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Herbst 2010


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Aufgabe 1

Sei $S_3$ die symmetrische Gruppe und $G$ eine Gruppe mit einer normalen Untergruppe $N$ der Ordnung $5$, so dass $G/N\simeq S_3$ ist. Zeigen Sie:
  1. $\lvert G\rvert =30$.
  2. $G$ hat eine normale Untergruppe der Ordnung $30$.
  3. $G$ besitzt mindestens drei Untergruppen der Ordnung $10$, die nicht normal sind. (6 Punkte)

Tipps
  • Zu b) und c). Verwende den aus den Übungen bekannten Korrespondenzsatz.

Aufgabe 2

Sei $G$ eine Gruppe mit $\lvert G\rvert =595=5\cdot 7\cdot 17$ und $H\leq G$ eine Untergruppe mit $\lvert H\rvert =5$. Zeigen Sie:

  1. $H$ ist ein Normalteiler von $G$.
  2. $H$ liegt im Zentrum von $G$. (6 Punkte)

Tipps
  • Zu a) Sylowsätze.
  • Zu b). Betrachte die Gruppenwirkung von $G$ auf $H$ durch Konjugation, bzw. den zu dieser Wirkung gehörigen Gruppenmorphismus $G\rightarrow S_5$. Verwende dann den Homomorphiesatz, um zu zeigen, dass das Bild dieses Morphismus' nur aus der Identität besteht.

Aufgabe 3

Sei $\omega $ eine primitiv dritte Einheitswurzel über $\Q$. Der Ring $R=\Z[\omega]$ ist ein Euklidischer Ring mit Normabbildung $N\colon R\rightarrow \N_0$ definiert durch $$N(a+b\omega)=(a+b\omega)(a+b\omega^2)=a^2-ab+b^2,\quad a,b\in\Z.$$ Zeigen Sie:

  1. Ein Element $y\in R$ ist eine Einheit in $R~\Leftrightarrow~N(y)=1$.
  2. Sei $p\in\Z$ eine Primzahl. Dann ist $p=a^2-ab+b^2$ für geeignete $a,b\in\Z$ genau dann, wenn das Ideal $(p)\subset R$ kein Primideal ist.
  3. Sei $p\in\Z$ eine Primzahl und $\F_p=\Z/p\Z$ der endliche Körper mit $p$ Elementen. Das Ideal $(p)\subset R$ ist genau dann ein Primideal, wenn das Polynom $X^2+X+1\in\F_p[X]$ irreduzibel ist. (6 Punkte)

Tipps
  • Zu a). Zeige, dass die Norm multiplikativ ist.
  • Zu b). Beachte, dass Euklidische Ringe faktoriell sind, also 'prim $\Leftrightarrow$ irreduzibel' gilt.
  • Zu c). Versuche, einen Isomorphismus $R/(p)\overset{\sim}{\longrightarrow }\F_p[X]/(X^2+X+1)$ zu konstruieren (der Homomorphiesatz kann hier helfen - achte außerdem auf Wohldefiniertheit!).

Aufgabe 4

Sei $R$ ein Integritätsbereich und $ R[X] $ der Polynomring über $R$. Für $r \in R$ sei $\phi _ r \colon R[X] \rightarrow R$, $f \mapsto f(r)$ der Einsetzungshomomorphismus. Zeigen Sie:

  1. Ist $I \subsetneq \mathbb{C} [X]$ ein Ideal, so gibt es ein $r \in \mathbb{C}$, so dass $\phi _ r(I)=0$.
  2. Sei $ I $ das von $ 3 $ und $ X^2+1 $ erzeugte Ideal in $ \mathbb{Z} [X]$. Dann ist $I \subsetneq \mathbb{Z}[X]$ und $\phi _ r(I)= \mathbb{Z}$ für alle $r \in \mathbb{Z}$. (6 Punkte)

Tipps
Zu b). Überlege Dir, wieso es genügt, zu beobachten, dass die Gleichung $X^2=2 \quad \text{mod }3$ keine Lösung besitzt.

Aufgabe 5

Sei $k \subset K$ eine Körpererweiterung und $0 \neq \alpha \ni K$ mit $K=k[\alpha]$. Weiter sei eine Potenz $\alpha^e$ ($e$ eine positive ganze Zahl) von $\alpha$ in $k$ enthalten. Sei $n$ die minimale positive ganze Zahl, so dass $\alpha^n$ in $k$ ist. Zeigen Sie:

  1. Ist $\alpha^m\in k$ für ein $m>0$, so ist $m$ ein Vielfaches von $n$.
  2. Ist $K/k$ eine separable Erweiterung, so ist die Charakteristik von $k$ kein Teiler von $n$. (6 Punkte)

Tipps
  • Zu a). Division von $m$ durch $n$ mit Rest.
  • Zu b). Zeige äquivalent: Ist $\cha(k)$ ein Teiler von $n$, so ist $K/k$ nicht separabel (gib dazu ein über $k$ nicht separables Element aus $K$ an).

Aufgabe 1

Für welche natürlichen Zahlen $n\geq 2$ gilt $x^2=1$ für alle Elemente $x$ in der Einheitengruppe des Restklassenringes $\Z/n\Z$? (6 Punkte)

Tipps
Überlege, dass es dank des chinesischen Restsatzes genügt, für $n$ einzelne Primzahlpotenzen zu testen. Schließe Primzahlen $\gt 3$ durch ein Gegenbeispiel (das für alle solchen Primzahlen funktioniert) aus.

Aufgabe 2

Eine echte Untergruppe $U$ einer Gruppe $G$ heißt maximal, wenn $G$ die einzige Untergruppe von $G$ ist, die $U$ echt enthält.

Zeigen Sie für jede natürliche Zahl $n\geq 4$: Jede maximale Untergruppe der symmetrischen Gruppe $S_n$ hat eine Ordnung $\geq n$.
(Tipp: Man unterscheide die Fälle,in denen eine maximale Untergruppe von $S_n$ transitiv bzw. nicht transitiv operiert.) (6 Punkte)

Tipps

Für den Fall einer nicht transitiven Gruppenoperation: Zeige, dass eine solche Untergruppe $U$ von der Form $S_r\times S_{n-r}\subset S_n$ sein muss.

Aufgabe 3

Die Automorphismengruppe $\mathrm{Aut}(G)$ einer Gruppe $G$ sei zyklisch. Zeigen Sie, dass $G$ abelsch ist. (6 Punkte)

Tipps

Betrachte den kanonischen Morphismus von $G$ nach $\mathrm{Aut}(G)$, der einem $g\in G$ den Automorphismus $h\mapsto ghg^{-1}$ zuordnet und verwende den Homomorphiesatz.

Aufgabe 4

Für $1\leq m\in\N$ betrachte man das Polynom $f_m(X)=X^{2m}+X^m+1\in\Z[X]$. Zeigen Sie:

  1. Jede komplexe Nullstelle von $f_m$ ist eine Einheitswurzel.
  2. $f_m$ ist genau dann irreduzibel über $\Q$, wenn $m=3^k$ für ein $k\in\N_0$ gilt.

    (6 Punkte)

Tipps

Zu c). Mögliche Variante: Zeige für die betreffende Richtung, dass $f_m$ nicht irreduzibel ist, wenn $m$ nicht von der Form $3^k$ ist. Bedenke dazu an geeigneter Stelle, dass füf $\ggt(a,b)=1$ die Abbildung $(\bullet)^a\colon \C\rightarrow\C$ eine Bijektion auf der Menge der $b$-ten Einheitswurzeln induziert.

Aufgabe 5

Sei $A\in M_{n,n}(\Z)$ eine ganzzahlige $n\times n$-Matrix mit $A^p=E$ für eine Primzahl $p$ und $n\in\N$. Zeigen Sie, dass $\det(A-E)$ ganzzahlig und durch $p$ teilbar ist. ($E$ bezeichnet die Einheitsmatrix.) (6 Punkte)

Tipps

Überlege, dass das reduzieren der Matrixelemente modulo $p$ mit der Determinantenabbildung kommutiert. Begründe und verwende anschließend, dass für eine Matrix $A$ über $\F_p$ gilt $(A-E)^p=A^p-E^p$ ($E$ soll wieder die Einheitsmatrix bezeichnen).

Aufgabe 1

Eine Gruppe der Ordnung $91$ operiere auf einer Menge mit $71$ Elementen. Zeigen Sie: Die Operation hat einen Fixpunkt. (6 Punkte)

Tipps

Verwende die Bahnengleichung.

Aufgabe 2

  1. Zeigen Sie: Jede endlich erzeugte Untergruppe von $(\mathbb{Q},+)$ ist zyklisch.
  2. Geben Sie eine echte nichtzyklische Untergruppe von $(\mathbb{Q},+)$ an.

    (6 Punkte)

Tipps

Aufgabe 3

Ein Polynom $f\in\Z[X]$ heiße superprimitiv, falls es paarweise teilerfremde Koeffizienten hat. Beweisen oder widerlegen Sie: Das Produkt zweier superprimitiver Polynome ist wieder superprimitiv. (6 Punkte)

Aufgabe 4

Betrachten Sie die Körperweiterung $K=\Q(\sqrt 2,\sqrt 11)$ von $\Q$.

  1. Zeigen Sie, dass $K$ Galoissch über $\Q$ ist und bestimmen Sie die Galoisgruppe.
  2. Bestimmen Sie alle Teilkörper von $K$.
  3. Bestimmen Sie ein primitives Element von $K$ über $\Q$. (6 Punkte)

Tipps
  • Zu a).Zur Bestimmung der Galoisgruppe vgl. Aufgabe 4 vom Übungsblatt Galoistheorie I.
  • Zu b). Nach dem Hauptsatz der Galoistheorie sind die beiden offensichtlichen echten Zwischenerweiterungen auch die einzigen.
  • Zu c).Vergleiche Aufgabe 7 vom Übungsblatt Körpererweiterungen.

Aufgabe 5

Sei $P\coloneqq X^4+X+2\in\F_3[X]$ und $K=\F_3[X]/(P)$. Weiter sei $a$ das Bild von $X$ in $K$.

  1. Zeigen Sie, dass $K$ ein Körper mit $81$ Elementen ist.
  2. Bestimmen Sie explizit alle Teilkörper von $K$. Hierbei heiße "explizit'': Die Angabe einer $\F_3$-Basís, wobei die Basiselemente Polynome in $a$ vom Grad $\leq 3$ sind. [Hinweis: Betrachten Sie $a^{10}\in K$.] (6 Punkte)

Tipps

Zu b). Überlege Dir, dass für eine Erweiterung $K\subset L$ mit $[L:K]=2$ eine $K$-Basis von $L$ durch $\{1,z\}$ für ein beliebiges $z\in L\setminus K$ gegeben ist.