Suche

Herbst 2013


$ \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\coloneqq}{:=} \newcommand{\eqqcolon}{=:} \newcommand{\legendre}[2]{\left(\frac{#1}{#2}\right)} \newcommand{\zmatrix}[4]{\left(\begin{matrix}#1&#2\\ #3&#4\end{matrix}\right)} \DeclareMathOperator{\gal}{Gal} \DeclareMathOperator{\mat}{Mat} \DeclareMathOperator{\ggt}{ggT} \DeclareMathOperator{\kgv}{kgV} \DeclareMathOperator{\id}{Id} \DeclareMathOperator{\modu}{mod} \DeclareMathOperator{\aut}{Aut} \DeclareMathOperator{\sym}{S} \DeclareMathOperator{\asym}{A} \DeclareMathOperator{\gl}{GL} \DeclareMathOperator{\discr}{disc} \DeclareMathOperator{\zerf}{Zerf} \DeclareMathOperator{\er}{ER} \DeclareMathOperator{\cha}{char} \DeclareMathOperator{\ord}{ord} \DeclareMathOperator{\syl}{Syl} \DeclareMathOperator{\slg}{SL} $

Aufgabe 1

Welche der folgenden Aussagen sind richtig bzw. falsch? Geben Sie jeweils eine kurze Begründung an:
  1. Die symmetrische Gruppe $S_3$ und die additive Gruppe $\Z/6\Z$ sind isomorph.
  2. Die Primzerlegung von $10$ in $\Z[i]$ lautet $$10 = (1+i)(1-i)(2+i)(2-i).$$
  3. Es ist $\Q(\sqrt{11},i)$ ein Zerfällungskörper des Polynoms $X^4-11\in\Q[X]$.
  4. In $\R[X]$ ist $(X)$ ein Primideal.
(12 Punkte)

Aufgabe 2

Es sei $G$ eine Gruppe der Ordnung $750=2\cdot 3\cdot 5^3$. Mit $\mathrm{Syl}_5$ bezeichnen wir die Menge der $5$-Sylowgruppen von $G$ und mit $n_5$ bezeichnen wir die Mächtigkeit von $\mathrm{Syl}_5$.

  1. Begründen Sie, dass $n_5\in\{1,6\}$ gilt.
  2. Begründen Sie, dass $G$ im Fall $n_5=1$ nicht einfach ist.
  3. Begründen Sie, dass $$\cdot\colon G\times \mathrm{Syl}_5\rightarrow \mathrm{Syl}_5,\quad (g,P)\mapsto gPg^{-1}$$ eine transitive Operation von $G$ auf $\mathrm{Syl}_5$ ist.
  4. Begründen Sie, dass $G$ im Fall $n_5=6$ nicht einfach ist.

    Hinweis: Betrachten Sie den Kern des Homomorphismus $\lambda\colon G\rightarrow S_6$, der durch die Operation aus c) gegeben ist.

(14 Punkte)

Tipps

Sylowsätze.

Aufgabe 3

Sei $A=\left(\begin{matrix} \lambda & 1\\ 0&\lambda\end{matrix}\right) \in\C^{2\times 2}$ mit $0\neq\lambda\in\C$. Zeige, dass für alle $k\in\N$ die Matrix $A^k$ die Jordansche Normalform $\left(\begin{matrix}\lambda^k&1\\ 0&\lambda^k\end{matrix}\right)$ hat.

(6 Punkte)

Tipps

Die Aufspaltung $A=\lambda\cdot E + N$ für die Einheitsmatrix $E$ und $N$ mit $N^2=0$ kann hier hilfreich sein. Zeige, dass das charakteristische Polynom von $A^k$ gerade $(X-\lambda^k)^2$ und gleich dem Minimalpolynom ist.

Aufgabe 4

Wir betrachten den Ring $R=\Q[X]/(X^{10}-1)$.

  1. Bestimmen Sie ein kartesisches Produkt von Körpern, das zu $R$ isomorph ist.

    Hinweis: Der chinesische Restsatz kann hilfreich sein.

  2. Wie viele Ideale besitzt $R$?
(12 Punkte)

Tipps

Zu a).Zerlege $X^{10}-1$ in irreduzible Faktoren (Kreisteilungspolynome!) und verwende den chinesischen Restsatz.

Aufgabe 5

Es sei $f=X^3+X-1\in\Q[X]$; weiter sei $a\in\C$ eine Wurzel von $f$.
  1. Zeigen Sie: $f$ ist irreduzibel.
  2. Geben Sie den Grad $[L:\Q]$ des Zerfällungskörpers $L$ von $f$ über $\Q$ an.
  3. Geben Sie den Isomorphietyp der Galoisgruppe $\gal(L/\Q)$ an.
  4. Geben Sie $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\in\Q$ an mit $$a^4-2a^3=\lambda_1\cdot 1+\lambda_2\cdot a+\lambda_3\cdot a^2.$$
(16 Punkte)

Aufgabe 1

  1. Zeigen Sie, dass das Polynom $f(X)=X^4+X+1\in\F_2[X]$ irreduzibel ist. (2 Punkte)
  2. Sei $\alpha $ eine Nullstelle des Polynomes $f(X)$ aus Teilaufgabe a) in einem algebraischen Abschluss $\overline \F_2$ von $\F_2$. Zeigen Sie, dass $\F_2(\alpha)=\F_{16}$ gilt, dass $\alpha\in\F_{16}^\times $ gilt, und dass $\alpha$ ein Erzeuger der multiplikativen Gruppe $\F_{16}^\times$ von $\F_{16}$ ist. (4 Punkte)

Tipps
  • Zu a). Was sind die irreduziblen Polynome in $\F_2[X]$ von Grad $\leq 2$?
  • Zu b). Welche Ordnungen kann $\alpha\in\F_{16}^\times$ überhaupt haben? Welche Fälle sind also nur auszuschließen?

Aufgabe 2

Die endliche Gruppe $G$ operiere (von links) auf der endlichen Menge $X$. Für jedes $\sigma \in G$ bezeichne $i(\sigma):=\lvert\{x\in X\vert \sigma x=x\}\rvert $ die Anzahl der Fixpunkte von $\sigma$.

Zeigen Sie, dass sich die Anzahl der Bahnen der Operation zu $$\lvert G\setminus X\rvert =\frac{1}{\lvert G\rvert }\sum_{\sigma\in G}i(\sigma)$$ berechnet.

Hinweis: Bestimmen Sie die Kardinalität der Teilmenge $$Z:=\{(\sigma,x)\in G\times X\vert \sigma x=x\}\subset G\times X$$ auf zwei verschiedene Arten. (6 Punkte)

Tipps

Die beiden Arten, $\lvert Z\rvert$ zu bestimmen, sind:

  • ``Für jedes $\sigma\in G$, zähle die passenden $x\in X$ (so dass $(\sigma,x)\in Z$)''
  • ``Für jedes $x\in X$, zähle die passenden $\sigma\in G$ (so dass $(\sigma,x)\in Z$)''

Aufgabe 3

  1. Zeigen Sie, dass die alternierende Gruppe $A_4$ keine Untergruppe der Ordnung $6$ besitzt. (2 Punkte)
  2. Sei $K$ ein Körper, der eine Galoissche Erweiterung mit Galoisgruppe $A_4$ besitzt. Zeigen Sie, dass eine endliche Körpererweiterung $K\subseteq F$ mit $[F_K]=4$ existiert, so dass $F=K(\alpha)$ für alle $\alpha\in F\setminus K$ gilt. (4 Punkte)

Tipps
  • Zu a). Überlege Dir, dass eine Untergruppe der Ordnung $6$ einen $3$-Zykel und ein Element der Ordnung $2$ enthalten müsste. Von welcher Form sind alle Elemente der Ordnung $2$ in $A_4$? In wiefern liefert dies einen Widerspruch?
  • Zu b). Verwende Teil a) und den Hauptsatz der Galoistheorie (achte darauf, dass die Bijektion aus dem Hauptsatz Inklusionsumkehrend ist!)

Aufgabe 4

Sei $K$ ein endlicher Körper. Sei $a\in K$. Zeigen Sie, dass es Elemente $x,y\in K$ gibt, so dass $x^2+y^2=a$ gilt.
(Tipp: Wie viele Quadrate gibt es in $K$?)

(6 Punkte)

Tipps

Zusammen mit dem Tipp aus der Aufgabe selbst: Betrachte die Menge $\{a-x^2\vert x\in K\}$ für ein gegebenes $a\in K$. Wieviele Elemente hat diese Menge also?

Aufgabe 5

Sei $S_5$ die Permutationsgruppe von $5$ Ziffern. Wie viele Elemente in $S_5$ haben die Ordnung $4$? Wie viele Untergruppen von $S_5$ haben $4$ Elemente?

(6 Punkte)

Tipps

Um alle Elemente der Ordnung $4$ zu finden kann z.B. verwendet werden, dass sich ja jedes Element in $S_5$ als Produkt disjunkter Zykel schreiben lässt.

Zu den Untergruppen mit vier Elementen: Betrachte die von (der Wirkung von) $S_5$ induzierte Wirkung einer solchen Untergruppe auf der Menge $\{1,2,3,4,5\}$ von $5$ Ziffern (genauer deren Bahnen), und folgere, dass eine solche Wirkung (mindestens) einen Fixpunkt besitzen muss und sich damit als Untergruppe einer geeigneten $S_4\subset S_5$ auffassen lässt. Dann genügt es also, alle Untergruppen von $S_4$ mit $4$ Elementen zu finden. Hier hilft wieder die Beschreibung durch disjunkte Zykel weiter...

Aufgabe 1

Sei $r\geq 1$. Die komplexen Zahlen $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_r$ seien alle algebraisch von Grad $2$ über $\Q$. Setze $K=\Q(\alpha_1,\ldots,\alpha_r)$. Zeigen Sie, dass $K$ eine Galoiserweiterung von $\Q$ ist. Sei $G=\gal(K/\Q)$ und $C_2$ eine Gruppe der Ordnung $2$. Geben Sie einen natürlichen injektiven Gruppenhomomorphismus $G\rightarrow C_2^r$ an.

(6 Punkte)

Tipps

Um zu zeigen, dass die Erweiterung normal ist, bedenke, dass $K$ über $\Q$ genau dann normal ist, wenn $K$ Zerfällungskörper einer geeigneten Familie von Polynomen ist. Nutze dann eine geeignete Definition der Normalität für $\Q\subset\Q(\alpha_i)$, um für alle $i$ einen Restriktionsmorphismus $\gal(K\vert\Q)\rightarrow \gal(\Q(\alpha_i)\vert\Q)\simeq\Z_2$ anzugeben. Kombiniere diese zu einem Morphismus der gesuchten Form.

Aufgabe 2

Sei $f=X^4-X-1\in\Q[X]$.
  1. eigen Sie, dass $f$ genau zwei reelle Nullstellen $x_1,x_2$ hat.
  2. Zeigen Sie, dass $f$ irreduzibel über $\Q$ ist.
  3. Sei $g=X^3+4X-1$, und $a\in\C$ komplex. Zeigen Sie, dass es genau dann komplexe Zahlen $b,c,d\in\C$ gibt mit $f=(X^2+aX+b)(X^2+cX+d)$, wenn $g(a^2)=0$.
  4. Zeigen Sie, dass $g$ irreduzibel über $\Q$ ist.
  5. Sei $g(a^2)=0$ für $a\in\R$ reell. Zeigen Sie, dass $a\in\Q[x_1,x_2]$.
  6. Zeigen Sie, dass $x_1$ oder $x_2$ nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.
(6 Punkte)

Tipps

Zu e). Bezeichne die Nullstelle von $f$ mit $x_1,x_2,x_3,x_4$ wie hängen die Koeffizienten von $f$ (und damit die von $g$) von diesen $x_i$ ab?

Aufgabe 3

  1. Eine Permutation $\sigma$ sei das Produkt zweier disjunkter Zykel der teilerfremden Längen $k$ und $l$. Welche Ordnung hat $\sigma$?
  2. Sei $a(n)$ die größte Elementordnung in der symmetrischen Gruppe $S_n$. Man zeige $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a(n)}{n}=\infty$.
(6 Punkte)

Tipps

Schätze $a(n)$ nach unten durch die Ordnung einer passend konstruierten Permutation ab.

Aufgabe 4

Sei $p$ eine Primzahl, $e,n\in\N$ und $G$ eine Untergruppe von $\gl(n,\F_p)$ mit $p^e$ Elementen. Zeigen Sie: Es gibt einen Spaltenvektor $0\neq v\in\F_p^n$ mit $\gamma\cdot v=v$ für alle $\gamma\in G$. (Hinweis: Betrachten Sie die Bahnlängen von $G$ auf $\F_p^n$.)

(6 Punkte)

Aufgabe 5

Es sei $p$ eine Primzahl. Man zeige, dass außer $3$ jeder Primteiler von $2^p+1$ größer als $p$ ist. (Hinweis: Betrachte die multiplikative Ordnung von $2$ modulo eines Primteilers von $2^p+1$.)

(6 Punkte)