kandidat für eine Umkehrabbildung?

Beispiel(e)

Bestimme den Isomorphietyp der Galoisgruppe $ \gal(\Q(\sqrt{2},\sqrt{3})\vert\Q) $ .

Aufgabe 5 (Fundamentalsatz der Algebra)

Verwende den Hauptsatz der Galoistheorie, um den Fundamentalsatz der Algebra zu beweisen (Beweis gefunden auf mathoverflow).

Wir wollen zeigen, dass $ \C $ algebraisch abgeschlossen ist, dass also für jede algebraische Erweiterung $ \C\subset L $ bereits gelten muss $ L=\C $ . Sei im Folgenden also $ \C\subset L $ eine (ohne Einschränkung endliche) algebraische Erweiterung.

  1. Überlege Dir, dass eine (endliche) Galoiserweiterung $ \R\subset M $ existiert, so dass $ \R\subset\C\subset L\subset M $ .
  2. Verwende die Sylowsätze, um eine Zwischenerweiterung $ \R\subset E\subset M $ zu finden, so dass $ [E:\R] $ ungerade ist.
  3. Zeige, dass dann schon $ [E:\R]=1 $ gelten muss und also $ [M:\R]=2^n $ ist für ein $ n\in\N $ und damit insbesondere $ [L:\C]=2^i $ für ein $ i\lt n $ .
  4. Führe die Annahme $ i>0 $ zu einem Widerspruch, indem du verwendest, dass jedes Polynom von Grad $ 2 $ über $ \C $ eine Lösung in $ \C $ besitzt (quadratische Lösungsformel).

Einheitswurzeln und Kreisteilungspolynome

Aufgabe 6

Definiere über einem beliebigen Körper $ K $ den Begriff einer $ n $ -ten Einheitswurzel (für ein $ n\in\N $ ) und erkläre, wann man eine $ n $ -te Einheitswurzel primitiv nennt. Ab nun sei $ K=\Q $ .

  1. Wiederhole die Definition der Kreisteilungspolynome $ \phi_n\in\Z[X] $ und zeige, dass sich das $ n $ -te Kreisteilungspolynom $ \phi_n $ rekursiv bestimmen lässt zu \begin{equation*} \phi_n(X)=\frac{X^n-1}{\prod\limits_{d\vert n,~d< n}\phi_d(X)}. \end{equation*} Berechne die ersten fünf Kreisteilungspolynome.
  2. Sei $ p $ eine Primzahl. Zeige, dass das Kreisteilungspolynom $ \phi_p(X)=X^{p-1}+\ldots+X+1\in\Z[X] $ irreduzibel ist.
  3. Sei $ p $ eine Primzahl. Zeige:
    • Es ist $ \phi_{p^n}(X)=\phi_p(X^{p^{n-1}}) $ für alle $ n\in\N $ .
    • Für ein ungerades $ \N\ni n> 1 $ ist $ \phi_{pn}(X)=\phi_n(X^p)/\phi_n(X) $ falls $ p $ nicht $ n $ teilt und $ \phi_{pn}(X)=\phi_n(X^p) $ falls $ p\vert n $ .

Tipps
  • Zu b). Verwende das Eisensteinkriterium für $ \phi_p(X+1) $ . Das Pascalsche Dreieck kann helfen, die gesuchten Identitäten der auftretenden Binomialkoeffizienten zu finden.
  • Zu c). Untersuche die Nullstellen der Polynome.

Beispiel(e)

Was ist $ \phi_8(X) $ , $ \phi_{15}(X) $ oder $ \phi_{24}(X) $ ?

Aufgabe 7

  1. Zeige, dass $ \Q\subset\Q(\zeta_n) $ für eine primitive $ n $ -te Einheitswurzel $ \zeta_n $ eine Galoiserweiterung von Grad $ \varphi(n) $ ist (mit $ \varphi $ der Eulerschen Phifunktion), und finde einen Isomorphismus $ \gal(\Q(\zeta_n)/\Q)\simeq\Z_n^\times $ .
  2. Sei $ U_n $ die Gruppe der $ n $ -ten Einheitswurzeln (über $ \Q $ ). Zeige: Ist $ \ggt(n,m)=1 $ , so gilt:
    • Es existiert eine Bijektion $ U_n\times U_m\simeq U_{nm} $ .
    • Es ist $ \Q(\zeta_n)\cap\Q(\zeta_m)=\Q $ und $ \Q(\zeta_n)\cdot\Q(\zeta_m)=\Q(\zeta_{nm}) $ für primitive $ n $ -te bzw. $ m $ -te Einheitswurzeln $ \zeta_n $ und $ \zeta_m $ .

Tipps
  • Zu a). Verwende, dass $ \phi_n(X) $ das Minimalpolynom von $ \zeta_n $ über $ \Q $ ist. Was ist $ \deg(\phi_n(X)) $ ? Was sind die Nullstellen?