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Herbst 2014


$ \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\coloneqq}{:=} \newcommand{\eqqcolon}{=:} \newcommand{\legendre}[2]{\left(\frac{#1}{#2}\right)} \newcommand{\zmatrix}[4]{\left(\begin{matrix}#1&#2\\ #3&#4\end{matrix}\right)} \DeclareMathOperator{\gal}{Gal} \DeclareMathOperator{\mat}{Mat} \DeclareMathOperator{\ggt}{ggT} \DeclareMathOperator{\kgv}{kgV} \DeclareMathOperator{\id}{Id} \DeclareMathOperator{\modu}{mod} \DeclareMathOperator{\aut}{Aut} \DeclareMathOperator{\sym}{S} \DeclareMathOperator{\asym}{A} \DeclareMathOperator{\gl}{GL} \DeclareMathOperator{\discr}{disc} \DeclareMathOperator{\zerf}{Zerf} \DeclareMathOperator{\er}{ER} \DeclareMathOperator{\cha}{char} \DeclareMathOperator{\ord}{ord} \DeclareMathOperator{\syl}{Syl} \DeclareMathOperator{\slg}{SL} $

Aufgabe 1

Es seien $ L\supseteq K $ eine endliche Galoiserweiterung und $ p $ eine Primzahl, die den Körpergrad $ [L:K] $ teilt.
  1. Zeigen Sie, dass es einen Zwischenkörper $ K\subseteq Z\subseteq L $ gibt, so dass \begin{equation*} [L:Z]=p^m\quad\text{und}\quad p\not\lvert \hspace{2pt}[Z:K] \end{equation*} für ein $ m\in\N $ gilt. (8 Punkte)
  2. Bestimmen Sie im Fall $ K=\Q $ , $ L=\Q(\zeta_7) $ mit einer primitiven siebten Einheitswurzel $ \zeta_7 $ und $ p=3 $ einen solchen Zwischenkörper, indem Sie ein primitives Elements $ \alpha $ dafür angeben. (8 Punkte)

Tipps

Zu a). Sylowsätze und Hauptsatz der Galoistheorie.

Aufgabe 2

Es sei $ R $ ein kommutativer Ring mit Eins, der nicht der Nullring ist. Sei $ \mathfrak{p} $ ein Primideal von $ R $ . Betrachten Sie die Teilmenge \begin{equation*} \mathfrak{p}R[X]\coloneqq\left\{\sum_{i=1}^ra_if_i(X)\middle\vert r\in\N,~a_i\in\mathfrak{p}\text{ und }f_i(X)\in R[X]\right\} \end{equation*} im Polynomring $ R[X] $ .
  1. Zeigen Sie, dass $ \mathfrak{p}R[X] $ ein Ideal von $ R[X] $ ist. (2 Punkte)
  2. Geben Sie einen Isomorphismus $ R[X]/\mathfrak{p}R[X]\rightarrow (R/\mathfrak{p})[X] $ an (mit Beweis). (6 Punkte)
  3. Zeigen Sie, dass $ \mathfrak{p}R[X] $ ein Primideal, aber kein maximales Ideal von $ R[X] $ ist. (6 Punkte)

Tipps

Zu b). Definiere zuerst einen Morphismus $ R[X]\rightarrow (R/\mathfrak{p})[X] $ auf die einzig naheliegende Art und Weise, und verwende dann den Homomorphiesatz.

Aufgabe 3

Es sei $ K\subseteq L $ eine Körpererweiterung, und es seien $ \alpha,\beta\in L $ , so dass $ \alpha+\beta $ und $ \alpha\beta $ beide algebraisch über $ K $ sind.

Zeigen Sie, dass dann auch $ \alpha $ und $ \beta $ algebraisch über $ K $ sind.

(10 Punkte)

Tipps

Zeige, dass $ K\subset K(\alpha,\beta) $ algebraisch ist und nutze dazu die Tatsache, dass die Eigenschaft von Körpererweiterungen, algebraisch zu sein, transitiv ist.

Aufgabe 4

Die endliche Gruppe $ G $ operiere transitiv auf der endlichen Menge $ X\neq\emptyset $ , so dass jedes $ g\in G $ mindestens einen Fixpunkt hat. Zeigen Sie:

  1. Es bezeichne $ G_x $ den Stabilisator von $ x\in G $ . Dann gilt \begin{equation*} G\setminus \{1\}=\bigcup_{x\in X}(G_x\setminus\{1\}). \end{equation*} (3 Punkte)
  2. Zeigen Sie, dass $ X $ nur ein Element hat. (9 Punkte)

Tipps

Zu b). Da die Wirkung transitiv ist gibt es nur eine Bahn. Was lässt sich also über den Index aller Standgruppen (zu beliebigen $ x\in X $ ) aussagen?

Aufgabe 5

Bestimmen Sie die kleinste natürliche Zahl, die bei Division durch $ n $ den Rest $ n-1 $ hat, für alle $ n\in\{2,3,4,5,6,7\} $ .

(8 Punkte)

Aufgabe 1

Es sei $ R $ ein kommutativer Ring mit Eins. Ein Element $ e\in R $ ist idempotent genau dann, wenn $ e^2=e $ ist (zum Beispiel sind $ 0 $ und $ 1 $ idempotent). Zeigen Sie:
  1. Wenn $ e $ idempotent ist, dann ist auch $ 1-e $ idempotent, und $ e\cdot(1-e)=0 $ . (2 Punkte)
  2. Ist $ e $ idempotent, dann sind die Ideale $ eR $ und $ (1-e)R $ relativ prim. (2 Punkte)
  3. $ R $ ist genau dann isomorph zu einem direkten Produkt von zwei Ringen, die beide keine Nullringe sind, wenn es in $ R $ ein idempotentes Element $ e\notin \{0,1\} $ gibt. (8 Punkte)

Tipps
Zu c). Verwende den chinesischen Restsatz!

Aufgabe 2

Es sei $ P\in\Q[X] $ ein irreduzibles Polynom vom Grad $ d\geq 3 $ , das mindestens eine Nullstelle $ a\in\R $ und mindestens eine Nullstelle $ b\in\C\setminus\R $ hat. Sei $ L\subseteq \C $ der Zerfällungskörper von $ P $ über $ \Q $ . Zeigen Sie:
  1. Es gibt einen Automorphismus $ \varphi\in\aut(L/\Q) $ mit $ \varphi(a)=b $ . (2 Punkte)
  2. Die komplexe Konjugation kann zu einem Automorphismus von $ L $ über $ \Q $ eingeschränkt werden. (5 Punkte)
  3. Die Galoisgruppe $ \aut(L/\Q) $ ist nicht abelsch. (5 Punkte)

Aufgabe 3

  1. Es seien $ p\geq 2 $ eine natürliche Zahl, $ m\in\mathbb{N}_0=\{0,1,2,\ldots\} $ und $ a_i\in\mathbb{N}_0 $ für $ 1\leq i\leq m $ , so dass \begin{equation*} p^n=\sum_{i=1}^mp^{a_i} \end{equation*} gilt. Zeigen Sie, dass $ m-1 $ durch $ p-1 $ teilbar ist.

    Hinweis: Betrachten Sie Kongruenzen modulo $ p-1 $ .

    (4 Punkte)
  2. Für eine Primzahl $ p $ und $ n\in\mathbb{N} $ sei $ G $ eine Gruppe der Ordnung $ p^n $ , und \begin{equation*} Z(G)=\{g\in G\vert xg=gx\text{ für alle }x\in G\} \end{equation*} sei das Zentrum von $ G $ . Zeigen Sie, dass die Anzahl der Konjugationsklassen von $ G $ , die nicht in $ Z(G) $ liegen, durch $ p-1 $ teilbar ist. (8 Punkte)

Tipps
Zu b). Betrachte die Bahnengleichung bezüglich der Wirkung von $ G $ auf sich selbst durch Konjugation.

Aufgabe 4

Sei $ H $ eine Untergruppe der endlichen Gruppe $ G $ und $ P $ eine $ p $ -Sylowgruppe von $ G $ für eine Primzahl $ p $ , die die Ordnung von $ H $ teilt.
  1. Zeigen Sie, dass es stest ein $ g\in G $ gibt, so dass $ H\cap gPg^{-1} $ eine $ p $ -Sylowgruppe von $ H $ ist. (6 Punkte)
  2. Zeigen Sie an einem Beispiel, dass $ H\cap P $ nicht notwendig eien $ p $ -Sylowgruppe von $ H $ ist. (6 Punkte)

Tipps

Zu a). Überlege, dass es genügt, die folgende Aussage zu zeigen:

Jede $ p $ -Untergruppe einer Gruppe $ G $ liegt in (mindestens) einer $ p $ -Sylowgruppe von $ G $ .

Zum Beweis dieser Aussage betrachte für eine $ p $ -Untergruppe $ H $ die Wirkung von $ H $ auf der Menge der $ p $ -Sylowgruppen von $ G $ durch Konjugation und folgere aus der Bahnengleichung sowie dem dritten Sylowsatz, dass mindestens eine Bahn der Länge $ 1 $ existieren muss. Zu b). Eine Möglichkeit wäre $ G=S_3 $ , $ p=2 $ für passende $ H,P $ .

Aufgabe 5

Die reelle $ (6\times 6) $ -Matrix $ A $ habe den sechsfachen Eigenwert $ 1 $ mit der geometrischen Vielfachheit $ 3 $ . Es gelte weiterhin $ A=E_6+N $ mit der Einheitsmatrix $ E_6 $ und einer nilpotenten Matrix $ N $ mit Nilpotenzindex $ 3 $ , d.h. $ N^3=0 $ , aber $ N^2\neq 0 $ . Bestimmen Sie die Jordan-Normalform von $ A $ .

(12 Punkte)

Tipps

Vergleiche Aufgabe 4 vom Übungsblatt Lineare Algebra.

Aufgabe 1

Es sei $ G $ eine Gruppe mit $ 2014 $ Elementen. Zeigen Sie, dass $ G $ einen zyklischen Normalteiler der Ordnung $ 1007=19\cdot 53 $ besitzt. (11 Punkte)

(11 Punkte)

Tipps

Sylowsätze.

Aufgabe 2

Wie viele Quadrate gibt es im Ring $ \Z/2014\Z $ ?

(11 Punkte)

Tipps

Verwende den chinisischen Restsatz. Wieviele Quadrate gibt es modulo einer Primzahl $ p $ ?

Aufgabe 3

Es sei $ G $ eine abelsche Gruppe, in der jedes Element endliche Ordnung hat.

  1. Zeigen Sie: Sind $ a,b\in G $ zwei Elemente mit teilerfremden Ordnungen, dann gilt $ \mathrm{ord}(ab)=\mathrm{ord}(a)\cdot\mathrm{ord}(b) $ . (6 Punkte)
  2. Seien $ k,l $ zwei natürliche Zahlen. Beweisen Sie: Es gibt natürliche Zahlen $ k_0,l_0 $ mit \begin{equation*} \mathrm{ggT}(k_0,l_0)=1,\quad k_0\vert k,\quad l_0\vert l\quad\text{und}\quad k_0l_0=\mathrm{kgV}(k,l). \end{equation*} (4 Punkte)
  3. Folgern Sie aus a. und b., dass zu beliebigen $ x,y\in G $ ein $ z\in G $ existiert mit $ \mathrm{ord}(z)=\mathrm{kgV}(\mathrm{ord}(x),\mathrm{ord}(y)) $ . (2 Punkte)
  4. Beweisen Sie: Ist $ m:=\mathrm{sup}\{\mathrm{ord}(x)\vert x\in G\}<\infty $ , dann gilt $ \mathrm{ord}(a)\vert m $ für jedes $ a\in G $ . (2 Punkte)

Tipps

Zu b). Eine günstige Definition des ggT für diese Teilaufgabe ist beispielsweise diejenige über die Primfaktorzerlegungen der beteiligten Zahlen.

Zu d). Ist das Supremum endlich, so wird es auch angenommen.

Aufgabe 4

Sei $ \omega\in\C\setminus\Q $ mit $ \omega^2\in\Z $ gegeben. Zeigen Sie:

  1. $ \Z[\omega]\coloneqq \{a+b\omega\vert a,b\in\Z\} $ ist ein Unterring in $ \C $ . (2 Punkte)
  2. Für $ z=a+b\omega\in\Z[\omega] $ sei $ z^\ast =a-b\omega $ . Dann ist die Normabbildung \begin{equation*} N\colon \Z[\omega]\rightarrow\Z,\quad z\mapsto zz^\ast \end{equation*} multiplikativ, d.\,h., für $ z_1,z_2\in\Z[\omega] $ gilt $ N(z_1z_2)=N(z_1)N(z_2) $ . (2 Punkte)
  3. Ein Element $ z\in\Z[\omega] $ ist genau dann eine Einheit, wenn $ \lvert N(z)\rvert =1 $ ist. (4 Punkte)
  4. Der Ring $ Z[\sqrt{26}] $ besitzt unendlich viele Einheiten. (4 Punkte)

Tipps

Zu b). Nutze die bekannte Tatsache, dass die komplexe Konjuagtion multiplikativ ist.

Zu c). Beachte $ z\in R~\Leftrightarrow ~z^\ast\in R $ .

Zu d). Überlege Dir, dass es genügt, eine Einheit $ 1\neq u\in R^\times $ zu finden, weil dann $ u,u^2,u^3,\ldots $ undendlich viele (verschiedene) Einheiten sind.

Aufgabe 5

  1. Sei $ f\in\Q[X] $ ein irreduzibles Polynom vom Grad $ 3 $ , das genau eine reelle Nullstelle besitzt. Zeigen Sie, dass dann seine Galoisgruppe isomorph zur symmetrischen Gruppe $ S_3 $ ist. (6 Punkte)
  2. Sei $ p $ eine beliebige Primzahl. Bestimmen Sie die Galoisgruppe des Polynoms \begin{equation*} X^4-X^3+pX^2-p\in\Q[X]. \end{equation*} (6 Punkte)

Tipps
  • Zu a). Überlege Dir, wie die komplexe Konjugation ein Element der Galoisgruppe von Ordnung $ 2 $ induziert. Zeige dann weiter, dass die Galoisgruppe (aufgefasst als Untergruppe der $ S_3 $ ) auch bereits einen $ 3 $ -Zykel enthalten muss.
  • Zu b). Ist das gegebene Poylnom überhaupt irreduzibel? Verwende dann Teil a).