1. Die symmetrische Gruppe $S_3$ und die additive Gruppe $\Z/6\Z$ sind isomorph.
2. Die Primzerlegung von $10$ in $\Z[i]$ lautet $$10 = (1+i)(1-i)(2+i)(2-i).$$
3. Es ist $\Q(\sqrt{11},i)$ ein Zerfällungskörper des Polynoms $X^4-11\in\Q[X]$.
4. In $\R[X]$ ist $(X)$ ein Primideal.

Es sei $G$ eine Gruppe der Ordnung $750=2\cdot 3\cdot 5^3$. Mit $\mathrm{Syl}_5$ bezeichnen wir die Menge der $5$-Sylowgruppen von $G$ und mit $n_5$ bezeichnen wir die Mächtigkeit von $\mathrm{Syl}_5$.

1. Begründen Sie, dass $n_5\in\{1,6\}$ gilt.
2. Begründen Sie, dass $G$ im Fall $n_5=1$ nicht einfach ist.
3. Begründen Sie, dass $$\cdot\colon G\times \mathrm{Syl}_5\rightarrow \mathrm{Syl}_5,\quad (g,P)\mapsto gPg^{-1}$$ eine transitive Operation von $G$ auf $\mathrm{Syl}_5$ ist.
4. Begründen Sie, dass $G$ im Fall $n_5=6$ nicht einfach ist.

   Hinweis: Betrachten Sie den Kern des Homomorphismus $\lambda\colon G\rightarrow S_6$, der durch die Operation aus c) gegeben ist.

Sei $A=\left(\begin{matrix} \lambda & 1\\ 0&\lambda\end{matrix}\right) \in\C^{2\times 2}$ mit $0\neq\lambda\in\C$. Zeige, dass für alle $k\in\N$ die Matrix $A^k$ die Jordansche Normalform $\left(\begin{matrix}\lambda^k&1\\ 0&\lambda^k\end{matrix}\right)$ hat.

Wir betrachten den Ring $R=\Q[X]/(X^{10}-1)$.

1. Bestimmen Sie ein kartesisches Produkt von Körpern, das zu $R$ isomorph ist.

   Hinweis: Der chinesische Restsatz kann hilfreich sein.

2. Wie viele Ideale besitzt $R$?

1. Zeigen Sie: $f$ ist irreduzibel.
2. Geben Sie den Grad $[L:\Q]$ des Zerfällungskörpers $L$ von $f$ über $\Q$ an.
3. Geben Sie den Isomorphietyp der Galoisgruppe $\gal(L/\Q)$ an.
4. Geben Sie $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\in\Q$ an mit $$a^4-2a^3=\lambda_1\cdot 1+\lambda_2\cdot a+\lambda_3\cdot a^2.$$

1. Zeigen Sie, dass das Polynom $f(X)=X^4+X+1\in\F_2[X]$ irreduzibel ist. (2 Punkte)
2. Sei $\alpha $ eine Nullstelle des Polynomes $f(X)$ aus Teilaufgabe a) in einem algebraischen Abschluss $\overline \F_2$ von $\F_2$. Zeigen Sie, dass $\F_2(\alpha)=\F_{16}$ gilt, dass $\alpha\in\F_{16}^\times $ gilt, und dass $\alpha$ ein Erzeuger der multiplikativen Gruppe $\F_{16}^\times$ von $\F_{16}$ ist. (4 Punkte)

Die endliche Gruppe $G$ operiere (von links) auf der endlichen Menge $X$. Für jedes $\sigma \in G$ bezeichne $i(\sigma):=\lvert\{x\in X\vert \sigma x=x\}\rvert $ die Anzahl der Fixpunkte von $\sigma$.

Zeigen Sie, dass sich die Anzahl der Bahnen der Operation zu $$\lvert G\setminus X\rvert =\frac{1}{\lvert G\rvert }\sum_{\sigma\in G}i(\sigma)$$ berechnet.

Hinweis: Bestimmen Sie die Kardinalität der Teilmenge $$Z:=\{(\sigma,x)\in G\times X\vert \sigma x=x\}\subset G\times X$$ auf zwei verschiedene Arten. (6 Punkte)

1. Zeigen Sie, dass die alternierende Gruppe $A_4$ keine Untergruppe der Ordnung $6$ besitzt. (2 Punkte)
2. Sei $K$ ein Körper, der eine Galoissche Erweiterung mit Galoisgruppe $A_4$ besitzt. Zeigen Sie, dass eine endliche Körpererweiterung $K\subseteq F$ mit $[F_K]=4$ existiert, so dass $F=K(\alpha)$ für alle $\alpha\in F\setminus K$ gilt. (4 Punkte)

Sei $K$ ein endlicher Körper. Sei $a\in K$. Zeigen Sie, dass es Elemente $x,y\in K$ gibt, so dass $x^2+y^2=a$ gilt.
(Tipp: Wie viele Quadrate gibt es in $K$?)

Sei $S_5$ die Permutationsgruppe von $5$ Ziffern. Wie viele Elemente in $S_5$ haben die Ordnung $4$? Wie viele Untergruppen von $S_5$ haben $4$ Elemente?

Sei $r\geq 1$. Die komplexen Zahlen $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_r$ seien alle algebraisch von Grad $2$ über $\Q$. Setze $K=\Q(\alpha_1,\ldots,\alpha_r)$. Zeigen Sie, dass $K$ eine Galoiserweiterung von $\Q$ ist. Sei $G=\gal(K/\Q)$ und $C_2$ eine Gruppe der Ordnung $2$. Geben Sie einen natürlichen injektiven Gruppenhomomorphismus $G\rightarrow C_2^r$ an.

1. Zeigen Sie, dass $f$ genau zwei reelle Nullstellen $x_1,x_2$ hat.
2. Zeigen Sie, dass $f$ irreduzibel über $\Q$ ist.
3. Sei $g=X^3+4X-1$, und $a\in\C$ komplex. Zeigen Sie, dass es genau dann komplexe Zahlen $b,c,d\in\C$ gibt mit $f=(X^2+aX+b)(X^2+cX+d)$, wenn $g(a^2)=0$.
4. Zeigen Sie, dass $g$ irreduzibel über $\Q$ ist.
5. Sei $g(a^2)=0$ für $a\in\R$ reell. Zeigen Sie, dass $a\in\Q[x_1,x_2]$.
6. Zeigen Sie, dass $x_1$ oder $x_2$ nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

1. Eine Permutation $\sigma$ sei das Produkt zweier disjunkter Zykel der teilerfremden Längen $k$ und $l$. Welche Ordnung hat $\sigma$?
2. Sei $a(n)$ die größte Elementordnung in der symmetrischen Gruppe $S_n$. Man zeige $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a(n)}{n}=\infty$.

Sei $p$ eine Primzahl, $e,n\in\N$ und $G$ eine Untergruppe von $\gl(n,\F_p)$ mit $p^e$ Elementen. Zeigen Sie: Es gibt einen Spaltenvektor $0\neq v\in\F_p^n$ mit $\gamma\cdot v=v$ für alle $\gamma\in G$. (Hinweis: Betrachten Sie die Bahnlängen von $G$ auf $\F_p^n$.)

Es sei $p$ eine Primzahl. Man zeige, dass außer $3$ jeder Primteiler von $2^p+1$ größer als $p$ ist. (Hinweis: Betrachte die multiplikative Ordnung von $2$ modulo eines Primteilers von $2^p+1$.)