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Herbst 2011


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Aufgabe 1

Sei $p$ eine Primzahl und $S_p$ die symmetrische Gruppe vom Grad $p$.

  1. Bestimmen Sie die Anzahl der Elemente der Ordnung $p$ in $S_p$.
  2. Zeigen Sie: Die Anzahl der $p$-Sylowuntergruppen von $S_p$ beträgt $(p-2)!$
  3. Folgern Sie aus a) die Kongruenz $(p-1)!\equiv -1(\mathrm{mod}~p)$.

Tipps
  • Zu a).Elemente in $S_p$ lassen sich als Produkte disjunkter Zykel schreiben.
  • Zu c).Verwende b) (das ja aus a) folgt). Ein bestimmter Sylowsatz hilft ebenfalls...

Aufgabe 2

Sei $n\geq 1$ eine ganze Zahl und $p$ eine ungerade Primzahl. Betrachten Sie das Polynom $f=X^n+X+p\in\Q[X]$.

  1. Zeigen Sie: Ist $\alpha$ eine komplexe Nullstelle von $f$, so gilt $\lvert \alpha\rvert >1$.
  2. Zeigen Sie: $f$ ist irreduzibel über $\Q$. (Hinweis: Stellen Sie hierzu Überlegungen zu Nullstellen von potentiellen Faktoren an).

Tipps
  • Zu a).Nimm an, es gebe eine Nullstelle $\alpha$ mit $\lvert\alpha\rvert \leq 1$ und führe dies unter Verwendung der Dreiecksungleichung zu einem Widerspruch.
  • Zu b).Wie lässt sich der $0$-te Koeffizient eines Polynomes (hier eines hypothetischen Teilers) durch dessen Nullstellen ausdrücken? Inwiefern liefert die Annahme, es gebe einen nichttrivialen Teiler, so einen Widerspruch zu Teil a)?

Aufgabe 3

Sei $F$ ein unendlicher Körper und $f\in F[X_1,\ldots, X_n]$ ein Polynom in $n$ Variablen. Zeigen Sie: Ist $f(a_1,\ldots, a_n)=0$ für alle $a_1,\ldots, a_n\in F$, so ist $f$ das Nullpolynom. (Hinweis: Induktion).

Tipps

Für den Induktionsschritt erinnere Dich an Aufgabe 5 aus der Übung Ringe.

Aufgabe 4

Sei $F_n$ die Fibonaccifolge, die durch $$F_0=0,~F_1=1,~F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}\text{ für }n\geq 2$$ definiert ist.

  1. Zeigen Sie: $F_n\equiv 2n3^n\mod 5$
  2. Ist $F_{2011}+1$ durch $5$ teilbar? Begründen Sie Ihre Antwort!

Tipps
  • Zu a).Induktion über $n$.
  • Zu b).Verwende zum Rechnen modulo $5$ den kleinen Satz von Fermat.

Aufgabe 1

  1. Geben Sie eine vollständige und exakte Definition des größten gemeinsamen Teilers $\ggt(a,b)$ zweier ganzer Zahlen $a,b$ mit $(a,b)\neq (0,0)$ an.
  2. Beweisen Sie mit Hilfe Ihrer Definition die Formel $$\ggt\left(\frac{a}{\ggt(a,b)},\frac{b}{\ggt(a,b)}\right) =1.$$

Aufgabe 2

Sei $G$ eine endliche Gruppe und sein $n\geq 1$ mit $\mathrm{ggT}(n,\mathrm{ord}(G))=1$. Zeigen Sie, dass es zu jedem Elemente $a\in G$ ein eindeutig bestimmtes Element $b\in G$ gibt mit $b^n=a$.

Tipps

Zeige, dass die Abbildung $G\rightarrow G,\quad g\mapsto g^n$ bijektiv ist. Die verwendung des erweiterten euklidischen Algorithmus kann hierbei helfen.

Aufgabe 3

Sei $K$ ein endlicher Körper mit $q$ Elementen und sei $f\colon K\rightarrow K$ eine Abbildung. Zeigen Sie, dass es ein Polynom $p\in K[X]$ gibt mit $p(a)=f(a)$ für alle $a\in K$, und beweisen Sie, dass das Polynom $p$ eindeutig bestimmt ist, wenn man zusätzlich $\deg(p)\lt q$ fordert.

Tipps

Erinnere Dich an die sogenannte Vandermonde-Matrix - wieso hat man diese eigentlich betrachtet? Was weißt Du über deren Determinante?

Aufgabe 4

Sei $\alpha\in\C$ eine Nullstelle des Polynomes $f=X^3-3X+1\in\Q[X]$. Zeigen Sie:

  1. Das Polynom $f$ ist irreduzibel über $\Q$.
  2. Zeigen Sie, dass auch $\alpha^2-2$ eine Nullstelle von $f$ ist. Folgern Sie, dass $\Q(\alpha)$ der Zerfällungskörper von $f$ über $\Q$ ist und dass die Galoisgruppe von $f$ über $\Q$ isomorph zu $\Z/3\Z$ ist.
  3. Es gilt $\Q(\alpha)\subseteq\R$.

Tipps

Zu c).Zeige: Wäre $\alpha\in\C\setminus\R$, so würde die komplexe Konjugation ein Element der Ordnung $2$ in der Galoisgruppe induzieren, im Widerspruch zur Ordnung $3$ der Galoisgruppe.

Aufgabe 1

Sei $n\geq 5$. Man bestimme alle Normalteiler der symmetrischen Gruppe $S_n$. Dabei darf (und sollte) ohne Beweis benutzt werden, dass für $n\geq 5$ die alternierende Gruppe $A_n$ einfach ist.

Tipps

Für einen angenommenen Normalteiler $N\subset S_n$ betrachte $N\cap A_n$.

Aufgabe 2

Für $k\in\N$ sei $b_k(X)=\binom{X}{k}=\frac{X(X-1)\cdots (X-k+1)}{k!}\in\Q[X]$. Ferner setze $b_0(X)=1$. Man zeige:

  1. $b_k(m)\in\Z$ für alle $m\in\Z$.
  2. Die Polynome $b_k(X)$, $k\in\N_0$, bilden eine Basis des $\Q$-Vektorraumes $\Q[X]$.
  3. Das Polynom $f(X)\in\Q[X]$ nehme an allen ganzzahligen Stellen ganzzahlige Werte an. Man zeige, dass $f(X)$ eine ganzzahlige Linearkombination der Polynome $b_k(X)$, $k\in\N_0$, ist.

Tipps
  • Zu b).Lässt sich schnell mit einer Induktion lösen.
  • Zu c). Vermutlich lässt sich das einfacher lösen, aber hier eine mögliche Variante:
    • nach b) gibt es für alle Polynome $P$ (insbesondere die ganzzahligen hier) eine Darstellung als $P=\sum_ia_ib_i(X)$ mit $a_i$ in $\Q$. Versuche, eine Formel (die Ganzzahligkeit von $P$ ist hier noch gar nicht wichtig) für die $a_i$ zu finden, die von den Funktionswerten $f(n)$, $n=0,1,2,\ldots$, abhängt.
    • Versuche hierzu vielleicht ersteinmal niedrige Werte bis $\deg(P)=3$, oder $\deg(P)=4$, aus, um auf eine Idee zu kommen.
    • Wieso würde die von euch gefundene Formel - wenn sie denn einmal bewiesen wäre - die Aufgabe lösen?
    • Beweise Deine Formel für die Koeffizienten dann durch Induktion.
  • Genauer zu c) - Deine Formel könnte etwa so aussehen: $$a_i = \sum_{k=0}^i(-1)^{i-k}\binom i k\cdot f(k)$$

Aufgabe 3

Die Folge $a _ 0,a _ 1,a _2,\ldots$ positiver reeller Zahlen sei durch $a _ 0= 2 $, $a _ {n+1}=\sqrt{a _ n}$ ($n\geq 0$) definiert. Man zeige $[\Q(a _ n):\Q]=2^ n$ für alle $n\ in\ N_0$.

Tipps

Finde ein Minimalpolynom für alle $n$ (benutze Induktion).

Aufgabe 4

Beweisen Sie, dass es vier aufeinanderfolgende natürliche Zahlen $n,n+1,n+2,n+3$ ($n\geq 1$) gibt, die jeweils durch eine Quadratzahl $\gt 1$ teilbar sind.

Tipps

Verwende den chinesischen Restsatz.

Aufgabe 5

Untersuchen Sie die folgenden Polynome auf Irreduzibilität. Hierbei ist $\F_2$ der endliche Körper mit $2$ Elementen.

  1. $X^5+X^2+1$ in $\F_2[X]$
  2. $X^5+X^2Y^3+X^3+Y^3+X^2+1$ in $\Q[X,Y]$