Sei $ K $ ein endlicher Körper. Zeigen Sie, dass das Produkt aller Elemente $ \neq 0 $ in $ K $ gleich $ -1 $ ist. (8 Punkte)

Sei $ R $ ein kommutativer unitärer Ring, der den endlichen Körper $ \F_p $ enthält. Zeigen Sie, dass die Abbildung $ F\colon R\rightarrow R $ , $ F(x)=x^p $ , ein Ringhomomorphismus ist. Geben Sie je ein Beispiel für solch einen Ring an, für den $ F\colon R\rightarrow R $

1. ein Isomorphismus,
2. kein Isomorphismus

ist (mit Begründung). (10 Punkte)

Man zeige, dass keine zwei der folgenden Gruppen zueinander isomorph sind:

1. Die Einheitengruppe von $ \Z/13\Z $ ,
2. die Einheitengruppe von $ \Z/28\Z $ ,
3. die alternierende Gruppe $ A_4 $ , und
4. die Diedergruppe $ D_6 $ (Symmetriegruppe des regulären $ 6 $ -Ecks).

(14 Punkte)

Sei $ \omega=(-1+\sqrt{3}i)/2\in\C $ . Wir betrachten die Abbildung \begin{equation*} \begin{aligned} f\colon\Q[X]&\rightarrow \C\\ P&\mapsto P(\omega). \end{aligned} \end{equation*} Diese ist ein Ringhomomorphismus (das brauchen Sie nicht zu zeigen).

1. Bestimmen Sie die Dimension des Bildes von $ f $ als $ \Q $ -Vektorraum.
2. Bestimmen Sie den Kern von $ f $ .
3. Untersuchen Sie, ob der Kern von $ f $ ein maximales Ideal in $ \Q[X] $ ist.

(14 Punkte)

Sei $ K=\C(t) $ der Quotientenkörper des Polynomrings $ \C[t] $ und $ P(X)=X^3-2tX+t\in K[X] $ . Zeigen Sie, dass $ P $ irreduzibel in $ K[X] $ ist. (14 Punkte)

Sei $ K $ ein Körper. Eine quadratische Matrix $ A\in M_n(K) $ heißt nilpotent, wenn ein $ m\in\N $ mit $ A^m=0 $ existiert. Zeigen Sie:

1. Ist $ A\in M_n(K) $ nilpotent, so gilt für das charakteristische Polynom $ \chi_A(X)=X^n $ .
2. Ist $ A\in M_n(K) $ nilpotent und diagonalisierbar, so gilt $ A=0 $ .

(8 Punkte)

Für $ n\in\N $ bezeichne $ S_n $ die $ n $ -te symmetrische Gruppe. Die Gruppe $ S_n $ und ihre Untergruppen operieren in natürlicher Weise von links auf der Menge $ \{1,\ldots,n\} $ . Ferner sei $ p $ eine Primzahl.

1. Für Untergruppen $ G_1 $ und $ G_2 $ in $ S_n $ sei $ G_2 $ ein Normalteiler in $ G_1 $ und $ G_1 $ operiere transitiv auf der Menge $ \{1,\ldots,n\} $ . Zeigen Sie, dass alle $ G_2 $ -Bahnen in $ \{1,\ldots,n\} $ dieselbe Länge haben.
2. Für Untergruppen $ G_1 $ und $ G_2 $ in $ S_p $ sei $ G_2 $ ein Normalteiler in $ G_1 $ und $ G_1 $ operiere transitiv auf $ \{1,\ldots ,p\} $ . Zeigen Sie, dass $ G_2 $ transitiv auf $ \{1,\ldots ,p\} $ operiert, falls $ G_2\neq\{\id\} $ gilt.
3. Sei $ H $ eine Untergruppe von $ S_p $ , die transitiv auf $ \{1,\ldots,p\} $ operiert und eine Primzahlordnung $ q $ hat. Zeigen Sie, dass $ p=q $ $ H $ gilt und $ H $ ein Element der Ordnung $ p $ enthält.

(15 Punkte)

Ist $ p $ eine Primzahl und $ q=p^k $ für ein $ k\in\N $ , so bezeichne $ \F_q $ den endlichen Körper mit $ q $ Elementen. Betrachten Sie die Polynome $ f=X^7+X+1\in\F_2[X] $ und $ g=X^7-X-1\in\Q[X] $ .

1. Zeigen Sie, dass $ f $ keine Nullstellen in den Körpern $ \F_2 $ , $ \F_4 $ und $ \F_8 $ besitzt.
2. Folgern Sie aus i), dass $ f $ irreduzibel in $ \F_2[X] $ ist.
3. Zeigen Sie, dass $ g $ irreduzibel über $ \Q $ ist.

(14 Punkte)

Sei $ L $ der Zerfällungskörper von $ X^{12}-729\in\Q[X] $ in $ \C $ und $ \zeta $ die primitive $ 12 $ -te Einheitswurzel $ \exp(2\pi i/12)=\frac{\sqrt{3}+i}{2}\in\C $ .

1. Zeigen Sie: $ \sqrt{3}\in\Q(\zeta) $ und $ L=\Q(\zeta) $ .
2. Zeigen Sie, dass $ \gal(L/\Q) $ eine abelsche Gruppe der Ordnung $ 4 $ ist, die genau drei Elemente der Ordnung $ 2 $ enthält.
3. Beschreiben Sie alle echten Zwischenkörper der Erweiterung $ L/\Q $ , indem Sie für jeden echten Zwischenkörper ein primitives Element angeben.

(15 Punkte)

Das irreduzible Polynom $ f\in\Q[X]\setminus\{0\} $ besitze eine Nullstelle $ \alpha\in\R $ und eine Nullstelle $ \beta\in\C\setminus\R $ . Sei $ L $ der Zerfällungskörper von $ f $ in $ \C $ . Zeigen Sie, dass die Galoisgruppe $ \gal(L/\Q) $ nicht abelsch ist. (8 Punkte)

Es sei $ G $ eine Gruppe der Ordnung $ \lvert G\rvert = 992=2^5\cdot 31 $ . Für eine Primzahl $ p $ bezeichne $ n_p $ die Anzahl der $ p $ -Sylowgruppen von $ G $ .

1. Geben Sie die prinzipiellen Möglichkeiten für die Werte von $ n_2 $ und $ n_{31} $ an, die sich aus den Sylowsätzen ergeben.
2. Zeigen Sie (ohne den Satz von Burnside zu benutzen), dass $ G $ auflösbar ist.

(12 Punkte)

Sei $ G $ eine (additiv geschriebene) abelsch Gruppe. Ist die Menge \begin{equation*} \{n\in\N\vert na=0\text{ für alle }a\in G\} \end{equation*} nicht leer, so heißt deren Minimum der Exponent der Gruppe $ G $ und wird mit $ \exp(G) $ bezeichnet. Ist die obige Menge leer, so setzt man $ \exp(G)=\infty $ . Zeigen Sie:

1. Ist $ G $ endlich, so ist $ \exp(G)=\max\{\ord(a)\vert a\in G\} $ .
2. Die abelsche Gruppe $ \Q/\Z $ ist eine Torsionsgruppe (d.\,h. zu jedem $ x\in\Q/\Z $ gibt es ein $ n\in\N $ mit $ nx=0 $ ) mit $ \exp(\Q/\Z)=\infty $ .

(12 Punkte)

Sei $ R $ ein kommutativer Ring mit Eins und sei $ a\in R $ . Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

1. Das Element $ 1+aX $ ist eine Einheit im Polynomring $ R[X] $ .
2. Es gibt ein $ n\in\N $ mit $ a^n=0 $ .

(12 Punkte)

Es sei $ \alpha $ die reelle Zahl $ \sqrt[3]{2+\sqrt{2}}\in\R $ , und es sei $ \zeta $ die dritte Einheitswurzel $ \zeta\coloneqq e^{\frac{2\pi i}{3}}\in\C $ .

1. Bestimmen Sie das Minimalpolynom $ f $ von $ \alpha $ über $ \Q $ .
2. Es sei $ \beta = \sqrt[3]{2-\sqrt{2}}\in\R $ . Zeigen Sie, dass für den Zerfällungskörper $ L\subseteq\C $ von $ f $ in $ \C $ gilt $ L=\Q(\alpha,\beta,\zeta) $ .
3. Zeigen Sie, dass die reelle Zahl $ \sqrt[3]{2} $ in $ L $ liegt, und folgern Sie, dass die Galoisgruppe $ \gal(L/\Q) $ einen Normalteiler vom Index $ 6 $ besitzt.

(12 Punkte)

Es seien $ K $ ein Teilkörper von $ \R $ und $ f\in K[X] $ ein Polynom. Weiter sei $ Z\subseteq \C $ ein Zerfällungskörper von $ f $ über $ K $ . Der Grad $ [Z:K] $ sei ungerade. Zeigen Sie, dass dann auch $ Z $ ein Teilkörper von $ \R $ ist. (12 Punkte)