Seien $ N $ ein auflösbarer Normalteiler einer endlichen Gruppe $ G $ und $ H $ eine weitere auflösbare Untergruppe von $ G $ . Zeigen Sie, dass \begin{equation*} N\cdot H=\{n\cdot h\vert n\in N,h\in H\} \end{equation*} wieder eine auflösbare Untergruppe von $ G $ ist.
(12 Punkte)Verwende die Isomorphiesätze. Es ist damit äquivalent zu zeigen, dass $ H/H\cap N $ auflösbar ist. Hier musst Du entscheiden, ob Du als bekannt voraussetzen willst, dass Quotienten auflösbarer Gruppen wieder auflösbar sind (vergleiche Übung) oder diese Aussage auch noch beweisen willst. Tipp hierfür: Wie lässt sich aus einer Auflösung von $ H $ eine Auflösung von $ H/H\cap N $ konstruieren? (Vorsicht beim Anwenden des Korrespondenzsatzes!)
Seien $ p $ eine Primzahl und $ k\leq p-2 $ . Zeigen Sie, dass die Einheitsmatrix $ I_k $ die einzige Matrix $ A\in\gl_k(\Q) $ mit der Eigenschaft $ A^p=I_k $ ist.
(12 Punkte)Betrachte ein $ A $ , so dass $ P(A)=0 $ für $ P=X^p-1 $ . Folgere, dass das Minimalpolynom von $ A $ also ein Teiler von $ P $ sein muss und schätze dessen Grad mit Hilfe des Satzes von Cayley-Hamilton ab.
Sei $ R $ ein kommutativer Ring mit Einselement. Zu jedem $ a\in R $ existiere ein $ b\in R $ mit $ a^2\cdot b=a $ .
Sei $ a\in\N_0 $ . Wir definieren eine Folge $ (x_n) $ , $ n\in\N_0 $ durch \begin{equation*} x_n\coloneqq a^{2^n}+1. \end{equation*}
Sei $ f(X) $ ein separables Polynom über $ \Q $ , welches in der Form $ f(X)=h(X^2) $ mit $ h(X)\in\Q[X] $ und $ n\coloneqq \deg h(X)\geq 2 $ geschrieben werden kann. Zeigen Sie, dass die Galoissche Gruppe (eines Zerfällungskörpers) von $ f(X) $ nicht die volle symmetrische Gruppe $ S_{2n} $ der Nullstellen sein kann.
(12 Punkte)Beschreibe den Zerfällungskörper als $ \zerf_\Q(f)=\Q(\alpha_1,\ldots,\alpha_{2n}) $ für $ \alpha_i $ die Nullstellen von $ f $ . Überlege Dir dann, dass schon $ n $ dieser $ 2n $ Nullstellen zur Erzeugung des Zerfällungskörpers genügen und nutze dies für eine Abschätzung $ [\zerf_\Q(f):\Q]<2n $ .
Sei $ H:=\{z\in\mathbb{C}\vert\mathrm{Im}(z)>0\} $ die obere Halbebene und $ \mathrm{SL}_2(\mathbb{R}) $ die Gruppe der reellen $ 2\times 2 $ -Matrizen mit Determinante $ 1 $ . Die Abbildung \begin{equation*} \rho\colon \mathrm{SL}_2(\mathbb{R})\times H\rightarrow H,\qquad \left(\left(\begin{matrix} a&b\\ c&d\end{matrix}\right),z\right)\mapsto \frac{az+b}{cz+d} \end{equation*} definiert eine Gruppenoperation von $ \mathrm{SL}_2(\mathbb{R}) $ auf $ H $ .
Seien $ A,B $ abelsche Gruppen und $ \phi\colon B\rightarrow\mathrm{Aut}(A) $ ein Homomorphismus von $ B $ in die Gruppe der Automorphismen von $ A $ . Das semidirekte Produkt $ A\rtimes_\phi B $ ist die folgendermaßen definierte Gruppe: \begin{equation*} \begin{aligned}A\rtimes_\phi B&:= \{(a,b) \vert a\in A,b\in B\}\\ (a_1,b_1)\cdot (a_2,b_2)&:= (a_1\phi(b_1)(a_2),b_1b_2)\end{aligned} \end{equation*}
Im Folgenden sei $ K $ der jeweils angegebene Körper. Entscheiden Sie jeweils, ob die Matrix $ A $ über $ K $ diagonalisierbar ist, und begründen Sie ihre Antwort.
Sei $ p\gt 2 $ eine Primzahl. Wir betrachten den Körper $ \Q(\zeta_p,\alpha_p)\subset\C $ mit $ \alpha_p=\sqrt[p]{p}\in\R $ und $ \zeta_p=e^{\frac{2\pi i}{p}} $ . Zeigen Sie:
Sei $ p $ eine Primzahl. Wir betrachten in $ \F_p[X] $ die Polynome $ P_1=X^2+X+1 $ und $ P_2=X^3+X^2+X+1 $ . Bestimmen Sie die Lösungsmenge $ L\subset \F_p[X] $ des Kongruenzsystems \begin{equation*} F\equiv X-1\mod P_1\quad\text{und}\quad F\equiv 1\mod P_2,\quad F\in\F_p[X]. \end{equation*}
(10 Punkte)Zeige, dass $ P_1 $ und $ P_2 $ teilerfremd sind, z.B. indem Du zeigst, dass sie keine gemeinsame Nullstelle (in einem algebraischen Abschluss von $ \F_p $ ) besitzen. Verwende dann den chinesischen Restsatz.
Sei $ K $ ein Körper, $ V $ ein endlich dimensionaler $ K $ -Vektorraum und $ \phi\colon V\rightarrow V $ ein Endomorphismus von $ V $ , dessen charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Beweisen Sie, dass die folgenden Bedingungen äquivalent sind:
Vgl. z.B. Aufgabe 4 vom Übungsblatt Lineare Algebra.
Sei $ p\geq 3 $ eine ungerade Primzahl und $ \F_{p^2} $ der Körper mit $ p^2 $ Elementen. Beweisen Sie:
Es sei $ G $ eine Gruppe der Ordnung $ \lvert G\rvert =7^2\cdot 8 $ . Mit $ \mathrm{Syl}_7 $ bezeichnen wir die Menge der $ 7 $ -Sylowgruppen und mit $ n_7 $ die Anzahl der $ 7 $ -Sylowgruppen von $ G $ . Zeigen Sie mit Hilfe der folgenden Schritte, dass $ G $ nicht einfach ist.
In einem assoziativen Ring mit Einselement gelte für jedes Element $ x\in R $ entweder $ x^2=1 $ oder $ x^n=0 $ für ein $ n\geq 1 $ .
Finden Sie zwei Polynome $ f,g\in\Q[X] $ gleichen Grades, so dass $ \gal(f) $ und $ \gal(g) $ gleich viele Elemente haben, aber $ \gal(f) $ abelsch und $ \gal(g) $ nicht abelsch ist.
(12 Punkte)Zwei mögliche Isomorphietypen für die gesuchten Galoisgruppen wären $ \Z_6\simeq\Z_7^\times $ und $ S_3 $ . Solltest Du bereits zwei Polynome gefunden haben, deren Galoisguppen die gewünschten Eigenschaften haben, die aber nicht denselben Grad haben, bedenke, dass, wenn sich $ f $ und $ f' $ nur um Linearfaktoren vom Grad $ 1 $ unterscheiden, $ \gal(f)=\gal(f') $ ist.