Es sei $G$ eine Gruppe der Ordnung $750=2\cdot 3\cdot 5^3$. Mit $\mathrm{Syl}_5$ bezeichnen wir die Menge der $5$-Sylowgruppen von $G$ und mit $n_5$ bezeichnen wir die Mächtigkeit von $\mathrm{Syl}_5$.
Hinweis: Betrachten Sie den Kern des Homomorphismus $\lambda\colon G\rightarrow S_6$, der durch die Operation aus c) gegeben ist.
Sylowsätze.
Sei $A=\left(\begin{matrix} \lambda & 1\\ 0&\lambda\end{matrix}\right) \in\C^{2\times 2}$ mit $0\neq\lambda\in\C$. Zeige, dass für alle $k\in\N$ die Matrix $A^k$ die Jordansche Normalform $\left(\begin{matrix}\lambda^k&1\\ 0&\lambda^k\end{matrix}\right)$ hat.
(6 Punkte)Die Aufspaltung $A=\lambda\cdot E + N$ für die Einheitsmatrix $E$ und $N$ mit $N^2=0$ kann hier hilfreich sein. Zeige, dass das charakteristische Polynom von $A^k$ gerade $(X-\lambda^k)^2$ und gleich dem Minimalpolynom ist.
Wir betrachten den Ring $R=\Q[X]/(X^{10}-1)$.
Bestimmen Sie ein kartesisches Produkt von Körpern, das zu $R$ isomorph ist.
Hinweis: Der chinesische Restsatz kann hilfreich sein.
Zu a).Zerlege $X^{10}-1$ in irreduzible Faktoren (Kreisteilungspolynome!) und verwende den chinesischen Restsatz.
Die endliche Gruppe $G$ operiere (von links) auf der endlichen Menge $X$. Für jedes $\sigma \in G$ bezeichne $i(\sigma):=\lvert\{x\in X\vert \sigma x=x\}\rvert $ die Anzahl der Fixpunkte von $\sigma$.
Zeigen Sie, dass sich die Anzahl der Bahnen der Operation zu $$\lvert G\setminus X\rvert =\frac{1}{\lvert G\rvert }\sum_{\sigma\in G}i(\sigma)$$ berechnet.
Hinweis: Bestimmen Sie die Kardinalität der Teilmenge $$Z:=\{(\sigma,x)\in G\times X\vert \sigma x=x\}\subset G\times X$$ auf zwei verschiedene Arten. (6 Punkte)
Die beiden Arten, $\lvert Z\rvert$ zu bestimmen, sind:
Sei $K$ ein endlicher Körper. Sei $a\in K$. Zeigen Sie, dass es Elemente $x,y\in K$ gibt, so dass $x^2+y^2=a$ gilt.
(Tipp: Wie viele Quadrate gibt es in $K$?)
Zusammen mit dem Tipp aus der Aufgabe selbst: Betrachte die Menge $\{a-x^2\vert x\in K\}$ für ein gegebenes $a\in K$. Wieviele Elemente hat diese Menge also?
Sei $S_5$ die Permutationsgruppe von $5$ Ziffern. Wie viele Elemente in $S_5$ haben die Ordnung $4$? Wie viele Untergruppen von $S_5$ haben $4$ Elemente?
(6 Punkte)Um alle Elemente der Ordnung $4$ zu finden kann z.B. verwendet werden, dass sich ja jedes Element in $S_5$ als Produkt disjunkter Zykel schreiben lässt.
Zu den Untergruppen mit vier Elementen: Betrachte die von (der Wirkung von) $S_5$ induzierte Wirkung einer solchen Untergruppe auf der Menge $\{1,2,3,4,5\}$ von $5$ Ziffern (genauer deren Bahnen), und folgere, dass eine solche Wirkung (mindestens) einen Fixpunkt besitzen muss und sich damit als Untergruppe einer geeigneten $S_4\subset S_5$ auffassen lässt. Dann genügt es also, alle Untergruppen von $S_4$ mit $4$ Elementen zu finden. Hier hilft wieder die Beschreibung durch disjunkte Zykel weiter...
Sei $r\geq 1$. Die komplexen Zahlen $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_r$ seien alle algebraisch von Grad $2$ über $\Q$. Setze $K=\Q(\alpha_1,\ldots,\alpha_r)$. Zeigen Sie, dass $K$ eine Galoiserweiterung von $\Q$ ist. Sei $G=\gal(K/\Q)$ und $C_2$ eine Gruppe der Ordnung $2$. Geben Sie einen natürlichen injektiven Gruppenhomomorphismus $G\rightarrow C_2^r$ an.
(6 Punkte)Um zu zeigen, dass die Erweiterung normal ist, bedenke, dass $K$ über $\Q$ genau dann normal ist, wenn $K$ Zerfällungskörper einer geeigneten Familie von Polynomen ist. Nutze dann eine geeignete Definition der Normalität für $\Q\subset\Q(\alpha_i)$, um für alle $i$ einen Restriktionsmorphismus $\gal(K\vert\Q)\rightarrow \gal(\Q(\alpha_i)\vert\Q)\simeq\Z_2$ anzugeben. Kombiniere diese zu einem Morphismus der gesuchten Form.
Zu e). Bezeichne die Nullstelle von $f$ mit $x_1,x_2,x_3,x_4$ wie hängen die Koeffizienten von $f$ (und damit die von $g$) von diesen $x_i$ ab?
Schätze $a(n)$ nach unten durch die Ordnung einer passend konstruierten Permutation ab.
Sei $p$ eine Primzahl, $e,n\in\N$ und $G$ eine Untergruppe von $\gl(n,\F_p)$ mit $p^e$ Elementen. Zeigen Sie: Es gibt einen Spaltenvektor $0\neq v\in\F_p^n$ mit $\gamma\cdot v=v$ für alle $\gamma\in G$. (Hinweis: Betrachten Sie die Bahnlängen von $G$ auf $\F_p^n$.)
(6 Punkte)Es sei $p$ eine Primzahl. Man zeige, dass außer $3$ jeder Primteiler von $2^p+1$ größer als $p$ ist. (Hinweis: Betrachte die multiplikative Ordnung von $2$ modulo eines Primteilers von $2^p+1$.)
(6 Punkte)