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Endliche Körper


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Mögliche Literatur: S. Bosch, Algebra, Seiten 126 - 129.

Aufgabe 1

Sei $ K $ ein Körper mit $ p^n $ Elementen. Zeige: Die Abbildung \begin{equation*} (\bullet)^p\colon K\rightarrow K \end{equation*} ist ein Automorphismus von $ K $ (der sogenannte Frobenius-Automorphismus).

Aufgabe 2

  1. Sei $ a\in\N $ . Zeige, dass es genau dann einen Körper $ \F_a $ mit $ a $ Elementen gibt, wenn $ a=p^n $ ist für eine Primzahl $ p $ und ein $ n\in\N $ , und dass es in diesem Falle bis auf Isomorphie nur einen solchen Körper gibt.
  2. Sei $ L $ ein Körper mit $ p^n $ Elementen ( $ p $ prim, $ n\in\N $ ). Zeige: Ist $ K\subset L $ ein Unterkörper von $ L $ , so ist $ \lvert K\rvert =p^m $ mit $ m\vert n $ - umgekehrt finden wir zu jedem solchen $ m $ einen Zwischenkörper $ \F_p\subset K\subset L $ .

Tipps

Zeige: Ist $ K $ ein Körper mit $ p^n $ Elementen, so sind die Elemente von $ K $ Nullstellen von $ X^{p^n}-X\in \F_p[X] $ mit $ \F_p\coloneqq \Z_p\coloneqq \Z/\Z p. $ Die Umkehrung funktioniert auch...
Genauer: Wieso muss jeder endliche Körper $ K $ bereits $ p^n $ Elemente, für $ p,n $ wie in der Aufgabe, haben? Betrachte den Morphismus $ \Z\rightarrow K $ von Ringen, um zu zeigen, dass $ \F_p $ für eine Primzahl $ p $ ein Unterkörper von $ K $ sein muss. Insbesondere ist nun $ K $ ein Vektorraum über $ \F_p $ ...
Zeige weiter, dass $ K $ im Falle seiner Existenz der Zerfällungskörper von $ X^{p^n}-X\in\F_p[X] $ ist. Zeige dazu, dass alle Elemente von $ K $ Nullstellen dieses Polynomes sind - welche Ordnung hat die multiplikative Gruppe von $ K $ ? Zeige umgekehrt, dass die $ p^n $ Nullstellen von $ X^{p^n}-X $ in einem algebraischen Abschluss von $ \F_p $ bereits einen Körper bilden.

Beispiel(e)

Wie würdest Du also einen Körper $ K $ mit $ 9 $ Elementen konstruieren? Schreibe alle Elemente des von Dir konstruierten $ K $ auf und berechne zu einem $ x\in K\setminus P_K $ (was ist der Primkörper $ P_K $ ?) deiner Wahl das multiplikative Inverse.

Aufgabe 3

Überlege, dass jede endliche Körpererweiterung eines endlichen Körpers $ K $ sowohl separabel als auch normal ist.

Aufgabe 4

Sei $ K $ ein endlicher Körper mit $ p^n $ Elementen ( $ p $ prim, $ n\in\N $ ). Zeige: Die multiplikative Gruppe $ K^\times $ ist zyklisch (von Ordnung $ p^n-1 $ ).

Tipps
  • Nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen (der hier als bekannt angenommen werden soll) können wir schreiben ( $ K ^\times $ ist ja sogar endlich): \begin{equation*} K^\times\simeq G_{p_1}\times G_{p_2}\times\cdots\times G_{p_r} \end{equation*} für paarweise verschiedene Primzahlen $ p_1,\ldots, p_r $ , wobei $ G_{p_i} $ eine $ p_i $ -Gruppe ist für alle $ i=1,\ldots,r $ (d.\,h. eine Gruppe, in der jedes Element von Ordnung $ p_i^j $ ist für ein $ j\in\N\cup\{0\} $ ).
  • Es reicht also, zu zeigen, dass die einzelnen $ G_{p_i}\subseteq K^\times $ zyklisch sind.
  • Betrachte ein Element maximaler Ordnung $ p_i^m $ in $ G_{p_i} $ . Wieso ist dann schon $ x^{p_i^m}=1 $ für alle $ x\in G_{p_i} $ ?
  • Betrachte das Polynom $ X^{p_i^m}-1\in \F_p[X] $ . Wie viele Nullstellen hat dieses in $ K $ (höchstens)?

Aufgabe 5

Sei $ K $ ein Körper mit $ q $ Elementen. Sei $ p $ eine Primzahl - zeige: Die Anzahl der normierten irreduziblen Polynome von Grad $ p $ in $ K[X] $ ist gerade \begin{equation*} \frac{q^p-q}{p}. \end{equation*}

Tipps

Jedes (normierte) irreduzible $ f(X)\in K[X] $ von Grad $ p $ definiert eine Körpererweiterung $ K\subset K[X]/( f(X)) $ (von Grad $ p $ ). Verwende nun die zweite Aufgabe.
Genauer:

  • Zeige mit Hilfe des Hinweises: Jedes solche $ f $ ist ein Teiler von $ X^{q^p}-X $ .
  • Zeige weiter: Jeder irreduzible Teiler von $ X^{q^p}-X $ hat entweder Grad $ 1 $ oder $ p $ (was ist der Grad der Körpererweiterung $ K\subset \F_{q^p} $ für $ \F_{q^p} $ ``den'' Körper mit $ q^p $ Elementen? - welche Zwischenerweiterungen kann es geben?)
  • Wie viele Teiler von $ X^{q^p}-X $ von Grad $ 1 $ gibt es in $ K[X] $ ?
  • In $ \F_{q^p} $ (``dem'' Körper mit $ q^p $ Elementen) zerfällt $ X^{q^p}-X $ in Linearfaktoren -- zähle nun Linearfaktoren: Jeder irreduzible Teiler von Grad $ 1 $ benötigt einen, jeder von Grad $ p $ gerade $ p $ (verschiedene).

Aufgabe 6

Sei $ K $ ein Körper mit $ p^n $ Elementen ( $ p $ prim, $ n\in\N $ ).

  1. Zeige: $ K $ besitzt nur eine einzige $ p^r $ -te Einheitswurzel für alle $ r\in\N $ .
  2. Wie viele $ m $ -te Einheitswurzeln existieren über $ K $ (also in einem algebraischen Abschluss $ \overline K $ von $ K $ ) für ein beliebiges $ m\in N $ ?
  3. Wenn wir definieren " Eine $ m $ -te Einheitswurzel $ \zeta_m $ heißt primitiv, falls $ \zeta_m^m=1 $ und $ \zeta_m^d\neq 1 $ für alle $ d< m $ " - für welche $ m\in\N $ besitzt $ K $ nach Teil b. dann also eine primitive $ m $ -te Einheitswurzel?

Tipps

Zu b). Hier ist eine Fallunterscheidung hilfreich: Fall 1: $ p $ teilt $ m $ , Fall 2: $ \ggt(p,m)=1 $ .