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Frühjahr 2017


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Aufgabe 1

Sei $ L\vert\Q $ eine endliche Galoissche Körpererweiterung. Die Norm eines Elementes $ x\in L $ sei gegeben als \begin{equation*} N(x)\coloneqq \prod_{\sigma\in\gal(L\vert\Q)}\sigma(x) \end{equation*}

  1. Zeigen Sie, dass $ N(x)\in\Q $ für alle $ x\in L $ und $ N(xy)=N(x)N(y) $ für alle $ x,y\in L $ gilt.
  2. Betrachten Sie den Spezialfall $ L=\Q[\sqrt{5}] $ . Zeigen Sie, dass $ N(r+\sqrt{5}s)=r^2-5s^2 $ für $ r,s\in\Q $ gilt.
  3. Betrachten Sie in $ L $ den Teilring $ Z[\sqrt{5}]=\{r+s\sqrt{5}\vert r,s\in\Z\} $ . Zeigen Sie, dass für $ x\in\Z[\sqrt{5}] $ gilt, dass $ x $ genau dann eine Einheit in $ \Z[\sqrt{5}] $ ist, wenn $ N(x)\in\{1,-1\} $ gilt.
  4. Zeigen Sie, dass $ 11 $ kein Primelement in $ \Z[\sqrt{5}] $ ist.
(12 Punkte)

Tipps
  • zu d). Überlege Dir, dass es genügt, zu zeigen, dass $ 11 $ nicht irreduzibel ist. Welche Norm müssen die Faktoren einer echten Zerlegung besitzen (verwende c))?
  • <

Aufgabe 2

Betrachten Sie die Körpererweiterung $ L\coloneqq \Q(\sqrt{2},\sqrt{2+\sqrt{3}})\subset \C $ über $ \Q $ . Sei $ x\coloneqq \sqrt{2+\sqrt{3}}\in L $ .
  1. Zeigen Sie, dass $ x-\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{2} $ gilt.
  2. Bestimmen Sie das Minimalpolynom von $ x $ über $ \Q $ .
  3. Bestimmen Sie das Minimalpolynom von $ x $ über $ \Q(\sqrt{2}) $ .
  4. Bestimmen Sie die Galoisgruppe $ \gal(L\vert\Q) $ .
(12 Punkte)

Tipps
  • zu b). Eine Möglichkeit: Berechne einige Potenzen von $ x $ , um ersteinmal ein Polynom $ P $ mit $ P(x)=0 $ zu konstruieren. Zeige dann, dass $ P $ irreduzibel ist (bedenke, dass es unter Umständen hilfreich sein kann, anstelle von $ P(X) $ äquivalent z.B. $ P(X+1) $ auf Irreduzibilität zu überprüfen).
  • zu c). Überlege Dir beispielsweise, dass es genügt, für alle Faktoren von $ P $ von Grad $ 2 $ zu testen, ob diese in $ \Q(\sqrt{2})[X] $ liegen.
  • zu d). Welche Ordnung muss die Galoisgruppe nach c) haben? Welche Isomorphietypen kommen also nur in Frage und wie lassen sich diese leicht durch die Existenz passender Zwischenerweiterungen unterscheiden? Wie lassen sich mit Hilfe von c) die verschiedenen Automorphismen konkret angeben?

Aufgabe 3

Zeigen Sie, dass es keine einfache Gruppe der Ordnung $ 300 $ gibt.
Hinweis: Nehmen Sie an, es gäbe so eine Gruppe, und lassen Sie diese auf ihren $ 5 $ -Sylowgruppen operieren.

(12 Punkte)

Aufgabe 4

Sei $ N\in\N $ eine natürliche Zahl $ N\geq 3 $ .
  1. Zeigen Sie: Falls $ 2^{N-1}\not\equiv 1\mod N $ , ist $ N $ keine Primzahl.
  2. Zeigen Sie, dass die Umkehrung der Aussage nicht gilt, indem Sie das Beispiel $ N=341=11\cdot 31 $ betrachten.
(12 Punkte)

Tipps
  • zu a). Betrachte die multiplikative Gruppe von $ \Z_N $ .
  • zu b). Welche Ordnung hat die multiplikative Gruppe $ \Z_{341} $ ? Wie lässt sich mit diesem Wissen schnell $ 2^{340}\mod 341 $ berechnen?

Aufgabe 5

Es seien $ p $ eine Primzahl und $ \overline\F_p $ ein algebraischer Abschluss des endlichen Körpers $ \F_p $ mit $ p $ Elementen. Für $ r\in\N $ bezeichne $ \F_{p^r}\subset\overline\F_p $ den Zwischenkörper mit $ p^r $ Elementen. Zeigen Sie:

  1. Ist $ n\in\N $ und $ A $ eine $ n\times n $ -Matrix mit Koeffizienten in $ \F_p $ , so dass das charakteristische Polynom von $ A $ irreduzibel über $ \F_p $ ist, so ist $ A $ über dem Körper $ \F_{p^n} $ diagonalisierbar.
  2. Für $ p=5 $ ist die $ 3\times 3 $ -Matrix \begin{equation*} A=\left(\begin{matrix} -1&3&-1\\ 0&0&1\\ 1&0&0 \end{matrix}\right) \end{equation*} nicht über $ \F_{125} $ diagonalisierbar, aber über $ \F_{25} $ .
(12 Punkte)

Tipps
  • zu a). Überlege Dir, wieso das Minimalpolynom von $ A $ mindestens eine Nullstelle in $ \F_{p^n} $ besitzen muss, und überlege Dir dann, dass das Minimalpolynom von $ A $ hier irreduzibel ist und damit bereits alle Nullstellen in $ \F_{p^n} $ liegen.
  • zu b). Um zu zeigen, dass $ A $ über $ \F_{125} $ nicht diagonalisierbar sein kann, verwende z.B., dass $ \F_{25}\not\subset\F_{125} $ ist (warum?).

Aufgabe 1

Wie viele Elemente der Ordnung $ 11 $ gibt es in einern einfachen Gruppe der Ordnung $ 660 $ ?

(12 Punkte)

Tipps

Überlege Dir, das jedes Element der Ordnung $ 11 $ eine $ 11 $ -Sylowgruppe definiert. Wieviele verschiedene Elemente der Ordnung $ 11 $ enthält jede $ 11 $ -Sylowgruppe, wieviele davon gibt es und wie schneiden sie sich?

Aufgabe 2

  1. Sei $ G $ eine multiplikativ geschriebene endliche Gruppe der Ordnung $ n $ und sei $ g\in G $ . Weiter gelte $ g^{n/p}\neq 1 $ für jeden Primteiler $ p $ von $ n $ .
    Zeigen Sie: $ g $ erzeugt $ G $ .
  2. Zeigen Sie: $ 4^{3^m}\equiv 1+3^{m+1}\mod 3^{m+2} $ für alle $ m\geq 0 $ .
  3. Zeigen Sie, dass die Restklasse von $ 2 $ für jdedes $ e\geq 1 $ die Einheitengruppe des Ringes $ \Z/3^e\Z $ erzeugt.
(12 Punkte)

Tipps
  • zu b). Induktion über $ m $ .
  • zu c). Wieder Induktion über $ m $ . Verwende dazu a) und überlege Dir, dass nur zwei Primteiler getestet werden müssen. In beiden Fällen kann b) für den Induktionsschritt verwendet werden.

Aufgabe 3

Sei $ K $ ein endlicher Körper mit seiner multiplikativen Gruppe $ (K^\ast,\cdot) $ und sei weiter $ H\coloneqq\{a^2\colon a\in K^\ast\} $ . Zeigen Sie:

  1. $ H $ ist eine Untergruppe von $ (K^\ast,\cdot) $ ;
  2. $ H=K^\ast $ , falls $ \cha(K)=2 $ ;
  3. $ H $ hat Index $ 2 $ in $ K^\ast $ , falls $ \cha(K)>2 $ .
(12 Punkte)

Tipps
  • zu c). Eine schnelle Mölichkeit: Beschreibe $ H $ als Bild eines geeigneten Gruppenmorphismus $ K^\ast\rightarrow K^\ast $ und verwende den Homomorphiesatz.

Aufgabe 4

Sei $ f=X^3+2X+2\in\Q[X] $ und sei $ \alpha\in\C $ eine Nullstelle von $ f $ .
  1. Zeigen Sie: $ 1,\alpha,\alpha^2 $ ist eine Basis des $ \Q $ -Vektorraumes $ \Q(\alpha) $ .
  2. Schreiben Sie $ (1+\alpha)^{-1} $ als Linearkombination mit rationalen Koeffizienten bezüglich dieser Basis.
(12 Punkte)

Tipps
  • zu b). Erinnere Dich an den Beweis, dass für ein algebraisches Element $ a $ (über z.B. $ \Q $ ) gilt $ \Q(a)=\Q[a] $ (vgl. Übungen).

Aufgabe 5

Sei $ K/\Q $ eine Galoiserweiterung vom Grad $ 55 $ mit nicht abelscher Galoisgruppe.
Zeigen Sie: Es gibt genau einen echten Zwischenkörper $ L $ von $ K/\Q $ , so dass $ L/\Q $ eine Galoiserweiterung ist. Berechnen Sie $ [L:\Q] $ .

(12 Punkte)

Tipps

Hauptsatz der Galoistheorie. (Erinnere Dich außerdem, dass - und warum - gilt: Sind $ N,K\subset G $ Normalteiler einer endlichen Gruppe mit $ N\cap K=\{1\} $ , so ist $ N\cdot K\simeq N\times K $ .)

Aufgabe 1

Sei $ K $ ein Körper der Charakteristik $ p>0 $ und \begin{equation*} G\coloneqq \slg_n(K)=\{A\in\mat(n\times n,K)\vert\det(A)=1\} \end{equation*} die Gruppe der invertierbaren $ n\times n $ -Matrizen mit Einträgen aus $ K $ und Determinante $ 1 $ . Wir betrachten die Abbildung \begin{equation*} \begin{aligned} F\colon\mat(n\times n,K)&\mapsto \mat(n\times n,K),\\ F((a_{ij}))&=(a_{ij}^p). \end{aligned} \end{equation*} Zeigen Sie, dass $ F(G)\subseteq G $ gilt und dass $ F\vert _G\colon G\rightarrow G $ ein Homomorphismus von Gruppen ist. Folgern Sie daraus, dass $ H=\{g\in G\vert F(g)=g\} $ eine Untergruppe von $ G $ ist, und bestimmen Sie diese Untergruppe.

(12 Punkte)

Aufgabe 2

Man zeige:
  1. Die symmetrische Gruppe $ S_5 $ hat genau sechs $ 5 $ -Sylowuntergruppen.
  2. $ S_6 $ hat eine zu $ S_5 $ isomorphe und transitiv auf $ \{1,2,3,4,5,6\} $ operierende Untergruppe.
  3. $ S_6 $ hat zwei zu $ S_5 $ isomorphe Untergruppen, die nicht zueinander konjugiert sind.
(12 Punkte)

Tipps
  • zu b). Betrachte die Wirkung von $ S_5 $ auf seinen $ 5 $ -Sylowgruppen. Wieso ist diese Wirkung effektiv? (Bedenke, dass $ A_5 $ einfach ist.)

Aufgabe 3

Sei $ R=\Z[\sqrt{-3}] $ und $ S=\Z[i]=\Z[\sqrt{-1}] $ . Man zeige, dass es keinen Ringhomomorphismus $ \phi\colon R\rightarrow S $ gibt. (Bemerkung: Ringhomomorphismen $ R\rightarrow S $ bilden definitionsgemäß $ 1_R $ auf $ 1_S $ ab.)

(12 Punkte)

Tipps

Eine Möglichkeit: Nimm an, es gebe einen solchen Morphismus $ \phi $ , und untersuche die Eigenschaften von $ \phi(\sqrt{-3})\in\Z[i] $ .

Aufgabe 4

Sei $ K $ ein Körper, $ n\geq 1 $ , und $ \mu_A(X)\in K[X] $ das Minimalpolynom einer Matrix $ A\in\mat(n\times n,K) $ . Sei $ f(X)\in K[X] $ ein Polynom, das zu $ \mu_A(X) $ teilerfremd ist. Man zeige, dass die Matrix $ f(A) $ invertierbar ist. (12 Punkte)

Tipps

Verwende z.B. den erweiterten Euklidischen Algorithmus für $ f $ und $ \mu_A $ .

Aufgabe 5

Sei $ K $ ein endlicher Körper mit $ q $ Elementen. Man zeige, dass das Polynom $ X^2+X+1 $ genau dann irreduzibel über $ K $ ist, wenn $ q\equiv-1~(\mathrm{mod}~3) $ .

(12 Punkte)

Tipps

Bedenke, dass ein Polynom von Grad $ 2 $ über einem Körper $ K $ genau dann irreduzibel ist, wenn es keine Nullstelle in $ K $ besitzt. Untersuche nun getrennt die drei Fälle $ q\equiv -1,0,1\mod 3 $ .