Sei $ L\vert\Q $ eine endliche Galoissche Körpererweiterung. Die Norm eines Elementes $ x\in L $ sei gegeben als \begin{equation*} N(x)\coloneqq \prod_{\sigma\in\gal(L\vert\Q)}\sigma(x) \end{equation*}

1. Zeigen Sie, dass $ N(x)\in\Q $ für alle $ x\in L $ und $ N(xy)=N(x)N(y) $ für alle $ x,y\in L $ gilt.
2. Betrachten Sie den Spezialfall $ L=\Q[\sqrt{5}] $ . Zeigen Sie, dass $ N(r+\sqrt{5}s)=r^2-5s^2 $ für $ r,s\in\Q $ gilt.
3. Betrachten Sie in $ L $ den Teilring $ Z[\sqrt{5}]=\{r+s\sqrt{5}\vert r,s\in\Z\} $ . Zeigen Sie, dass für $ x\in\Z[\sqrt{5}] $ gilt, dass $ x $ genau dann eine Einheit in $ \Z[\sqrt{5}] $ ist, wenn $ N(x)\in\{1,-1\} $ gilt.
4. Zeigen Sie, dass $ 11 $ kein Primelement in $ \Z[\sqrt{5}] $ ist.

(12 Punkte)

Betrachten Sie die Körpererweiterung $ L\coloneqq \Q(\sqrt{2},\sqrt{2+\sqrt{3}})\subset \C $ über $ \Q $ . Sei $ x\coloneqq \sqrt{2+\sqrt{3}}\in L $ .

1. Zeigen Sie, dass $ x-\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{2} $ gilt.
2. Bestimmen Sie das Minimalpolynom von $ x $ über $ \Q $ .
3. Bestimmen Sie das Minimalpolynom von $ x $ über $ \Q(\sqrt{2}) $ .
4. Bestimmen Sie die Galoisgruppe $ \gal(L\vert\Q) $ .

(12 Punkte)

Zeigen Sie, dass es keine einfache Gruppe der Ordnung $ 300 $ gibt.
Hinweis: Nehmen Sie an, es gäbe so eine Gruppe, und lassen Sie diese auf ihren $ 5 $ -Sylowgruppen operieren.

(12 Punkte)

Sei $ N\in\N $ eine natürliche Zahl $ N\geq 3 $ .

1. Zeigen Sie: Falls $ 2^{N-1}\not\equiv 1\mod N $ , ist $ N $ keine Primzahl.
2. Zeigen Sie, dass die Umkehrung der Aussage nicht gilt, indem Sie das Beispiel $ N=341=11\cdot 31 $ betrachten.

(12 Punkte)

Es seien $ p $ eine Primzahl und $ \overline\F_p $ ein algebraischer Abschluss des endlichen Körpers $ \F_p $ mit $ p $ Elementen. Für $ r\in\N $ bezeichne $ \F_{p^r}\subset\overline\F_p $ den Zwischenkörper mit $ p^r $ Elementen. Zeigen Sie:

1. Ist $ n\in\N $ und $ A $ eine $ n\times n $ -Matrix mit Koeffizienten in $ \F_p $ , so dass das charakteristische Polynom von $ A $ irreduzibel über $ \F_p $ ist, so ist $ A $ über dem Körper $ \F_{p^n} $ diagonalisierbar.
2. Für $ p=5 $ ist die $ 3\times 3 $ -Matrix \begin{equation*} A=\left(\begin{matrix} -1&3&-1\\ 0&0&1\\ 1&0&0 \end{matrix}\right) \end{equation*} nicht über $ \F_{125} $ diagonalisierbar, aber über $ \F_{25} $ .

(12 Punkte)

Wie viele Elemente der Ordnung $ 11 $ gibt es in einern einfachen Gruppe der Ordnung $ 660 $ ?

(12 Punkte)

1. Sei $ G $ eine multiplikativ geschriebene endliche Gruppe der Ordnung $ n $ und sei $ g\in G $ . Weiter gelte $ g^{n/p}\neq 1 $ für jeden Primteiler $ p $ von $ n $ .
   Zeigen Sie: $ g $ erzeugt $ G $ .
2. Zeigen Sie: $ 4^{3^m}\equiv 1+3^{m+1}\mod 3^{m+2} $ für alle $ m\geq 0 $ .
3. Zeigen Sie, dass die Restklasse von $ 2 $ für jdedes $ e\geq 1 $ die Einheitengruppe des Ringes $ \Z/3^e\Z $ erzeugt.

(12 Punkte)

Sei $ K $ ein endlicher Körper mit seiner multiplikativen Gruppe $ (K^\ast,\cdot) $ und sei weiter $ H\coloneqq\{a^2\colon a\in K^\ast\} $ . Zeigen Sie:

1. $ H $ ist eine Untergruppe von $ (K^\ast,\cdot) $ ;
2. $ H=K^\ast $ , falls $ \cha(K)=2 $ ;
3. $ H $ hat Index $ 2 $ in $ K^\ast $ , falls $ \cha(K)>2 $ .

(12 Punkte)

Sei $ f=X^3+2X+2\in\Q[X] $ und sei $ \alpha\in\C $ eine Nullstelle von $ f $ .

1. Zeigen Sie: $ 1,\alpha,\alpha^2 $ ist eine Basis des $ \Q $ -Vektorraumes $ \Q(\alpha) $ .
2. Schreiben Sie $ (1+\alpha)^{-1} $ als Linearkombination mit rationalen Koeffizienten bezüglich dieser Basis.

(12 Punkte)

Sei $ K/\Q $ eine Galoiserweiterung vom Grad $ 55 $ mit nicht abelscher Galoisgruppe.
Zeigen Sie: Es gibt genau einen echten Zwischenkörper $ L $ von $ K/\Q $ , so dass $ L/\Q $ eine Galoiserweiterung ist. Berechnen Sie $ [L:\Q] $ .

(12 Punkte)

Sei $ K $ ein Körper der Charakteristik $ p>0 $ und \begin{equation*} G\coloneqq \slg_n(K)=\{A\in\mat(n\times n,K)\vert\det(A)=1\} \end{equation*} die Gruppe der invertierbaren $ n\times n $ -Matrizen mit Einträgen aus $ K $ und Determinante $ 1 $ . Wir betrachten die Abbildung \begin{equation*} \begin{aligned} F\colon\mat(n\times n,K)&\mapsto \mat(n\times n,K),\\ F((a_{ij}))&=(a_{ij}^p). \end{aligned} \end{equation*} Zeigen Sie, dass $ F(G)\subseteq G $ gilt und dass $ F\vert _G\colon G\rightarrow G $ ein Homomorphismus von Gruppen ist. Folgern Sie daraus, dass $ H=\{g\in G\vert F(g)=g\} $ eine Untergruppe von $ G $ ist, und bestimmen Sie diese Untergruppe.

(12 Punkte)

Man zeige:

1. Die symmetrische Gruppe $ S_5 $ hat genau sechs $ 5 $ -Sylowuntergruppen.
2. $ S_6 $ hat eine zu $ S_5 $ isomorphe und transitiv auf $ \{1,2,3,4,5,6\} $ operierende Untergruppe.
3. $ S_6 $ hat zwei zu $ S_5 $ isomorphe Untergruppen, die nicht zueinander konjugiert sind.

(12 Punkte)

Sei $ R=\Z[\sqrt{-3}] $ und $ S=\Z[i]=\Z[\sqrt{-1}] $ . Man zeige, dass es keinen Ringhomomorphismus $ \phi\colon R\rightarrow S $ gibt. (Bemerkung: Ringhomomorphismen $ R\rightarrow S $ bilden definitionsgemäß $ 1_R $ auf $ 1_S $ ab.)

(12 Punkte)

Sei $ K $ ein Körper, $ n\geq 1 $ , und $ \mu_A(X)\in K[X] $ das Minimalpolynom einer Matrix $ A\in\mat(n\times n,K) $ . Sei $ f(X)\in K[X] $ ein Polynom, das zu $ \mu_A(X) $ teilerfremd ist. Man zeige, dass die Matrix $ f(A) $ invertierbar ist. (12 Punkte)

Sei $ K $ ein endlicher Körper mit $ q $ Elementen. Man zeige, dass das Polynom $ X^2+X+1 $ genau dann irreduzibel über $ K $ ist, wenn $ q\equiv-1~(\mathrm{mod}~3) $ .

(12 Punkte)