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Herbst 2012


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Aufgabe 1

Sei $p$ eine Primzahl und $q=p^l$ für ein $l>0$ ($l\in\N$). Sei $\F_q$ der endliche Körper mit $q$ Elementen.

  1. Zeigen Sie, dass die Gruppe $G=\slg_2(\F_q)$ der $2\times 2$-Matrizen mit Einträgen in $\F_q$ und Determinante $1$ die Ordnung $q(q^2-1)$ hat.

Wir betrachten nun die Untergruppen $$B=\left\{\zmatrix{a}{b}{0}{a^{-1}}\in\slg_2(\F_q)\middle\vert a\in\F_q^\times,b\in\F_q\right\}$$ und $$N^-=\left\{\zmatrix 1 0 a 1\in\slg_2(\F_q)\middle\vert a\in\F_q\right\}$$ von $G$.

(3 Punkte)
  1. Sei $\Omega=G/B$ die Menge der Linksnebenklassen von $G$ bzgl. $B$. Bestimmen Sie die Ordnungen von $N^-$ und $B$ und die Anzahl $\lvert\Omega\rvert$ der Elemente aus $\Omega$.
  2. (1 Punkte)
  3. Die Gruppe $N^-$ operiert auf $\Omega$ durch Multiplikation von links. Zeigen Sie, dass diese Operation einen Fixpunkt besitzt.
  4. (2 Punkte)

Tipps
  • Zu a).Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Spalten (oder äquivalent: Zeilen) linear unabhängig sind. wieviele Möglichkeiten gibt es, zwei linear unabängige Vektoren in $\F_q^2$ zu wählen? Wie ist die spezielle lineare Gruppe definiert?
  • Zu c).Verwende die Bahnengleichung.

Aufgabe 2

Gibt es ein $x\in\Z$ so, dass die Gleichung $$x^{101}-(x+1)^{101}+x^2-47\equiv 0\mod 101$$ erfüllt ist?

(3 Punkte)

Tipps

Kleiner Satz von Fermat und Legendre-Symbol.

Aufgabe 3

  1. Bestimmen Sie den Zerfällungskörper $L\subset\C$ von $$P(X)\coloneqq (X^3-2)(X^2-5)\in\Q[X].$$
  2. (2 Punkte)
  3. Zerlegen Sie $P(X)$ über $L$ in Linearfaktoren und bestimmen Sie $[L:\Q]$.
  4. (3 Punkte)
  5. Bestimmen Sie ein primitives Element von $L$.
  6. (3 Punkte)
  7. Bestimmen Sie die Galoisgruppe $\gal(L\vert\Q)$.
  8. (3 Punkte)

Tipps

Zu c).>Löse zuerst d) und gib dort eine explizite Beschreibung der Automorphismen aus $\gal(L\vert\Q)$ an. Für c) finde dann einen Kandidaten $\alpha$ für das primitive Element (vgl. dazu Aufgabe 7 vom Übungsblatt Körper) und zeige $\sigma(\alpha)\neq\alpha$ für alle $\sigma\in\gal(L\vert\Q)$.

Aufgabe 4

Sei $R=\Z\left[\frac{1+\sqrt{-7}}{2}\right]\subset\C$ gegeben. Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass $R$ bezüglich der Normfunktion $$N\colon R\rightarrow\N,\quad z\mapsto z\overline z,$$ ein Euklidischer Ring ist.

  1. Bestimmen Sie alle Einheiten von $R$.
  2. (2 Punkte)
  3. Zerlegen Sie $3,5$ und $7$ in Primfaktoren in $R$.
  4. (3 Punkte)

Tipps
  • Zu a).Zeige, dass die Norm multiplikativ ist.
  • Zu b).Verwende wieder die Multiplikativität der Norm - welche Normen müssten mögliche irreduzible/prim- Faktoren besitzen?

Aufgabe 5

  1. Die Anzahl der Tänzer in einem Ballsaal liegt zwischen $100$ und $200$. Stellt man sie in $11$-er Reihen auf, so bleibt ein Tänzer allein. Stellt man die dagegen in $5$-er Reigen auf, so bleiben drei übrig. Und stellt man sie in $3$-er Reigen auf, so bleiben zwei Tänzer allein. Wieviele Tänzer sind es genau?
  2. (3 Punkte)
  3. Geben sie explizit einen Ring-Isomorphismus $$\varphi\colon \Z/57\Z\rightarrow \Z/3\Z\times \Z/19\Z$$ und seine Umkehrung $\varphi^{-1}$ an.
  4. (2 Punkte)

Aufgabe 1

Seien $m,n\in\N$.

  1. Zeige, dass $\gl_n(\Q)\times\gl_m(\Q)$ vermöge $$\begin{aligned} \varphi\colon (\gl_n(\Q)\times\gl_m(\Q))\times\mat_{n,m}(\Q)&\rightarrow\mat _{n,m}(\Q)\\ ((S,T),A)&\mapsto SAT^{-1} \end{aligned}$$ auf $\mat _{n,m}(\Q)$ wirkt, aber nicht effektiv.
  2. Zeige, dass diese Operation genau $r$ Bahnen besitzt, dabei ist $r\coloneqq \min(n,m)$.
(6 Punkte)

Tipps

Zu b).Überlege, Dir, dass sich zu jedem Endomorphismus $\Q^m\rightarrow\Q^n$ eine sehr einfache Darstellende Matrix finden lässt, wenn wir in Quell- und Zeilraum unabhängig voneinander Basis-wechseln dürfen.

Aufgabe 2

Sei $n\in\N_0$ eine natürliche Zahl. Zeigen Sie, dass das Polynom $f(X)=\sum_{k=0}^n\frac{X^k}{k!}$ keine mehrfachen Nullstellen in den komplexen Zahlen besitzt.

(6 Punkte)

Tipps

Bekanntlich ist $f$ genau dann separabel, wenn $\ggt(f,f')=1$ ist.

Aufgabe 3

Sei $p$ eine Primzahl und $\zeta$ eine primitive $p$-te Einheitswurzel in $\C$. Sei $R=\Z[\zeta]$ der von $\zeta$ erzeugte Unterring von $\C$. Sei $a\in\Z$ eine ganze Zahl. Zeigen Sie, dass $$\Z/\left(\sum_{l=0}^{p-1}a^l\right)\rightarrow R/(a-\zeta),\quad n+\left(\sum_{l=0}^{p-1}a^l\right)\mapsto n+(a-\zeta)$$ ein wohldefinierter Ringisomorphismus ist und folgern Sie daraus, dass $2-\zeta$ genau dann ein Primelement in $R$ ist, wwenn $2^p-1$ eine Primzahl ist.

(6 Punkte)

Tipps

Tipp zur Folgerung: Überlege Dir, dass gilt $2^p-1=\sum_{l=0}^{p-1}2^l$.

Aufgabe 4

Sei $p$ eine Primzahl. Sei $K$ ein Körper der Charakteristik $0$.

  1. Sei $E$ eine (endliche) Galoissche Körpererweiterung von $K$. Zeigen Sie, dass $E/K$ einen Zwischenkörper $F/K$ besitzt, so dass der Grad $[E:F]$ eine $p$-Potenz ist und der Grad $[F:K]$ nicht von $p$ geteilt wird. (Die Zahl $1$ ist eine $p$-Potenz für jede Primzahl $p$.
  2. Besitze $K$ die Eigenschaft, dass der Grad $[L:K]$ jeder nicht trivialen endlichen Körpererweiterung $L/K$ von $p$ geteilt wird. Zeigen Sie, dsas dann der Grad einer jeden endlichen Körpererweiterung über $K$ eine $p$-Potenz ist.
(6 Punkte)

Tipps

Zu a). Sylowsätze und Hauptsatz der Galoistheorie.
Zu b). Erinnere Dich an das Konzept des normalen Abschlusses (einer algebraischen Erweiterung).

Aufgabe 5

Sei $p$ eine Primzahl. Für jede nicht verschwindende ganz Zahl $a$ sei $\nu_p(a)$ der Exponent von $p$ in der Primfaktorzerlegung von $a$ (also insbesondere genau dann $0$, wenn $p$ kein Teiler von $a$ ist). Ist $b$ eine weitere nicht verschwindende ganze Zahl, so definieren wir $\nu_p\left(\frac{a}{b}\right)\coloneqq \nu_p(a)-\nu_p(b)$.
  1. Sei $\frac{a}{b}$ ein vollständig gekürzter Bruch mit $a\neq 0$. Zeigen Sie, dass sich der Winkel $\frac{2\pi}{b}$ aus dem Winkel $\frac{2\pi a}{b}$ nur mit Zirkel und Lineal konstruieren lässt.
  2. Sei $r\in\Q^\times$ eine nicht verschwindende rationale Zahl. Zeigen Sie, dass sich der Winkel $2\pi r$ genau dann mit Zirkel und Lineal dritteln lässt, wenn $\nu_3(r)\geq 0$ gilt.
(6 Punkte)

Tipps

Zu b), Überlege Dir, dass die Konstruktion von Winkeln mit Zirkel und Lineal aus naheliegenden Gründen stets modulo $2\pi \Z$ erfolgt.

Aufgabe 1

Geben Sie drei nicht-isomorphe Gruppen der Ordnung $2012$ konkret an und beweisen Sie, dass diese nicht isomorph sind!

(5 Punkte)

Aufgabe 2

Zeigen Sie, dass für jedes $n\in\N$ der Zentralisator des $n$-Zyklus $(1,2,3,\ldots,n)$ in der symmetrischen Gruppe $S_n$ die zyklische Gruppe $\langle(1,2,3,\ldots,n)\rangle$ ist.

(6 Punkte)

Aufgabe 3

Es sei $P(X)=X^4-2\in\Q[X]$. Es sei $K$ der Zerfällungskörper des Polynoms $P(X)$ in $\C$ über $\Q$. Ferner sei $\alpha\in K$ eine Nullstelle von $P(X)$.

  1. Zeigen Sie, dass $[K:\Q]=8$ gilt, und dass es eine Nullstelle $\beta\neq\pm\alpha$ von $P(X)$ in $K$ gibt, so dass $R\coloneqq\{\pm\alpha,\pm\beta\}$ die Menge aller Nullstellen von $P(X)$ ist.
  2. Es bezeichne $S_R$ die Gruppe der Permutationen von $R$. Sei $s\in S_R$ die Permutation $R\rightarrow R$, $x\mapsto -x$. Zeigen Sie, dass die Untergruppe $C\coloneqq\{\sigma\in S_R\colon \sigma\circ s=s\circ\sigma\}$ Ordnung $8$ hat.
  3. Es bezeichne $G\coloneqq\gal(K/\Q)$ die Galoisgruppe von $K$ über $\Q$. Zeigen Sie, dass der Gruppenhomomorphismus $$\rho\colon G\rightarrow S_R,\quad \sigma\mapsto (x\mapsto\sigma(x))$$ einen Gruppenisomorphismus zwichen $G$ und $C$ induziert.
  4. Ist $G$ auflösbar?
(8 Punkte)

Aufgabe 4

Wie viele Lösungen hat die Gleichung $X^2+46X+1\equiv 0\mod 2012$? ($503$ ist eine Primzahl.)

(6 Punkte)

Tipps

Verwende den chinesischen Restsatz.

Aufgabe 5

Zerlegen Sie das Polynom $X^5-7X^3+503X^2+12X-2012$ in $\Q[X]$ in irreduzible Faktoren!

(5 Punkte)

Tipps

Erinnere Dich an Aufgabe 3 vom Übungsblatt 'Polynome' .