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Frühjahr 2015


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Aufgabe 1

Sei $ \F_2 $ der endliche Körper mit genau zwei Elementen $ 0 $ und $ 1 $ . Auf dem dreidimensionalen $ \F_2 $ -Vektorraum $ (\F_2)^3 $ betrachten wir den Endomorphismus \begin{equation*} \phi\colon(\F_2)^3\rightarrow(\F_2)^3,\quad (x_1,x_2,x_3)\mapsto (x_3,x_2,x_1). \end{equation*}

  1. Bestimmen Sie das charakteristische Polynom von $ \phi $ . Bestimmen Sie alle Eigenwerte von $ \phi $ in $ \F_2 $ . Bestimmen Sie für jeden Eigenwert von $ \phi $ in $ \F_2 $ eine Basis des zugehörigen Eigenraumes. (8 Punkte)
  2. Gibt es eine Basis von $ (\F_2)^3 $ , bezüglich derer $ \phi $ eine Jordan'sche Normalform hat? Begründen Sie Ihre Antwort. Wenn ja, bestimmen Sie die Jordan'sche Normalform von $ \phi $ . (8 Punkte)

Aufgabe 2

Sei $ m\geq 3 $ eine ungerade ganze Zahl. Zeigen Sie die folgende Kongruenz: \begin{equation*} 1^m+2^m+3^m+\ldots+(m-3)^m+(m-2)^m+(m-1)^m \equiv 0\mod m. \end{equation*}

(4 Punkte)

Aufgabe 3

Sei $ G $ eine Gruppe der Ordnung $ 105 $ . Zeigen Sie:
  1. $ G $ hat einen Normalteiler $ N $ mit # $ N=5 $ oder # $ N=7 $ . (6 Punkte)
  2. $ G $ ist auflösbar. (6 Punkte)

Tipps

Zu a). Sylowsätze.

Aufgabe 4

Sei $ J $ das von $ X^3-7 $ erzeugte Ideal in $ \Q[X] $ .
  1. Beweisen Sie, dass $ \Q[X]/J $ ein Körper ist, und bestimmen Sie den Grad der Körpererweiterung $ \Q[X]/J\supset \Q $ . (6 Punkte)
  2. Bestimmen Sie ein Polynom $ P\in\Q[X] $ , für das $ P+J $ multiplikatives Inverses von $ (X^2+1)+J $ in $ \Q[X]/J $ ist. (6 Punkte)

Tipps

Zu b). Erweiterter Euklidischer Algorithmus.

Aufgabe 5

Sei $ f\in\Q[X] $ ein irreduzibles Polynom vom Grad $ n\geq 1 $ . Sei $ K $ ein Zerfällungskörper von $ f $ . Sei $ G=\gal(K\vert\Q) $ die zugehörige Galoisgruppe.

  1. Beweisen Sie: Falls $ G $ eine abelsche Gruppe ist, hat sie Ordnung $ n $ . (8 Punkte)
  2. Sei $ K=\Q(\sqrt{2},i) $ , wobei $ i\in\C $ die imaginäre Einheit mit $ i^2=-1 $ ist. Bestimmen Sie ein irreduzibles Polynom $ f\in\Q[X] $ , dessen Zerfällungskörper $ K $ ist. Beweisen Sie, dass $ G=\gal(K\vert\Q) $ abelsch, aber nicht zyklisch ist. (8 Punkte)

Tipps

Zu a). Ist die Galoisgruppe abelsch, so sind alle Untergruppen Normalteiler. Sei $ \alpha\in K $ eine beliebige Nullstelle von $ f $ . Zeige mit Hilfe der Beobachtung und des Hauptsatzes, dass dann schon $ K=\Q(\alpha) $ folgt.

Zu b). Finde ein primitives Element der Erweiterung, dessen Minimalplynom hat dann automatisch die gewünschte Eigenschaft. Zeige weiter, dass die Galoisgruppe den Isomorphietyp $ \Z_2\times\Z_2 $ hat (z.B. mit Hilfe von Aufgabe 4 des Übungsblattes Galoistheorie I).

Aufgabe 1

Man bestimme alle Paare von Primzahlen $ p,q $ mit $ p^2-2q^2=1 $ .

(10 Punkte)

Tipps

Betrachte die Gleichung modulo einer geeigneten Zahl $ n $ .

Aufgabe 2

Es sei $ f(X)\in K[X] $ ein nicht konstantes Polynom ohne mehrfache Nullstellen in einem Zerfällungskörper. Man zeige, dass $ f(X) $ ein Teiler des Polynomes $ f(X+f(X)) $ ist.

(10 Punkte)

Aufgabe 3

Sei $ p $ eine Primzahl und $ a\in\Z $ keine $ p $ -te Potenz in $ \Z $ . Man zeige, dass das Polynom $ X^p-a $ über $ \Q $ irreduzibel ist.

(Hinweis: Betrachte die Nullstellen von $ X^p-a $ in $ \C $ und untersuche den konstanten Term eines echten Teilers von $ X^p-a $ auf Ganzzahligkeit.

(12 Punkte)

Tipps

Elementare Variante: Überlege Dir, dass die Nullstellen von $ X^p-a $ in $ \C $ gerade von der Form $ \sqrt[p]{a}\zeta_p^i\in\C $ sind, $ i=0,\ldots ,p-1 $ für eine primitive $ p $ -te Einheitswurzel $ \zeta_p $ . Überlege Dir dann, dass ein Teiler $ g $ von $ X^p-a $ mit $ \deg(g)=r < p $ gerade den konstanten Koeffizienten $ \sqrt[p]{a^r} $ haben müsste (wie lässt sich der $ 0 $ -te Koeffizient (gemeint ist der zu $ X^0 $ ) durch die Nullstellen von $ g $ ausdrücken?) und leite hieraus einen Widerspruch zu der Voraussetzung ab, dass $ a $ keine $ p $ -te Potenz in $ \Z $ ist.

Aufgabe 4

  1. Die Gruppe $ G $ operiere transitiv auf einer Menge $ \Omega $ mit $ \lvert \Omega\rvert >1 $ . Man zeige: Hat jedes Element aus $ G $ mindestens einen Fixpunkt, dann ist $ G $ eine Vereinigung der Konjugierten $ hUh^{-1} $ , $ h\in G $ , einer echten Untergruppe $ U $ von $ G $ . (8 Punkte)
  2. Für $ n>1 $ sei $ G=\mathrm{GL}_n(\mathbb{C}) $ die Gruppe der invertierbaren $ n\times n $ -Matrizen über den komplexen Zahlen. Man gebe eine echte Untergruppe $ U $ von $ G $ an, so dass $ G $ die Vereinigung der Konjugierten von $ U $ ist. (Hinweis: Betrachte die Operation von $ G $ auf den $ 1 $ -dimensionalen Unterräumen von $ \mathbb{C} $ .) (10 Punkte)

Tipps

Zu a.) Verwende für $ U $ die Stabilisatorgruppe $ G_x $ an einem Punkt $ x\in\Omega $ . Wieso spielt es keine Rolle, welchen Punkt $ x $ man wählt? (Verwende die Transitivität der Gruppenwirkung)

Aufgabe 5

Sei $ p $ eine Primzahl und $ q=p^n $ , $ n>0 $ . Weiter sei $ K $ ein Körper der Charakteristik $ p $ . Zeigen Sie, dass die Nullstellen des Polynomes $ f(X)=X^q-X $ einen Unterkörper von $ K $ bilden.

(10 Punkte)

Aufgabe 1

Gegeben seien eine Gruppe $ G $ und drei Untergruppen $ U_1,U_2,V\subseteq G $ mit der Eigenschaft $ V\subseteq U_1\cup U_2 $ . Zeigen Sie, dass $ V\subset U_1 $ oder $ V\subseteq U_2 $ gilt. (8 Punkte)

(8 Punkte)

Tipps

Nimm an, es gäbe ein $ a\in V\setminus U_1 $ und ein $ b\in V\setminus U_2 $ und betrachte dann das Produkt $ ab\in V $ .

Aufgabe 1

Seien $ p,q,r $ Primzahlen mit $ p\lt q\lt r $ und $ pq\lt r+1 $ . Zeigen Sie, dass jede Gruppe der Ordnung $ pqr $ auflösbar ist. (12 Punkte)

(12 Punkte)

Tipps

Sylowsätze. Was ist bereits bekannt über Gruppen der Ordnung $ pq $ ?

Aufgabe 3

Ein Ring $ R $ mit Eins heißt idempotent, wenn $ a\cdot a=a $ für alle $ a\in R $ gilt. Beweisen Sie:

  1. $ -1=1 $ in $ R $ . (4 Punkte)
  2. Jeder idempotente Ring ist kommutativ. (4 Punkte)
  3. Jeder idempotente Integritätsbereich ist isommorph zu $ \mathbb{F}_2 $ , dem Körper mit $ 2 $ Elementen. (4 Punkte)

Tipps
  • Zu b). Binomische Formel und a).
  • Zu c). Es genügt, $ \lvert R\rvert =2 $ zu zeigen.

Aufgabe 4

Im Folgenden ist jeweils $ L/K $ eine Körpererweiterung und ein Element $ \alpha\in L $ gegeben. Bestimmen Sie jeweils das Minimalpolynom von $ \alpha $ über dem Grundkörper $ K $ (mit Nachweis!).

  1. $ K=\Q $ , $ L=\C $ und $ \alpha\coloneqq\sqrt{2}+\sqrt{3} $ . (4 Punkte)
  2. $ K=\F_3 $ , $ L=\overline{\F_3} $ ein algebraischer Abschluss von $ \F_3 $ und $ \alpha $ eine Nullstelle von $ X^6+1 $ . (6 Punkte)
  3. $ K=\Q(\zeta+\zeta^{-1}) $ , $ L=\Q(\zeta) $ und $ \alpha=\zeta\in\C $ eine primitive $ p $ -te Einheitswurzel, wobei $ p\geq 3 $ eine Primzahl bezeichne. (6 Punkte)

Tipps
  • Zu b). Faktorisiere $ X^6+1 $ über $ \F_3 $ .
  • Zu c). Überlege Dir, dass $ \Q(\zeta+\zeta^{-1})\subsetneq\Q(\zeta) $ gilt, und dass daher ein (normiertes) Polynom $ f\in\Q(\zeta+\zeta^{-1})[X] $ von Grad $ 2 $ , welches $ \zeta $ als Nullstelle hat, automatisch Minimalpolynom ist - was wäre ein solches Polynom $ f $ ?

Aufgabe 5

Es sei eine Galoiserweiterung $ E/K $ mit zyklischer Galoisgruppe gegeben, so dass $ [E:K]=p^n $ gilt mit einer Primzahl $ p $ und $ n\geq 1 $ . Weiter sei $ K\subset F\subset E $ ein Zwischenkörper mit $ [F:K]=p^{n-1} $ . Zeigen Sie: Jedes Element von $ E\setminus F $ ist ein primitives Element von $ E $ über $ K $ .

(12 Punkte)

Tipps

Welche Zwischenkörper gibt es zu $ E/K $ ?