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Frühjahr 2014


$ \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\coloneqq}{:=} \newcommand{\eqqcolon}{=:} \newcommand{\legendre}[2]{\left(\frac{#1}{#2}\right)} \newcommand{\zmatrix}[4]{\left(\begin{matrix}#1&#2\\ #3&#4\end{matrix}\right)} \DeclareMathOperator{\gal}{Gal} \DeclareMathOperator{\mat}{Mat} \DeclareMathOperator{\ggt}{ggT} \DeclareMathOperator{\kgv}{kgV} \DeclareMathOperator{\id}{Id} \DeclareMathOperator{\modu}{mod} \DeclareMathOperator{\aut}{Aut} \DeclareMathOperator{\sym}{S} \DeclareMathOperator{\asym}{A} \DeclareMathOperator{\gl}{GL} \DeclareMathOperator{\discr}{disc} \DeclareMathOperator{\zerf}{Zerf} \DeclareMathOperator{\er}{ER} \DeclareMathOperator{\cha}{char} \DeclareMathOperator{\ord}{ord} \DeclareMathOperator{\syl}{Syl} \DeclareMathOperator{\slg}{SL} $

Aufgabe 1

Es sei $ G $ eine Gruppe der Ordnung $ 168 $ , die genau $ 5 $ Untergruppen der Ordnung $ 42 $ hat. Zeige Sie, dass $ G $ nicht einfach ist.

(12 Punkte)

Tipps

Betrachte eine passende Gruppenwirkung von $ G $ auf der Menge der Untergruppen der Ordnung $ 42 $ -- diese definiert einen Gruppenmorphismus $ G\rightarrow S_5 $ . Was gilt für dessen Kern?

Aufgabe 2

Es sei $ L\supseteq K $ eine endliche Galoiserweiterung. Zeigen Sie, dass für $ \alpha\in L $ folgende Aussagen äquivalent sind:

  1. Es gilt $ L=K(\alpha) $ .
  2. Für alle $ g\in\gal(L/K) $ mit $ g\neq \id_L $ gilt $ g(\alpha)\neq\alpha $ .
(10 Punkte)

Tipps

Verwende den Hauptsatz der Galoistheorie, zusammen mit $ \sigma\gal(L\vert K(\alpha))\Leftrightarrow \sigma(\alpha)=\alpha $ für ein $ \sigma\in\gal(L\vert K) $ .

Aufgabe 3

Es seien $ K $ ein Körper und $ K[x] $ der Polynomring über $ K $ . Es seien weiter $ m,n $ nichtnegative ganze Zahlen. Zeigen Sie:

  1. Ist $ m\gt 0 $ , dann ist $ x^r-1 $ der Rest bei Division von $ x^n-1 $ durch $ x^m-1 $ , wobei $ r $ der Rest bei Division von $ n $ durch $ m $ ist. (5 Punkte)
  2. Sei $ g=\ggt(m,n) $ . Dann ist $ x^g-1 $ ein größter gemeinsamer Teiler von $ x^n-1 $ und $ x^m-1 $ in $ K[x] $ . (7 Punkte)

Tipps

Zu a). Verwende eine geeignete Kongruenzrechnung (modulo $ x^m-1 $ ).

Aufgabe 4

Seien $ A,B $ komplexe $ (n\times n) $ -Matrizen mit $ AB=BA $ .

  1. Man zeige, dass $ B $ jeden Eigenraum von $ A $ invariant lässt, d.h.: Für jeden Eigenraum $ U $ von $ A $ gilt $ Bu\in U $ für alle $ u\in U $ . (3 Punkte)
  2. Man zeige, dass $ A $ und $ B $ einen gemeinsamen Eigenvektor haben, d.h.:
    Es gibt $ 0\neq v\in\C^n $ und $ \lambda,\mu\in\C $ mit $ Av=\lambda v $ , $ Bv=\mu v $ . (5 Punkte)
  3. Man zeige anhand eines Beispiels, dass die Aussage aus b) ohne die Voraussetzung $ AB=BA $ im Allgemeinen nicht gilt. (4 Punkte)

Tipps

Zu b). Beobachte, dass mit Teil a) die Einschränkung $ B\vert_U $ einen Endomorphismus auf $ U $ definiert. Begründe nun, dass jeder Endomorphismus über $ \C $ mindestens einen Eigenwert/Eigenvektor besitzt.

Aufgabe 5

Es sei $ p $ eine Primzahl, $ \F_p $ der Körper mit $ p $ Elementen und $ \F_p(t) $ der Quotientenkörper des Polynomringes $ \F_p[t] $ . Wie üblich sei $ \F_p(t^p) $ der kleinste Unterkörper von $ \F_p(t) $ , der $ t^p $ enthält.

  1. Zeigen Sie, dass das Polynom $ X^p-t^p\in\F_p(t^p)[X] $ irreduzibel ist. (6 Punkte)
  2. Zeigen Sie, dass die Körpererweiterung $ \F_p(t)\supseteq \F_p(t^p) $ endlich und normal, aber nicht separabel ist. (8 Punkte)

Tipps
  • Zu a). Überlege Dir zuerst, wie die Elemente von $ \F_p(t^p) $ aussehen. Faktorisiere dann $ X^p-t^p $ in $ \F_p(t)[X] $ in Linearfaktoren - in welche Faktoren könnte das Polynom möglicherweise zerfallen? Wieso ist keiner der möglichen Faktoren ein Polynom in $ \F_p(t^p)[X] $ ? Alternative - überlege Dir, wie Du das Eisenstein-Kriterium einsetzen kannst.
  • Zu b). Wieso ist nach dem zu a) empfohlenen Ansatz klar, dass die Erweiterung normal (und endlich) ist? Wieso ist $ t $ ein nicht separables Element über $ \F_p(t^p) $ ?

Aufgabe 1

Es seien die Polynome $ p(X)=X^{500}-2X^{301}+1 $ und $ q(X)=X^2-1 $ in $ \Q[X] $ gegeben. Berechnen Sie den Rest der Division von $ p(X) $ durch $ q(X) $ .

(8 Punkte)

Tipps

Verwende nicht den euklidischen Algorithmus!

Aufgabe 2

In einem kommutativen Ring $ R $ sei $ r $ die Summe zweier Quadrate, also $ r=a^2+b^2 $ für geeignete $ a,b\in R $ . Zeigen Sie, dass dann auch $ 2r $ eine Summe zweier Quadrate ist.

(8 Punkte)

Aufgabe 3

Sei $ G $ eine Gruppe. Für $ h\in G $ definieren wir den Gruppenautomorphismus \begin{equation*} \phi_h\colon G\rightarrow G,\quad g\mapsto hgh^{-1}. \end{equation*} Die Automorphismen $ \phi_h $ mit $ h\in G $ nennt man innere Automorphismen von $ G $ . Wir definieren \begin{equation*} \mathrm{Inn}(G)=\{\phi_h\vert h\in G\}\subseteq\mathrm{Aut}(G) \end{equation*} und das Zentrum von $ G $ , \begin{equation*} Z(G)=\{x\in G\vert xy=yx\text{ für alle }y\in G\}. \end{equation*}

  1. Zeigen Sie, dass $ \mathrm{Inn}(G) $ ein Normalteiler in $ \mathrm{Aut}(G) $ ist. (4 Punkte)
  2. Zeige Sie, dass die Abbildung \begin{equation*} \phi\colon G\rightarrow \mathrm{Inn}(G),\quad h\mapsto h\mapsto \phi_h \end{equation*} einen Gruppenisomorphismus $ G/Z(G)\rightarrow \mathrm{Inn}(G) $ induziert. (4 Punkte)
  3. Beschreiben Sie alle Automorphismen der zyklischen Gruppe $ \mathbb{Z}/7\mathbb{Z} $ mit sieben Elementen und begründen Sie, weshalb in $ \mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}) $ nur die Identität ein innere Automorphismus ist. (6 Punkte)

Tipps

Zu c). Ein Automorphismus von $ \mathbb{Z}/7\mathbb{Z} $ ist eindeutig durch das Bild von $ 1 $ bestimmt.

Aufgabe 4

Seien $ a,b\in\Q $ und sei $ K $ der Zerfällungskörper des Polynomes \begin{equation*} P(X)=X^3+aX+b\in\Q[X]. \end{equation*} Wir nehmen an, dass $ P(X) $ keine Nullstellen in $ \Q $ hat. Zeigen Sie:

  1. $ P(X) $ ist irreduzibel in $ \Q[X] $ und hat keine mehrfachen Nullstellen in $ K $ . (3 Punkte)
  2. Die Galoisgruppe $ G\coloneqq\gal(K\vert\Q) $ ist eine Untergruppe von $ S_3 $ . (3 Punkte)
  3. $ G $ hat entweder $ 3 $ oder $ 6 $ Elemente. (3 Punkte)
  4. Sei $ \delta\coloneqq (\alpha_1-\alpha_2)(\alpha_1-\alpha_3)(\alpha_2-\alpha_3) $ , wobei $ \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in K $ die Nullstellen von $ P(X) $ sind. Dann gilt für $ \sigma\in G $ stets $ \sigma(\delta)=\delta $ oder $ \sigma(\delta)=-\delta $ . (3 Punkte)
  5. Gilt $ \sigma(\delta)=\delta $ für alle $ \sigma\in G $ , dann ist $ G $ zyklisch und hat Ordnung $ 3 $ . Andernfalls ist $ G=S_3 $ . (4 Punkte)

Tipps

Vergleiche Aufgabe 2 vom Übungsblatt Galoistheorie II.

Aufgabe 5

Wir schreiben $ C^\infty (\R) $ für den Ring (unter punktweise Addition und Multiplikation) und $ \R $ -Vektorraum der beliebig oft differenzierbaren reellen Funktionen.
Eine Funktion $ f\in C^\infty(\R) $ heißt $ D $ -finit, wenn der von $ f $ und allen Ableitungen $ f',f'',f''',\ldots $ erzeugte $ \R $ -Untervektorraum $ D(f) $ von $ C^\infty(\R) $ endlich-dimensional ist.
Zeigen Sie, dass die $ D $ -finiten Funktionen einen Unterringn von $ C^\infty(\R) $ bilden.

(14 Punkte)

Tipps

Wie sieht die Produktregel für die Ableitung eines Produktes aus $ n $ Faktoren aus?

Aufgabe 1

Wir betrachten die komplexen $ (2\times 2) $ -Matrizen \begin{equation*} E=\zmatrix 1 0 0 1,\quad A = \zmatrix {-i} 0 0 i,\quad B=\zmatrix 0 {-1} 1 0\quad\text{und}\quad C=\zmatrix 0 i i 0. \end{equation*} Weiter sei $ G=\{\pm E,\pm A,\pm B,\pm C\} $ .

  1. Zeigen Sie, dass $ G $ bezüglich der Matrixmultiplikation eine Gruppe ist. (5 Punkte)
  2. Bestimmen Sie alle Untergruppen von $ G $ . (5 Punkte)
  3. Welche Untergruppen sind Normalteiler von $ G $ ? (5 Punkte)

Aufgabe 2

Gegeben sei ein Element $ c $ aus einem kommutativen Ring $ R $ . Für $ a,b\in R $ definieren wir $ a\equiv b\mod c $ genau dann, wenn , wenn es ein $ d\in R $ gibt mit $ a-b=c\cdot d $ .

  1. Zeigen Sie, dass dies eine Äquivalenzrelation auf $ R $ definiert. (2 Punkte)
  2. Es sei nun $ R=\Z $ . Finden Sie alle Lösungen $ y\in\Z $ der Kongruenz \begin{equation*} 51y\equiv 34\mod 85. \end{equation*} (5 Punkte)
  3. Es sei nun $ R=\Q[X] $ . Finden Sie alle Lösungen $ f\in\Q[X] $ der simultanen Kongruenzen \begin{equation*} f\equiv 1\mod (X^2+1)\quad\text{und}\quad f\equiv X\mod (X^2-1). \end{equation*} (5 Punkte)
  4. Es sei wieder $ R=\Z $ . Ist die Kongruenz $ y^2+97y\equiv 3\mod 101 $ lösbar für $ y\in\Z $ ? (3 Punkte)

Tipps

Zu d). Verwende das Legendre-Symbol.

Aufgabe 3

Wir betrachten die Teilmenge $ R=\{a+bi\sqrt{2}\vert a,b\in\Z\} $ von $ \C $ .

  1. Zeigen Sie, dass $ R $ ein Unterring von $ \C $ ist. (2 Punkte)
  2. Beweisen Sie, dass $ R $ ein Euklidischer Ring ist bezüglich der Normfunktion $ d(\alpha)\coloneqq \lvert\alpha\rvert^2 $ . (5 Punkte)
  3. Geben Sie alle möglichen Faktorisierungen von $ 8-i\sqrt{2} $ in irreduzible Elemente von $ R $ an (bis auf Reihenfolge). (8 Punkte)
(6 Punkte)

Tipps
  • Zu b). Betrachte $ R $ nach a) als Teilmenge von $ \C $ und zeige, dass der maximale Abstand, den ein beliebiger Punkt in $ \C $ zum nächstgelegenen Punkt in $ R $ haben kann, kleiner als $ 1 $ ist. Nutze dies, um für beliebige $ 0\neq x,y\in R $ eine Darstellung $ x=qy+r $ , $ q,r\in R $ mit $ d(r)\lt d(y) $ zu finden, indem Du $ q $ als den nächstgelegenen Punkt aus $ R $ zum Punkt $ x/y\in \C $ wählst.
  • Zu c). Untersuche wieder, welche Normen mögliche Faktoren haben könnten, und bestimme die irreduziblen Elemente mit dieser Norm (falls es solche gibt). Berechne dann die Produkte der irreduziblen Faktoren mit passenden Normen.

Aufgabe 4

Sei $ L\subseteq\C $ der Zerfällungskörper des Polynoms $ x^3-\pi $ über dem Grundkörper $ K=\Q(\pi) $ . Sie dürfen im Folgenden verwenden, dass $ \pi $ ein über $ \Q $ transzendentes Element ist.

  1. Bestimmen Sie den Grad $ [L:K] $ . (5 Punkte)
  2. Bestimmen Sie alle Zwischenkörper $ K\subseteq F\subseteq L $ , indem Sie jeweils ein primitives Element $ \beta $ angeben mit $ F=K(\beta) $ . (7 Punkte)
  3. Welche dieser Zwischenkörper sind normale Erweiterungen von $ K $ ? (3 Punkte)

Tipps
Zu b) und c). Hauptsatz der Galoistheorie.