Sei $ L\vert\Q $ eine endliche Galoissche Körpererweiterung. Die Norm eines Elementes $ x\in L $ sei gegeben als \begin{equation*} N(x)\coloneqq \prod_{\sigma\in\gal(L\vert\Q)}\sigma(x) \end{equation*}
Zeigen Sie, dass es keine einfache Gruppe der Ordnung $ 300 $ gibt.
Hinweis: Nehmen Sie an, es gäbe so eine Gruppe, und lassen Sie diese auf ihren $ 5 $ -Sylowgruppen operieren.
Es seien $ p $ eine Primzahl und $ \overline\F_p $ ein algebraischer Abschluss des endlichen Körpers $ \F_p $ mit $ p $ Elementen. Für $ r\in\N $ bezeichne $ \F_{p^r}\subset\overline\F_p $ den Zwischenkörper mit $ p^r $ Elementen. Zeigen Sie:
Wie viele Elemente der Ordnung $ 11 $ gibt es in einern einfachen Gruppe der Ordnung $ 660 $ ?
(12 Punkte)Überlege Dir, das jedes Element der Ordnung $ 11 $ eine $ 11 $ -Sylowgruppe definiert. Wieviele verschiedene Elemente der Ordnung $ 11 $ enthält jede $ 11 $ -Sylowgruppe, wieviele davon gibt es und wie schneiden sie sich?
Sei $ K $ ein endlicher Körper mit seiner multiplikativen Gruppe $ (K^\ast,\cdot) $ und sei weiter $ H\coloneqq\{a^2\colon a\in K^\ast\} $ . Zeigen Sie:
Sei $ K/\Q $ eine Galoiserweiterung vom Grad $ 55 $ mit nicht abelscher Galoisgruppe.
Zeigen Sie: Es gibt genau einen echten Zwischenkörper $ L $ von $ K/\Q $ , so dass $ L/\Q $ eine Galoiserweiterung ist. Berechnen Sie $ [L:\Q] $ .
Hauptsatz der Galoistheorie. (Erinnere Dich außerdem, dass - und warum - gilt: Sind $ N,K\subset G $ Normalteiler einer endlichen Gruppe mit $ N\cap K=\{1\} $ , so ist $ N\cdot K\simeq N\times K $ .)
Sei $ K $ ein Körper der Charakteristik $ p>0 $ und \begin{equation*} G\coloneqq \slg_n(K)=\{A\in\mat(n\times n,K)\vert\det(A)=1\} \end{equation*} die Gruppe der invertierbaren $ n\times n $ -Matrizen mit Einträgen aus $ K $ und Determinante $ 1 $ . Wir betrachten die Abbildung \begin{equation*} \begin{aligned} F\colon\mat(n\times n,K)&\mapsto \mat(n\times n,K),\\ F((a_{ij}))&=(a_{ij}^p). \end{aligned} \end{equation*} Zeigen Sie, dass $ F(G)\subseteq G $ gilt und dass $ F\vert _G\colon G\rightarrow G $ ein Homomorphismus von Gruppen ist. Folgern Sie daraus, dass $ H=\{g\in G\vert F(g)=g\} $ eine Untergruppe von $ G $ ist, und bestimmen Sie diese Untergruppe.
(12 Punkte)Sei $ R=\Z[\sqrt{-3}] $ und $ S=\Z[i]=\Z[\sqrt{-1}] $ . Man zeige, dass es keinen Ringhomomorphismus $ \phi\colon R\rightarrow S $ gibt. (Bemerkung: Ringhomomorphismen $ R\rightarrow S $ bilden definitionsgemäß $ 1_R $ auf $ 1_S $ ab.)
(12 Punkte)Eine Möglichkeit: Nimm an, es gebe einen solchen Morphismus $ \phi $ , und untersuche die Eigenschaften von $ \phi(\sqrt{-3})\in\Z[i] $ .
Verwende z.B. den erweiterten Euklidischen Algorithmus für $ f $ und $ \mu_A $ .
Sei $ K $ ein endlicher Körper mit $ q $ Elementen. Man zeige, dass das Polynom $ X^2+X+1 $ genau dann irreduzibel über $ K $ ist, wenn $ q\equiv-1~(\mathrm{mod}~3) $ .
(12 Punkte)Bedenke, dass ein Polynom von Grad $ 2 $ über einem Körper $ K $ genau dann irreduzibel ist, wenn es keine Nullstelle in $ K $ besitzt. Untersuche nun getrennt die drei Fälle $ q\equiv -1,0,1\mod 3 $ .