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Herbst 2016


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Aufgabe 1

Seien $ N $ ein auflösbarer Normalteiler einer endlichen Gruppe $ G $ und $ H $ eine weitere auflösbare Untergruppe von $ G $ . Zeigen Sie, dass \begin{equation*} N\cdot H=\{n\cdot h\vert n\in N,h\in H\} \end{equation*} wieder eine auflösbare Untergruppe von $ G $ ist.

(12 Punkte)

Tipps

Verwende die Isomorphiesätze. Es ist damit äquivalent zu zeigen, dass $ H/H\cap N $ auflösbar ist. Hier musst Du entscheiden, ob Du als bekannt voraussetzen willst, dass Quotienten auflösbarer Gruppen wieder auflösbar sind (vergleiche Übung) oder diese Aussage auch noch beweisen willst. Tipp hierfür: Wie lässt sich aus einer Auflösung von $ H $ eine Auflösung von $ H/H\cap N $ konstruieren? (Vorsicht beim Anwenden des Korrespondenzsatzes!)

Aufgabe 2

Seien $ p $ eine Primzahl und $ k\leq p-2 $ . Zeigen Sie, dass die Einheitsmatrix $ I_k $ die einzige Matrix $ A\in\gl_k(\Q) $ mit der Eigenschaft $ A^p=I_k $ ist.

(12 Punkte)

Tipps

Betrachte ein $ A $ , so dass $ P(A)=0 $ für $ P=X^p-1 $ . Folgere, dass das Minimalpolynom von $ A $ also ein Teiler von $ P $ sein muss und schätze dessen Grad mit Hilfe des Satzes von Cayley-Hamilton ab.

Aufgabe 3

Sei $ R $ ein kommutativer Ring mit Einselement. Zu jedem $ a\in R $ existiere ein $ b\in R $ mit $ a^2\cdot b=a $ .

  1. Zeigen Sie, dass $ R $ reduziert ist, das heißt, dass $ 0 $ das einzige nilpotente Element in $ R $ ist.
  2. Zeigen Sie weiter, dass jedes Primideal $ \mathfrak{p} $ in $ R $ maximal ist.
(12 Punkte)

Tipps
  • zu a). Zeige, dass $ a^nb^{n-1}=a $ gilt für $ a,b $ wie in der Angabe.

Aufgabe 4

Sei $ a\in\N_0 $ . Wir definieren eine Folge $ (x_n) $ , $ n\in\N_0 $ durch \begin{equation*} x_n\coloneqq a^{2^n}+1. \end{equation*}

  1. Sei $ n\lt m $ . Zeigen Sie, dass $ x_n $ ein Teiler von $ x_m-2 $ ist.
  2. Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler von $ x_n $ und $ x_m $ ,
  3. Folgern Sie, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
(12 Punkte)

Tipps
  • zu 2). Unterscheide danach, ob $ a $ gerade oder ungerade ist.
  • zu 3). Verwende Teil 2. (und betrachte Primfaktorzerlegungen der $ x_n $ ).

Aufgabe 5

Sei $ f(X) $ ein separables Polynom über $ \Q $ , welches in der Form $ f(X)=h(X^2) $ mit $ h(X)\in\Q[X] $ und $ n\coloneqq \deg h(X)\geq 2 $ geschrieben werden kann. Zeigen Sie, dass die Galoissche Gruppe (eines Zerfällungskörpers) von $ f(X) $ nicht die volle symmetrische Gruppe $ S_{2n} $ der Nullstellen sein kann.

(12 Punkte)

Tipps

Beschreibe den Zerfällungskörper als $ \zerf_\Q(f)=\Q(\alpha_1,\ldots,\alpha_{2n}) $ für $ \alpha_i $ die Nullstellen von $ f $ . Überlege Dir dann, dass schon $ n $ dieser $ 2n $ Nullstellen zur Erzeugung des Zerfällungskörpers genügen und nutze dies für eine Abschätzung $ [\zerf_\Q(f):\Q]<2n $ .

Aufgabe 1

Sei $ H:=\{z\in\mathbb{C}\vert\mathrm{Im}(z)>0\} $ die obere Halbebene und $ \mathrm{SL}_2(\mathbb{R}) $ die Gruppe der reellen $ 2\times 2 $ -Matrizen mit Determinante $ 1 $ . Die Abbildung \begin{equation*} \rho\colon \mathrm{SL}_2(\mathbb{R})\times H\rightarrow H,\qquad \left(\left(\begin{matrix} a&b\\ c&d\end{matrix}\right),z\right)\mapsto \frac{az+b}{cz+d} \end{equation*} definiert eine Gruppenoperation von $ \mathrm{SL}_2(\mathbb{R}) $ auf $ H $ .

  1. Geben Sie die Bahnen von $ \rho $ an.
  2. Geben Sie den Stabilisator von $ i\in H $ an.
(6 + 2 Punkte)

Tipps
  • zu a). Betrachte zuerst die Wirkung einiger einfacher Matrizen aus $ \mathrm{SL}_2(\mathbb{R}) $ .

Aufgabe 2

Seien $ A,B $ abelsche Gruppen und $ \phi\colon B\rightarrow\mathrm{Aut}(A) $ ein Homomorphismus von $ B $ in die Gruppe der Automorphismen von $ A $ . Das semidirekte Produkt $ A\rtimes_\phi B $ ist die folgendermaßen definierte Gruppe: \begin{equation*} \begin{aligned}A\rtimes_\phi B&:= \{(a,b) \vert a\in A,b\in B\}\\ (a_1,b_1)\cdot (a_2,b_2)&:= (a_1\phi(b_1)(a_2),b_1b_2)\end{aligned} \end{equation*}

  1. Zeigen Sie, dass $ A\rtimes_\phi B $ genau dann abelsch ist, wenn $ \phi $ trivial ist, also $ \phi(b)=\mathrm{Id}_A $ für alle $ b\in B $ gilt.
  2. Konstruieren Sie eine nichtabelsche Gruppe der Ordnung $ 2015 $ .

(6 + 10 Punkte)

Tipps
  • zu a). Möglicher Hinweis zur Richtung ' $ \Rightarrow $ ': Es genügt, nur Elemente einer bestimmten Form aus $ N\rtimes_\varphi H $ zu betrachten.

Aufgabe 3

Im Folgenden sei $ K $ der jeweils angegebene Körper. Entscheiden Sie jeweils, ob die Matrix $ A $ über $ K $ diagonalisierbar ist, und begründen Sie ihre Antwort.

  1. $ A=\left(\begin{matrix} 2&1&0\\ 0&2&0\\ 0&0&2 \end{matrix}\right),\quad K=\C $
  2. $ A=\left(\begin{matrix} 0&1\\ -1&0 \end{matrix}\right),\quad K=\R $
  3. $ A=\left(\begin{matrix} 0&1\\ -1&0 \end{matrix}\right),\quad K=\F_5 $
  4. $ A=\left(\begin{matrix} X+1&1\\ X-1&2X-1 \end{matrix}\right),\quad K $ ist der rationale Funktionenkörper $ \R(X) $ .
(2 + 2 + 3 + 3 Punkte)

Aufgabe 4

Sei $ p\gt 2 $ eine Primzahl. Wir betrachten den Körper $ \Q(\zeta_p,\alpha_p)\subset\C $ mit $ \alpha_p=\sqrt[p]{p}\in\R $ und $ \zeta_p=e^{\frac{2\pi i}{p}} $ . Zeigen Sie:

  1. Die Körpererweiterung $ K/\Q $ ist Galois'sch.
  2. $ [K:\Q]=p(p-1) $ .
  3. Die Teilerweiterung $ \Q(\alpha_p)/\Q $ ist nicht normal und daher ist die Galois-Gruppe $ \gal(K/\Q) $ nicht abelsch.
  4. $ \gal(K/\Q) $ hat einen Normalteiler der Ordnung $ p $ .
(2 + 6 + 6 + 2 Punkte)

Tipps
  • zu b). Gradformel.
  • zu c). Hauptsatz der Galoistheorie (Zusatz).
  • zu d). Hauptsatz der Galoistheorie (Zusatz) oder Sylowsätze.

Aufgabe 5

Sei $ p $ eine Primzahl. Wir betrachten in $ \F_p[X] $ die Polynome $ P_1=X^2+X+1 $ und $ P_2=X^3+X^2+X+1 $ . Bestimmen Sie die Lösungsmenge $ L\subset \F_p[X] $ des Kongruenzsystems \begin{equation*} F\equiv X-1\mod P_1\quad\text{und}\quad F\equiv 1\mod P_2,\quad F\in\F_p[X]. \end{equation*}

(10 Punkte)

Tipps

Zeige, dass $ P_1 $ und $ P_2 $ teilerfremd sind, z.B. indem Du zeigst, dass sie keine gemeinsame Nullstelle (in einem algebraischen Abschluss von $ \F_p $ ) besitzen. Verwende dann den chinesischen Restsatz.

Aufgabe 1

Sei $ K $ ein Körper, $ V $ ein endlich dimensionaler $ K $ -Vektorraum und $ \phi\colon V\rightarrow V $ ein Endomorphismus von $ V $ , dessen charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Beweisen Sie, dass die folgenden Bedingungen äquivalent sind:

  1. Alle Eigenräume von $ \phi $ sind eindimensional.
  2. Zu jedem Eigenwert von $ \phi $ existiert in der Jordanschen Normalform genau ein Jordanblock.
  3. Das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom von $ \phi $ sind gleich.
(12 Punkte)

Tipps

Vgl. z.B. Aufgabe 4 vom Übungsblatt Lineare Algebra.

Aufgabe 2

Sei $ p\geq 3 $ eine ungerade Primzahl und $ \F_{p^2} $ der Körper mit $ p^2 $ Elementen. Beweisen Sie:

  1. Die Abbildung $ f\colon\F_{p^2}\rightarrow \F_{p^2} $ , die durch $ f(a)=a^p $ gegeben ist, ist ein Isomorphismus von Ringen.
  2. Durch die Vorschrift $ g(a)=a+a^p $ ist eine Abbildung $ g\colon \F_{p^2}\rightarrow \F_{p} $ gegeben, und diese ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus.
  3. Durch die Vorschrift $ h(a)=a^{p+1} $ ist eine Abbildung $ h\colon \F_{p^2}^\ast\rightarrow \F_{p}^\ast $ gegeben, und diese ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus.
(4 + 4 + 4 Punkte)

Tipps
  • zu b). Zeige, dass die Einschränkung $ g\vert_{\F_p}\colon\F_p\rightarrow\F_p $ ein Isomorphismus ist.
  • zu c). Wieviele Nullstellen kann das Polynom $ X^{p+1}-a $ für ein $ a\in\F_p $ in $ \F_{p^2} $ höchstens haben? Nutze diese Beobachtung, um $ \lvert\ker(h)\rvert $ nach oben abzuschätzen. Verwende dann den Homomorphiesatz.

Aufgabe 3

Es sei $ G $ eine Gruppe der Ordnung $ \lvert G\rvert =7^2\cdot 8 $ . Mit $ \mathrm{Syl}_7 $ bezeichnen wir die Menge der $ 7 $ -Sylowgruppen und mit $ n_7 $ die Anzahl der $ 7 $ -Sylowgruppen von $ G $ . Zeigen Sie mit Hilfe der folgenden Schritte, dass $ G $ nicht einfach ist.

  1. Begründen Sie, dass $ n_7\in \{1,8\} $ liegt.
  2. Begründen Sie, dass $ G $ im Fall $ n_7=1 $ nicht einfach ist.
  3. Begründen Sie, dass \begin{equation*} \cdot\colon G\times\mathrm{Syl}_7\rightarrow \mathrm{Syl}_7,\quad (g,P)\mapsto gPg^{-1} \end{equation*} eine transitive Operation von $ G $ auf $ \mathrm{Syl}_7 $ ist.
  4. Begründen Sie, dass $ G $ auch im Fall $ n_7=8 $ nicht einfach ist.
(2 + 2 + 2 + 6 Punkte)

Tipps
  • zu d). Betrachte den Morphismus $ G\rightarrow S_8 $ , der zur Wirkung aus $ c) $ gehört.

Aufgabe 4

In einem assoziativen Ring mit Einselement gelte für jedes Element $ x\in R $ entweder $ x^2=1 $ oder $ x^n=0 $ für ein $ n\geq 1 $ .

  1. Beweise Sie, dass die Einheitengruppe von $ R $ kommutativ ist.
  2. Zeigen Sie, dass für jedes Element $ x\in R $ entweder $ x $ oder $ 1-x $ eine Einheit ist.
  3. Beweisen Sie, dass $ R $ ein kommutativer Ring ist.
(3 + 3 + 6 Punkte)

Tipps
  • zu a). Schließe ohne Einschränkung den Fall $ 1=0 $ aus. Dann ist $ x^n=0 $ nur möglich, wenn $ x $ keine Einheit ist...
  • zu b). Mögliche Variante: Nimm an, $ x $ und $ 1-x $ seien beides keine Einheiten. Dann wären sie nach Angabe ja nilpotent (selbes oBdA wie in Teil a)). Führe diese Annahme zu einem Widerspruch, indem Du die allgemeine binomische Formel geeignet verwendest.

Aufgabe 5

Finden Sie zwei Polynome $ f,g\in\Q[X] $ gleichen Grades, so dass $ \gal(f) $ und $ \gal(g) $ gleich viele Elemente haben, aber $ \gal(f) $ abelsch und $ \gal(g) $ nicht abelsch ist.

(12 Punkte)

Tipps

Zwei mögliche Isomorphietypen für die gesuchten Galoisgruppen wären $ \Z_6\simeq\Z_7^\times $ und $ S_3 $ . Solltest Du bereits zwei Polynome gefunden haben, deren Galoisguppen die gewünschten Eigenschaften haben, die aber nicht denselben Grad haben, bedenke, dass, wenn sich $ f $ und $ f' $ nur um Linearfaktoren vom Grad $ 1 $ unterscheiden, $ \gal(f)=\gal(f') $ ist.