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Frühjahr 2016


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Aufgabe 1

Es sei $ f $ ein Endomorphismus des Euklidischen Vektorraumes $ \R^n $ , und es sei $ M $ die Matrix von $ f $ bezüglich der kanonischen Basis von $ \R^n $ . Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen zueinander äquivalent sind:

  1. $ f $ ist eine Orthogonalprojektion auf einen Unterraum der Dimension $ k $ .
  2. Die Matrix $ M $ ist idempotent (d.h. $ M^2=M $ ), symmetrisch und hat Spur $ k $ .
(12 Punkte)

Tipps

Überlege Dir, wie die darstellende Matrix einer Orthogonalprojektion bezüglich einer geeigneten Basis eine sehr einfache Form hat. Verwende für die Rückrichtung, dass sich symmetrische Matrizen durch Konjugation mit einer orthogonalen Matrix diagonalisieren lässt.

Aufgabe 2

Es sei $ n\geq 1 $ eine natürliche Zahl. Zeigen Sie, dass $ \sum\limits_{k=1}^nk^2 $ genau dann durch $ n $ teilbar ist, wenn $ n $ weder durch $ 2 $ noch durch $ 3 $ teilbar ist.

$ \left(\mathit{Hinweis:}~\sum\limits_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right) $

(8 Punkte)

Tipps

Zum Beweis des Hinweises: Induktion über $ n $ . Für die Aufgabe selbst verwende, dass $ \Z $ ein faktorieller Ring ist.

Aufgabe 3

Es sei $ (A,+) $ eine abelsche Gruppe, und es sei $ (H,\cdot) $ eine Gruppe mit einem Normalteiler $ N\unlhd H $ vom Index $ 2 $ . Zeigen Sie:

  1. Sind $ x,y\in H\setminus N $ , dann ist $ xy\in N $ .
  2. Die auf $ A\times H $ definierte Verknüpfung \begin{equation*} (a,x)\circledast (b,y):= \left\{\begin{matrix}(a+b,xy),\quad&\text{falls }x\in N,\\ (a-b,xy),\quad&\text{falls }x\in H\setminus N,\end{matrix}\right. \end{equation*} ist assoziativ.

Im Folgenden darf ohne Beweis benutzt werden, dass $ A\times H $ mit dieser Verknüpfung eine Gruppe mit neutralem Element $ (0_A,1_H) $ bildet.

  1. Ist $ x\in H\setminus N $ der Ordnung $ 2 $ , und ist $ a\in A $ , dann hat $ (a,x) $ in der Gruppe $ (A\times H,\circledast) $ die Ordnung $ 2 $ .
  2. Es gibt eine Gruppe der Ordnung $ 42 $ , die weder eni Elemente der Ordnung $ 6 $ noch ein Element der Ordnung $ 14 $ enthält.
(16 Punkte)

Tipps
  • Zu a). Rechne mit $ N $ -Nebenklassen.
  • Zu d). Eine Möglichkeit wäre $ A=\mathbb{Z}/7\mathbb{Z} $ und $ H=S_3 $ .

Aufgabe 4

Es sei $ 1\lt D\in\Z $ und $ R=\Z[\sqrt{-D}] $ .

  1. Zeigen Sie: Die Einheitengruppe von $ R $ ist $ R^\ast=\{\pm 1\} $ .

Ferner sei $ D\coloneqq 13 $ .

  1. Zeigen Sie, dass $ 2 $ und $ 1+\sqrt{-13} $ in $ R $ irreduzibel sind.
  2. Zeigen Sie, dass $ 2\in R $ kein Primelement ist.

Hinweis: Man benutze die Normabbildung $ N(a+b\sqrt{-D})=a^2+Db^2 $ .

(12 Punkte)

Tipps
  • Zu a). Definiere eine passende (multplikative) Normabbildung.
  • Zu b). Betrachte die Normen möglicher Faktoren (und untersuche, ob es Elemente dieser Normen in $ R $ überhaupt geben kann).
  • Zu c). Mögliche Variante: Verwende Deine Berechnungen aus Teil b).

Aufgabe 5

Für einen primitive fünfte Einheitswurzel in $ \C $ gilt die Formel \begin{equation*} \zeta_5\coloneqq e^{\frac{2\pi i}{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}+i\sqrt{\frac{\sqrt{5}+5}{8}}; \end{equation*} diese Formel kann ohne Beweis verwendet werden.

  1. Bestimmen Sie das Minimalpolynom von $ \alpha\coloneqq \sqrt{\frac{\sqrt{5}+5}{8}} $ über $ \Q $ .
  2. Zeigen Sie: $ i\notin\Q(\zeta_5) $ .
(12 Punkte)

Tipps
  • zu a). Berechne geeignete Potenzen von $ \alpha $ und bilde eine Linearkombination zu null.
  • zu b). Mögliche Variante: Wieso ist $ \Q(\zeta_5)\subset\Q(i,\alpha) $ klar? Zeige, dass $ i\in\Q(\zeta_5) $ impliziert $ \Q(\zeta_5)=\Q(i,\alpha) $ und begründe durch Grad-Betrachtungen, dass dies nicht der Fall sein kann.

Aufgabe 1

  1. Sei $ p $ eine Primzahl und $ \mathbb{F}_p $ der Körper mit $ p $ Elementen. Die Menge \begin{equation*} G:=\left\{\left(\begin{matrix} a&b\\ 0&1\end{matrix}\right) \middle\vert a,b\in\mathbb{F}_p,a\neq 0\right\} \end{equation*} ist eine Untergruppe von $ \mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_p) $ (Nachweis nicht erforderlich).Zeigen Sie, dass $ G $ auflösbar ist.
  2. Sei nun $ G $ eine beliebige Gruppe der Ordnung $ p(p-1) $ . Zeigen Sie, dass es genau eine Untergruppe $ H $ von $ G $ der Ordnung $ p $ gibt. Zeigen Sie weiter, dass $ G $ genau dann auflösbar ist, wenn $ G/H $ auflösbar ist.
  3. Sei $ C:=(\mathbb{Z}/61\mathbb{Z} )\times A_5 $ das direkte Produkt der zyklischen Gruppe der Ordnung $ 61 $ und der alternierenden Gruppe $ A_5 $ . Ist $ C $ auflösbar? Begründen Sie Ihre Antwort.
(14 Punkte)

Tipps
  • zu a). Mögliche Variante: Betrachte die Gruppenoperation von $ G $ genauer und fasse $ G $ als geeignetes semidirektes Produkt auf. Eine Alternative wäre, die Aufgabe mit Teil b) zu beginnen und a) aus b) zu folgern.
  • zu b). Sylowsätze.

Aufgabe 2

Es sei \begin{equation*} R\coloneqq \Z[i]=\{a+bi\vert a,b\in\Z\},\quad i^2=-1, \end{equation*} der Ring der ganzen Gaußschen Zahlen. Sei \begin{equation*} I\coloneqq \Z\cdot 25+\Z(7+i)=\{25x+y(7+i)\vert x,y\in\Z\}. \end{equation*} Die Menge $ I $ ist ein Ideal in $ R $ (Nachweis nicht erforderlich).

  1. Zeigen Sie, dass $ \varphi\colon\Z\rightarrow R/I,~a\mapsto a+I $ , surjektiv ist und bestimmen Sie den Kern von $ \varphi $ .
  2. Zeigen Sie, dass die Gruppe $ (R/I)^\times $ der Einheiten von $ R/I $ zyklisch von der Ordnung $ 20 $ ist.
  3. Wie viele verschiedene Erzeuger von $ (R/I)^\times $ gibt es? Begründen Sie Ihre Antwort.
(12 Punkte)

Tipps
  • zu b). Mögliche Variante: Verwende Teil a) zusammen mit dem Homomorphiesatz, um $ (R/I)^\times $ mit einer Gruppe der Form $ (\Z/n\Z)^\times $ zu identifizieren, deren Ordnung bekanntlich $ \phi(n) $ ist, wenn $ \phi $ die Eulersche Phifunktion ist. Um dann zu zeigen, dass $ (R/I)^\times $ zyklisch ist, begründe, dass $ (R/I)^\times $ abelsch ist, (mindestens) ein Element der Ordnung $ 5 $ und (mindestens) eines der Ordnung $ 4 $ enthält.

Aufgabe 3

Sei \begin{equation*} f(x)\coloneqq x^4-6x^2-14\in\Q[x]. \end{equation*}

  1. Zeigen Sie, dass $ K\coloneqq\Q(\sqrt{3+\sqrt{23}},\sqrt{-14}) $ der Zerfällungskörper von $ f $ ist.
  2. Zeigen Sie: $ [K:\Q]=8 $ .
(12 Punkte)

Tipps
  • zu a). Berechne die Nullstellen von $ f $ und bestimme so einen Zerfällungskörper $ L $ , zeige dann $ L=K $ .
  • zu b). Gradformel.

Aufgabe 4

Sei \begin{equation*} f(x)\coloneqq x^3-x-1\in\Q[x] \end{equation*} und $ a\in\C $ eine Nullstelle von $ f $ . Sei $ b\coloneqq 2a^2-a-2 $ .

  1. Zeigen Sie, dass $ f $ irreduzibel über $ \Q $ ist.
  2. Zeigen Sie, dass $ b\neq 0 $ gilt.
  3. Bestimmen Sie das Minimalpolynom von $ a^2 $ über $ \Q $ .
(12 Punkte)

Tipps
  • zu a). Aufgabe 3 aus Übung 9
  • zu c). Mögliche Variante, um die Suche nach einem geeigneten Polynom zu vereinfachen: Überlege Dir im Voraus, durch die Betrachtung geeigneter Körpererweiterungen über $ \Q $ , dass der Grad des Minimylpolynomes von $ a^2 $ über $ \Q $ gerade $ 3 $ sein muss (dann genügt es schon, eine passende Linearkombination (zu $ 0 $ ) der Potenzen $ (a^2)^3 $ , $ (a^2)^2 $ , $ a^2 $ und $ 1=(a^2)^0 $ zu finden, was einfach sein sollte (bedenke, dass $ a^3-a-1=0 $ gilt nach Voraussetzung).

Aufgabe 5

Es sei $ M_4(\Q) $ der Ring der $ 4\times 4 $ -Matrizen mit Einträgen in $ \Q $ . Sei \begin{equation*} A\coloneqq \left(\begin{matrix} 0&1&0&0\\ -1&-2&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 2&2&2&-1 \end{matrix}\right)\in M_4(\Q). \end{equation*}

  1. Bestimmen Sie das charakteristische Polynom $ \chi_A(x) $ sowie die Eigenwerte von $ A $ . Ist $ A $ diagonalisierbar?
  2. Berechnen Sie das Ideal $ J_A\coloneqq\{g\in\Q[x]\vert g(A)=0\} $ .
(10 Punkte)

Aufgabe 1

Sei $ K $ ein Körper, $ n\in\N $ und $ K^{n\times n} $ der $ K $ -Vektorraum der $ n\times n $ -Matrizen. Ferner sei $ \gl_n(K) $ die Gruppe der invertierbaren Matrizen aus $ K^{n\times n} $ .

  1. Sei $ A\in K^{n\times n} $ , und $ V\subset K^{n\times n} $ der von $ A^0,A^1,A^2,\ldots $ erzeugte Unterraum von $ K^{n\times n} $ . Man zeige, dass $ \dim V\leq n $ . (Hinweis: Satz von Cayley--Hamilton)
  2. Sei $ K $ ein endlicher Körper. Man zeige, dass jedes Element aus $ \gl_n(K) $ höchstens die Ordnung $ \lvert K\rvert -1 $ hat.
    (Hinweis: Für $ A\in\gl_n(K) $ vergleiche man die von $ A $ erzeugte Untergruppe von $ \gl_n(K) $ mit $ V $ .)
(12 Punkte)

Tipps
  • zu a). Zeige, z.B. durch Induktion über $ n $ , dass $ V^0,\ldots,V^{n-1} $ ein Erzeugendensystem von $ V $ ist.
  • zu b). Verwende a).

Aufgabe 2

Seien $ m,n\in\N $ (Erinnerung: $ \N $ soll nach unserer Konvention $ 0 $ nicht enthalten). Zeige:
  1. $ X^m-1 $ ist genau dann ein Teiler von $ X^n-1 $ in $ \Q[X] $ , wenn $ m $ ein Teiler von $ n $ ist.
  2. $ X^m+1 $ ist genau dann ein Teiler von $ X^n+1 $ in $ \Q[X] $ , wenn $ m $ ein Teiler von $ n $ ist und $ n/m $ ungerade ist.
  3. Genau dann ist $ X^n+1 $ irreduzibel in $ \Q[X] $ , wenn $ n $ eine Potenz von $ 2 $ ist. (Hinweis: Für eine Zweierpotenz $ n $ ist $ (X+1)^n+1 $ ein Eisenstein-Polynom.)
(12 Punkte)

Tipps
  • zu a). Division mit Rest in $ \N $ für den Exponenten.

Aufgabe 3

Sei $ p $ eine Primzahl, die die Ordnung der endlichen Gruppe $ G $ teilt. Weiter sei $ P $ eine zyklische $ p $ -Sylowgruppe von $ P $ . Man zeige:

  1. $ P $ enthält genau eine Untergruppe der Ordnung $ p $ .
  2. Es gelte $ \lvert P\cap x^{-1}Px\rvert >1 $ für alle $ x\in G $ . Man zeige, dass $ G $ einen Normalteiler $ N $ hat mit $ \lvert N\rvert =p^e $ für ein $ e\in\mathbb{N} $ .
(10 Punkte)

Tipps
  • zu a). Erinnere Dich an die Beweisidee der Aussage, dass eine zyklische Gruppe für jeden Teiler der Gruppenordnung genau eine Untergruppe der entsprechenden Ordnung enthält.
  • zu b). Nutze Teil a) um zu zeigen, dass für jedes $ x $ der Schnitt von $ x^{-1}Px $ mit $ P $ eine bestimmte Untergruppe enthält.

Aufgabe 4

Sei $ R $ ein Integritätsbereich und $ I\subset R $ ein Primideal, so dass der Index $ [R:I] $ der additiven Gruppen endlich ist. Zeigen Sie, dass $ I $ ein maximales Ideal von $ R $ ist.

(11 Punkte)

Aufgabe 5

Sei $ f(X)=X^4-2X^2-2\in\Q[X] $ .

  1. Zeigen Sie, dass \begin{equation*} \alpha_1=\sqrt{1+\sqrt{3}},\quad \alpha_2=\sqrt{1-\sqrt{3}},\quad \alpha_3=-\alpha_1,\quad\alpha_4=-\alpha_2 \end{equation*} die Nullstellen von $ f $ in $ \C $ sind.
  2. Zeigen Sie, dass $ \Q(\alpha_1)\neq\Q(\alpha_2) $ (als Teilkörper von $ \C $ ).
  3. Zeigen Sie, dass $ \Q(\sqrt{3})=\Q(\alpha_1)\cap\Q(\alpha_2) $ .
  4. Zeigen Sie, dass die Erweiterungen $ \Q(\sqrt{3})\subset\Q(\alpha_i) $ , $ i=1,2 $ , Galois'sch sind.
  5. Sei $ K $ der Zerfällungskörper von $ f $ über $ \Q $ . Zeigen Sie, dass $ \Q(\sqrt{3})\subset K $ Galois'sch ist und bestimmen Sie den Isomorphietyp der Galoisgruppe.
(15 Punkte)

Tipps
  • zu b). Eine schnelle Möglichkeit: Beobachte, dass $ \alpha_1\in\R $ , aber $ \alpha_2\in\C\setminus\R $ .
  • zu e). Verwende z.B. Aufgabe 4 vom Übungsblatt Galoistheorie I.