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Frühjahr 2013


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Aufgabe 1

Sei $S=\{n\in\Z\vert \text{ es gibt }x,y\in\Z\text{ mit }n=x^2-23y^2\}$. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

  1. Die Primzahl $97$ ist kein Element von $S$.\\ Hinweis: Sie können zum Beispiel das quadratische Reziprozitätsgesetz verwenden. (5 Punkte)
  2. Sind $a,b\in S$, dann ist auch $ab\in S$. (5 Punkte)

Tipps

Zu a). Schließe zuerst den Fall $\ggt(y,97)\neq 1$ aus.
Zu b). Lässt sich der Außdruck aus der Angabe mit dem Betrag einer Bestimmten komplexen Zahl (von dem ja bekannt ist, dass er multiplikativ ist) in Zusammenhang bringen?

Aufgabe 2

Sei $f=X^2-2\in\Q[X]$. Sei weiter $f_0=X$ und für $n\geq 1$ sei $f_n=f_{n-1}(f)=f(f_{n-1})$ das $n$-fach iterierte Polynom $f$, also $$f_1=X^2-2,\quad f_2=(X^2-2)^2-2,\quad f_3=((X^2-2)^2-2)^2-2\quad \text{usw.}$$ Zeigen Sie:

  1. Alle Polynome $f_n$ sind irreduzibel. (5 Punkte)
  2. Sei $z_n=e^{\pi/2^{n+1}}$ eine primitive $2^{n+2}$-te Einheitswurzel. Für $k$ ungerade ist $2\cos\frac{k\pi}{2^{n+1}}=z_n^k+z_n^{-k}$ eine Nullstelle von $f_n$. (5 Punkte)
  3. Die Galoisgruppe von $f_2$ über $\Q$ ist abelsch. (5 Punkte)

Tipps

Zu a). Induktion und Eisensteinkriterium.
Zu c). Lässt sich die Galoisgruppe als Untergruppe einer bekanntermaßen abelschen (Galois-)Gruppe auffassen?

Aufgabe 3

Sei $G=\slg(2,\F_7)=\{A\in\gl(2,\F_7)\vert\det(A)=1\}$ und $H=\left\{\zmatrix 1 a 0 1\middle\vert a\in\F_7\right\}$.

  1. Zeigen Sie, dass $H$ eine Untergruppe der Ordnung $7$ von $G$ ist. (3 Punkte)
  2. Zeigen Sie, dass $\slg(2,\F_7)$ Ordnung $336$ hat. (6 Punkte)
  3. Wie viele Untergruppen der Ordnung $7$ gibt es in $G$? (6 Punkte)

Tipps

Zu b). Wie lässt sich die Ordnung von $\slg(2,\F_7)$ aud der von $\gl(2,\F_7)$ durch den Homomorphiesatz erhalten?
Zu c). Sylowsätze.

Aufgabe 4

Sei $f\in\C[X]$ ein Polynom vom Grad $n\geq 1$. Zeigen Sie, dass es höchstens $n-1$ komplexe Zahlen $\alpha$ gibt, für die $f(X)-\alpha $ eine mehrfache Nullstelle hat.

(10 Punkte)

Tipps

Erinnere Dich, dass ein Polynom genau dann keine mehrfache Nullstelle besitzt, wenn es teilerfremd zu seiner Ableitung ist.

Aufgabe 5

Sei $M$ die Menge der $3\times 3$-Matrizen mit Einträgen aus $\C$, deren charakteristisches Polynom $(X-1)^3$ ist.

  1. Zeigen Sie: $\gl(3,\C)$ operiert durch Konjugation auf $M$: $P\ast A=PAP^{-1}$ für $P\in\gl(3,\C)$ und $A\in M$. (4 Punkte)
  2. Bestimmen Sie die Anzahl der Bahnen dieser Operation. (6 Punkte)

Tipps
  • Zu a).Um die Wohldefiniertheit zu zeigen, überlege Dir, dass das charakteristische Polynom von $PAP^{-1}$ wieder $1$ als einzige Nullstelle besitzt, indem Du dies für das Minimalpolynom zeigst, und verwendest, das Minimalpolynom und charakteristisches Polynom einer Matrix die selben Nullstellen besitzen.
  • Zu b).Begründe, dass jede Bahn eine eindeutige Jordan-Form zum einzigen Eigenwert $1$ enthält.

Aufgabe 1

Zeigen Sie, das alle Elemente der Faktorgruppe $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ endliche Ordnung besitzen.

Bestimmen Sie die Elemente endlicher Ordnung in den Faktorgruppen $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ und $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$.

(6 Punkte)

Aufgabe 2

Sei $q>1$ eine Potenz einer Primzahl $p$, und sei $F_q$ ein Körper mit $q$ Elementen. Sei $n$ eine natürliche Zahl, und sei $G=\gl_n(\F_q)$ die Gruppe der invertierbaren $n\times n$-Matrizen über $\F_q$.

  1. Zeigen Sie, dass die Gruppe $G$ von Ordnung $q^{\binom n 2}(q^n-1)\cdot(q^{n-1}-1)\cdots(q-1)$ ist.
  2. Zeigen Sie, dass die oberen Dreiecksmatrizen mit charakteristischem Polynom $(X-1)^n$ eine Sylowsche $p$-Untergruppe von $\gl_n(\F_q)$ bilden.
(6 Punkte)

Aufgabe 3

Sei $R$ ein Integritätsbereich und seien $x_1,\ldots,x_n$ und $a$ Elemente von $R$. Zeigen Sie: Ist $R$ faktoriell und $d$ ein größter gemeinsamer Teiler von $x_1,\ldots,x_n$, so ist $ad$ ein größter gemeinsamer Teiler von $ax_1,\ldots,ax_n$.

(6 Punkte)

Aufgabe 4

Sei $K=\F_5(\sqrt[4]{3})$. Zeigen Sie, dass $K$ eine Galoissche Erweiterung von $\F_5$ ist und bestimmen Sie ihre Galoissche Gruppe. Bestimmen Sie weiter den Verband der Zwischenkörper von $K$ über $\F_5$ (das heißt alle Zwischenkörper geordnet nach Inklusionen). Bestimmen Sie schließlich die Anzahl der primitiven Elemente der Erweiterung $K$ über $\F_5$.

(6 Punkte)

Tipps

Was sind die vierten Einheitswurzeln über $\F_5$ (Satz von Lagrange/Kleiner Satz von Fermat)? Verwende dann den Hauptsatz der Galoistheorie.

Aufgabe 5

Sei $L\supseteq K$ eine endliche, Galoissche Körpererweiterung. Sei $L'\supseteq K$ eine beliebige weitere Körpererweiterung von $K$. Zeigen Sie: Gibt es genau einen Ringhomomorphismus $\phi\colon L\rightarrow L'$ mit $\phi\vert _K=\id_K$, so ist schon $K=L$.

(6 Punkte)

Tipps

Überlege, wieso jeder Morphismus $\id\neq\varphi\in\aut_K(L)$ einen weiteren Ringmorphismus $\phi\neq\phi'\colon L\rightarrow L'$ liefert.

Aufgabe 1

Man konstruiere eine nicht-abelsche Gruppe der Ordnung $2013$.

Hinweis: Man verwende ein geeignetes semidirektes Produkt.

(6 Punkte)

Aufgabe 2

Seien $p$ und $q$ zwei verschieden Primzahlen, und seien $\xi \neq 0$, $\eta\neq 0$ Nullteiler im Restklassenring $R:=\mathbb{Z}/pq\mathbb{Z}$. Zeigen Sie: $$\xi\eta=0\quad\Leftrightarrow\quad\xi R+\eta R=R.$$

(6 Punkte)

Aufgabe 3

Beweisen Sie, dass jeder endliche Integritätsbereich ein Körper ist.
Hinweis: Man betrachte eine durch Multiplikation gegebene Abbildung.

(6 Punkte)

Tipps

Bei Verwendung des Hinweises: Wann genau ist die Abbildung $f_a\colon r\mapsto a\cdot r$ invertierbar?

Aufgabe 4

  1. Sei $\F_3$ der Körper mit drei Elementen. Man bestimme alle normierten, irreduziblen Polynome mit Grad $\leq 2$ in $\F_3[X]$.
  2. Ist $X^4+9X^2-2X+2$ in $\Q[X]$ irreduzibel?
(6 Punkte)

Tipps

Zu a).Zähle alle möglichen Polynome von Grad $\leq 2$ auf und teste auf Nullstellen in $\F_3$.

Aufgabe 5

Für $n\in\N$ bezeichne $\zeta_n\coloneqq e^{2\pi i/n}$ undn $k_n\coloneqq\kgv\{1,\ldots ,n\}$ das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen $1,\ldots,n$. Zeigen Sie, für alle $n\in\N$, die folgenden Formeln für die Grade von Körpererweiterungen:

  1. $[\Q(\zeta_1,\ldots,\zeta_n):\Q]=\phi(k_n)$, wobei $\phi$ die Eulersche $\phi$-Funktion bezeichnet.
  2. $[\Q(\sqrt[1]{2},\ldots, \sqrt[n]{2}):\Q]=k_n$.

(6 Punkte)

Tipps

Zu a).Zeige für zwei $a,b\in\N$ und prmitive $a$-te bzw. $b$-te Einheitswurzeln $\zeta_a,\zeta_b$, dass $r,s\in\Z$ existieren, so dass $\zeta_a^r\cdot\zeta_b^s=\zeta_{\kgv(a,n)}$ eine primitive $\kgv(a,b)$-te Einheitswurzel ist (Tipp hierzu: Erweiterter Euklidischer Algoroithmus).

Zu b).Gradformel.