Seien $ N $ ein auflösbarer Normalteiler einer endlichen Gruppe $ G $ und $ H $ eine weitere auflösbare Untergruppe von $ G $ . Zeigen Sie, dass \begin{equation*} N\cdot H=\{n\cdot h\vert n\in N,h\in H\} \end{equation*} wieder eine auflösbare Untergruppe von $ G $ ist.

Seien $ p $ eine Primzahl und $ k\leq p-2 $ . Zeigen Sie, dass die Einheitsmatrix $ I_k $ die einzige Matrix $ A\in\gl_k(\Q) $ mit der Eigenschaft $ A^p=I_k $ ist.

Sei $ R $ ein kommutativer Ring mit Einselement. Zu jedem $ a\in R $ existiere ein $ b\in R $ mit $ a^2\cdot b=a $ .

1. Zeigen Sie, dass $ R $ reduziert ist, das heißt, dass $ 0 $ das einzige nilpotente Element in $ R $ ist.
2. Zeigen Sie weiter, dass jedes Primideal $ \mathfrak{p} $ in $ R $ maximal ist.

Sei $ a\in\N_0 $ . Wir definieren eine Folge $ (x_n) $ , $ n\in\N_0 $ durch \begin{equation*} x_n\coloneqq a^{2^n}+1. \end{equation*}

1. Sei $ n\lt m $ . Zeigen Sie, dass $ x_n $ ein Teiler von $ x_m-2 $ ist.
2. Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler von $ x_n $ und $ x_m $ ,
3. Folgern Sie, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Sei $ f(X) $ ein separables Polynom über $ \Q $ , welches in der Form $ f(X)=h(X^2) $ mit $ h(X)\in\Q[X] $ und $ n\coloneqq \deg h(X)\geq 2 $ geschrieben werden kann. Zeigen Sie, dass die Galoissche Gruppe (eines Zerfällungskörpers) von $ f(X) $ nicht die volle symmetrische Gruppe $ S_{2n} $ der Nullstellen sein kann.

Sei $ H:=\{z\in\mathbb{C}\vert\mathrm{Im}(z)>0\} $ die obere Halbebene und $ \mathrm{SL}_2(\mathbb{R}) $ die Gruppe der reellen $ 2\times 2 $ -Matrizen mit Determinante $ 1 $ . Die Abbildung \begin{equation*} \rho\colon \mathrm{SL}_2(\mathbb{R})\times H\rightarrow H,\qquad \left(\left(\begin{matrix} a&b\\ c&d\end{matrix}\right),z\right)\mapsto \frac{az+b}{cz+d} \end{equation*} definiert eine Gruppenoperation von $ \mathrm{SL}_2(\mathbb{R}) $ auf $ H $ .

1. Geben Sie die Bahnen von $ \rho $ an.
2. Geben Sie den Stabilisator von $ i\in H $ an.

Seien $ A,B $ abelsche Gruppen und $ \phi\colon B\rightarrow\mathrm{Aut}(A) $ ein Homomorphismus von $ B $ in die Gruppe der Automorphismen von $ A $ . Das semidirekte Produkt $ A\rtimes_\phi B $ ist die folgendermaßen definierte Gruppe: \begin{equation*} \begin{aligned}A\rtimes_\phi B&:= \{(a,b) \vert a\in A,b\in B\}\\ (a_1,b_1)\cdot (a_2,b_2)&:= (a_1\phi(b_1)(a_2),b_1b_2)\end{aligned} \end{equation*}

1. Zeigen Sie, dass $ A\rtimes_\phi B $ genau dann abelsch ist, wenn $ \phi $ trivial ist, also $ \phi(b)=\mathrm{Id}_A $ für alle $ b\in B $ gilt.
2. Konstruieren Sie eine nichtabelsche Gruppe der Ordnung $ 2015 $ .

Im Folgenden sei $ K $ der jeweils angegebene Körper. Entscheiden Sie jeweils, ob die Matrix $ A $ über $ K $ diagonalisierbar ist, und begründen Sie ihre Antwort.

1. $ A=\left(\begin{matrix} 2&1&0\\ 0&2&0\\ 0&0&2 \end{matrix}\right),\quad K=\C $
2. $ A=\left(\begin{matrix} 0&1\\ -1&0 \end{matrix}\right),\quad K=\R $
3. $ A=\left(\begin{matrix} 0&1\\ -1&0 \end{matrix}\right),\quad K=\F_5 $
4. $ A=\left(\begin{matrix} X+1&1\\ X-1&2X-1 \end{matrix}\right),\quad K $ ist der rationale Funktionenkörper $ \R(X) $ .

Sei $ p\gt 2 $ eine Primzahl. Wir betrachten den Körper $ \Q(\zeta_p,\alpha_p)\subset\C $ mit $ \alpha_p=\sqrt[p]{p}\in\R $ und $ \zeta_p=e^{\frac{2\pi i}{p}} $ . Zeigen Sie:

1. Die Körpererweiterung $ K/\Q $ ist Galois'sch.
2. $ [K:\Q]=p(p-1) $ .
3. Die Teilerweiterung $ \Q(\alpha_p)/\Q $ ist nicht normal und daher ist die Galois-Gruppe $ \gal(K/\Q) $ nicht abelsch.
4. $ \gal(K/\Q) $ hat einen Normalteiler der Ordnung $ p $ .

Sei $ p $ eine Primzahl. Wir betrachten in $ \F_p[X] $ die Polynome $ P_1=X^2+X+1 $ und $ P_2=X^3+X^2+X+1 $ . Bestimmen Sie die Lösungsmenge $ L\subset \F_p[X] $ des Kongruenzsystems \begin{equation*} F\equiv X-1\mod P_1\quad\text{und}\quad F\equiv 1\mod P_2,\quad F\in\F_p[X]. \end{equation*}

Sei $ K $ ein Körper, $ V $ ein endlich dimensionaler $ K $ -Vektorraum und $ \phi\colon V\rightarrow V $ ein Endomorphismus von $ V $ , dessen charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Beweisen Sie, dass die folgenden Bedingungen äquivalent sind:

1. Alle Eigenräume von $ \phi $ sind eindimensional.
2. Zu jedem Eigenwert von $ \phi $ existiert in der Jordanschen Normalform genau ein Jordanblock.
3. Das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom von $ \phi $ sind gleich.

Sei $ p\geq 3 $ eine ungerade Primzahl und $ \F_{p^2} $ der Körper mit $ p^2 $ Elementen. Beweisen Sie:

1. Die Abbildung $ f\colon\F_{p^2}\rightarrow \F_{p^2} $ , die durch $ f(a)=a^p $ gegeben ist, ist ein Isomorphismus von Ringen.
2. Durch die Vorschrift $ g(a)=a+a^p $ ist eine Abbildung $ g\colon \F_{p^2}\rightarrow \F_{p} $ gegeben, und diese ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus.
3. Durch die Vorschrift $ h(a)=a^{p+1} $ ist eine Abbildung $ h\colon \F_{p^2}^\ast\rightarrow \F_{p}^\ast $ gegeben, und diese ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus.

Es sei $ G $ eine Gruppe der Ordnung $ \lvert G\rvert =7^2\cdot 8 $ . Mit $ \mathrm{Syl}_7 $ bezeichnen wir die Menge der $ 7 $ -Sylowgruppen und mit $ n_7 $ die Anzahl der $ 7 $ -Sylowgruppen von $ G $ . Zeigen Sie mit Hilfe der folgenden Schritte, dass $ G $ nicht einfach ist.

1. Begründen Sie, dass $ n_7\in \{1,8\} $ liegt.
2. Begründen Sie, dass $ G $ im Fall $ n_7=1 $ nicht einfach ist.
3. Begründen Sie, dass \begin{equation*} \cdot\colon G\times\mathrm{Syl}_7\rightarrow \mathrm{Syl}_7,\quad (g,P)\mapsto gPg^{-1} \end{equation*} eine transitive Operation von $ G $ auf $ \mathrm{Syl}_7 $ ist.
4. Begründen Sie, dass $ G $ auch im Fall $ n_7=8 $ nicht einfach ist.

In einem assoziativen Ring mit Einselement gelte für jedes Element $ x\in R $ entweder $ x^2=1 $ oder $ x^n=0 $ für ein $ n\geq 1 $ .

1. Beweise Sie, dass die Einheitengruppe von $ R $ kommutativ ist.
2. Zeigen Sie, dass für jedes Element $ x\in R $ entweder $ x $ oder $ 1-x $ eine Einheit ist.
3. Beweisen Sie, dass $ R $ ein kommutativer Ring ist.

Finden Sie zwei Polynome $ f,g\in\Q[X] $ gleichen Grades, so dass $ \gal(f) $ und $ \gal(g) $ gleich viele Elemente haben, aber $ \gal(f) $ abelsch und $ \gal(g) $ nicht abelsch ist.