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Herbst 2015


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Aufgabe 1

Bestimmen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung $ x^6-2x+4=0 $ im Ring $ \Z/64\Z $ .

Tipp: Führen Sie eine Fallunterscheidung je nach Bild von $ x $ in $ \Z/2\Z $ durch und beachten Sie, dass $ 64=2^6 $ .

(8 Punkte)

Aufgabe 2

Sei $ \F_q $ der endliche Körper mit $ q $ Elementen.
  1. Zeigen Sie, dass für $ n\geq 1 $ die Anzahl der eindimensionalen $ \F_q $ -Untervektorräume von $ \F_q^n $ gleich $ \frac{q^n-1}{q-1} $ ist. (4 Punkte)
  2. Zeigen Sie, dass die Anzahl der zweidimensionalen Untervektorräume von $ \F_q^3 $ gleich der Anzahl der eindimensionalen Untervektorräume von $ \F_q^3 $ ist. (4 Punkte)
  3. Wie viele Zerlegungen von $ \F_q^3 $ in direkte Summen von $ \F_q $ -Untervektorräumen $ V_1\oplus V_2 $ gibt es mit $ \dim_{\F_q}(V_1)=2 $ ? (4 Punkte)

Tipps

Zu b). Wieviele Paare von Vektoren aus $ \F_q^3 $ spannen jeweils einen vorgegebenen zweidimensionalen Unterraum auf (sind also Basis für diesen Unterraum)?
Zu c). Für einen vorgegebenen zweidimensionalen Unterraum, wähle eine Basis von diesem und ergänze sie zu einer Basis von $ \F_q^3 $ . Wieviele Komplemente gibt es dann zu diesem Unterraum?

Aufgabe 3

Bestimmen Sie bis auf Isomorphie sämtliche endliche Gruppen $ G $ der Ordnung $ 143=11\cdot 13 $ . (8 Punkte)

Aufgabe 4

Sei $ P(X) $ das Polynom $ X^3-X+2\in\Z[X] $ . Zeigen Sie die folgenden Behauptungen:
  1. Das Bild von $ P(X) $ in $ \F_3[X] $ ist irreduzibel. (2 Punkte)
  2. Das Polynom $ P(X) $ ist irreduzibel in $ \Q[X] $ . (2 Punkte)
  3. Das Polynom $ P(X) $ hat genau eine reelle Nullstelle. (4 Punkte)
  4. Die Galoisgruppe des Zerfällungskörpers $ L $ von $ P(X) $ über $ \Q $ ist isomorph zu $ S_3 $ . (4 Punkte)

Aufgabe 5

Sei $ \zeta_5\in\C $ eine primitive fünfte Einheitswurzel, $ \zeta_7\in\C $ eine primitive siebte Einheiswurzel und $ u=\zeta_7+\zeta_7^{-1} $ . Zeigen Sie:

  1. $ [\Q(\zeta_7):\Q(u)]=2 $ , (4 Punkte)
  2. $ [\Q(u):\Q]=3 $ , (4 Punkte)
  3. $ [\Q(u,\zeta_5):\Q]=12 $ . (6 Punkte)
  4. Die Galoisgruppe $ \gal(\Q(u,\zeta_5)\vert\Q) $ ist isomorph zu $ \Z/12\Z $ . (6 Punkte)

Tipps

Zu d). Vgl. Aufgabe 4 vom Übungsblatt Galoistheorie I.

Aufgabe 1

Bestimmen Sie alle Matrizen $ A $ in $ \gl_2(\C) $ , die mit der Matrix \begin{equation*} X=\left(\begin{matrix}1&1\\ 0&1\end{matrix}\right) \end{equation*} kommutieren.

(6 Punkte)

Aufgabe 2

Wieviele Elemente der Ordnung $ 15 $ gibt es in der symmetrischen Gruppe $ S_8 $ ?

(14 Punkte)

Tipps

Jedes Element in $ S_8 $ lässt sich als Produkt disjunkter Zykel darstellen.

Aufgabe 3

Sei $ (a_n)_{n\geq 0} $ die wie folgt rekursiv definierte Folge ganzer Zahlen: \begin{equation*} a_0=0,\quad a_{n+1}=a_n^2+1\quad\text{für }n\geq 0. \end{equation*} Sei $ N\in\Z $ . Zeigen Sie: Ist $ N $ ein Teiler von $ a_n $ , dann teilt $ N $ auch $ a_{kn} $ für alle $ k\geq 2 $ .

(14 Punkte)

Tipps

Offensichtlich genügt es, den Fall $ N=a_n $ zu zeigen. Mögliche Variante: Führe den Beweis durch Induktion über $ k $ , und zeige für den Induktionsschritt, dass $ a_{kn+m}\equiv a_m\mod a_n $ gilt für alle $ m\geq 0 $ (z.B. durch eine weitere Induktion, diesmal über $ m $ ).

Aufgabe 4

Sei $ K\subset L $ eine Körpererweiterung und seien $ \alpha,\beta\in L $ algebraisch über $ K $ . Sei $ f $ das Minimalpolynom von $ \alpha $ über $ K $ und $ g $ das Minimalpolynom von $ \beta $ über $ K $ . Zeigen Sie, dass $ f $ irreduzibel über $ K(\beta) $ ist genau dann, wenn $ g $ irreduzibel über $ K(\alpha) $ ist.

(12 Punkte)

Tipps

Mögliche Variante: Verwende die Gradformel.

Aufgabe 5

Sei $ \xi=\sqrt{2+\sqrt{2}}\in\R $ .

  1. Berechnen Sie das Minimalpolynom $ m(X) $ von $ \xi $ über $ \Q $ . (6 Punkte)
  2. Zeigen Sie, dass die Körpererweiterung $ \Q\subset \Q(\sqrt{2+\sqrt{2}}) $ Galois'sch ist und berechnen Sie die Galoisgruppe. (8 Punkte)

Tipps

Zu b). Gib die Elemente der Galoisgruppe explizit durch ihre Wirkung auf $ \sqrt{2+\sqrt{2}} $ an, und bestimme den Isomorphietyp der Galoisgruppe durch Betrachten der Ordnung eines ausgewählten solchen Elemntes.

Aufgabe 1

Seien $ x,y,z\in\Z $ mit $ x^2+y^2=z^2 $ . Zeigen Sie, dass das Produkt $ xyz $ durch $ 60 $ teilbar ist.

(12 Punkte)

Tipps

Zu zeigen ist also $ xyz\equiv 0\mod 60 $ . Überlege, dass es mit Hilfe des chinesischen Restsatzes genügt, $ xyz\equiv 0\mod n $ für $ n=3,4,5 $ zu zeigen. Reduziere dazu zuerst ohne Einschränkung auf den Fall, dass $ x,y,z $ teilerfremd sind. Für den Fall $ n=4 $ betrachte zuerst den Fall modulo $ 2 $ , und versuche dann, von diesem ausgehend den Fall modulo $ 4 $ zu lösen (unter Umständen kann hier die Umformung $ y^2=z^2-x^2=(z-x)(z+x) $ helfen).

Aufgabe 2

Sei $ n\geq 2 $ eine natürliche Zahl. Es bezeichne $ \varphi(n) $ den Wert der Euler'schen $ \varphi $ -Funktion bei $ n $ . Zeigen Sie, dass es genau $ \varphi(n) $ verschiedene injektive Gruppenhomomorphismen $ f\colon \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Q}/\mathbb{Z} $ gibt. (15 Punkte)

(15 Punkte)

Tipps

Ein solcher Gruppenhomomorphismus ist durch das Bild von $ 1 $ eindeutig bestimmt.

Aufgabe 3

Betrachten Sie das Polynom $ f(X)=X^2+X+1\in\F_5[X] $ .

  1. Zeigen Sie, dass $ K\coloneqq \F_5[X]/(f(X)) $ ein Körper mit $ 25 $ Elementen ist. (4 Punkte)
  2. Bestimmen Sie ein Element $ w\in K $ , mit $ w^2=2 $ . (6 Punkte)
  3. Zeigen Sie, dass die Matrix \begin{equation*} A\coloneqq \left(\begin{matrix} 1&2\\ 3&4\end{matrix}\right) \in M(2\times 2,\F_5) \end{equation*} über $ K $ diagonalisierbar ist. (5 Punkte)

Tipps
Zu c). Erinnere Dich, dass eine Matrix mit paarweise verschiedenen Eigenwerten diagonalisierbar ist. Eventuell hilft Dir Deine Lösung von Teil b) an dieser Stelle weiter.

Aufgabe 4

Es sei $ p\geq 3 $ eine Primzahl und $ a\in\Q $ eine rationale Zahl, so dass $ X^p-a $ irreduzibel über $ \Q $ ist. Ferner sei $ \zeta\in\C $ eine primitive $ p $ -te Einheitswurzel, $ \alpha\in\C $ eine beliebige Nullstelle von $ X^p-a $ und $ Z\coloneqq\Q(\alpha,\zeta) $ .

  1. Zeigen Sie, dass $ Z $ ein Zerfällungskörper von $ X^p-a $ ist und $ [Z:\Q]=p(p-1) $ gilt. (5 Punkte)
  2. Zeigen Sie, dass $ \gal(Z\vert\Q) $ eine $ p $ -Sylowgruppe $ H $ besitzt, die Normaltieiler ist, und dass \begin{equation*} \gal(Z\vert\Q)/H\simeq(\Z/p\Z)^\times=\Z/p\Z\setminus\{0\}\text{ gilt.} \end{equation*} (5 Punkte)
  3. Bestimmen Sie einen Gruppenisomorphismus $ \gal(Z\vert\Q(\alpha))\overset{\simeq}{\longrightarrow}(\Z/p\Z)^\times $ . (5 Punkte)
  4. Zeigen Sie, dass $ \gal(Z\vert\Q) $ mehr als eine $ 2 $ -Sylowgruppe besitzt. (3 Punkte)

Tipps
  • zu b). Um einen Isomorphismus der gesuchten Art zu erhalten verwende hier lieber nicht die Sylowsätze, sonder den Hauptsatz der Galoistheorie (Zusatz).
  • zu c). Bestimme das Minimalpolynom von $ \zeta $ über $ \Q(\alpha) $ und dessen weitere Nullstellen.
  • zu d). Gib die Elemente aus $ \gal(Z\vert\Q) $ und eine $ 2 $ -Sylowgruppe explizit an. Zeige dann durch ein explizites Gegenbeispiel, dass die angegebene $ 2 $ -Sylowgruppe kein Normalteiler ist.