Suche

Frühjahr 2012


$ \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\coloneqq}{:=} \newcommand{\eqqcolon}{=:} \newcommand{\legendre}[2]{\left(\frac{#1}{#2}\right)} \newcommand{\zmatrix}[4]{\left(\begin{matrix}#1&#2\\ #3&#4\end{matrix}\right)} \DeclareMathOperator{\gal}{Gal} \DeclareMathOperator{\mat}{Mat} \DeclareMathOperator{\ggt}{ggT} \DeclareMathOperator{\kgv}{kgV} \DeclareMathOperator{\id}{Id} \DeclareMathOperator{\modu}{mod} \DeclareMathOperator{\aut}{Aut} \DeclareMathOperator{\sym}{S} \DeclareMathOperator{\asym}{A} \DeclareMathOperator{\gl}{GL} \DeclareMathOperator{\discr}{disc} \DeclareMathOperator{\zerf}{Zerf} \DeclareMathOperator{\er}{ER} \DeclareMathOperator{\cha}{char} \DeclareMathOperator{\ord}{ord} \DeclareMathOperator{\syl}{Syl} \DeclareMathOperator{\slg}{SL} $

Aufgabe 1

Das Zentrum einer Gruppe $G$ ist die Menge $Z(G)=\{a\in G\vert \forall b\in G\colon a\cdot b=b\cdot a\}$. Bestimmen Sie das Zentrum der orthogonalen Gruppe $\mathscr{O}(2,\R)=\{A\in\gl_2(\R)\vert A^tA=E_2\}$ über den reellen Zahlen.

Tipps

Vielleicht genügt es schon, für ein beliebiges Element die Vertauschbarkeit mit einigen bestimmten Vertretern von $\mathscr{O}(2,\R)$ zu untersuchen?

Aufgabe 2

Zeigen Sie, dass in der symmetrischen Gruppe $S_5$ alle Untergruppen der Ordnung $8$ zur Diedergruppe $D_4$ (der Symmetriegruppe eines Quadrates) isomorph sind.

Tipps

Verwende die Sylowsätze!

Aufgabe 3

Die Teilmenge $R=\{q\in\Q\vert\exists\,a,b\in\Z\colon q=\frac{a}{b}\text{ und }2 \nmid b\text{ und }3 \nmid b\}$ des Körpers der rationalen Zahlen ist ein Unterring, der die ganzen Zahlen enthält.

  1. Bestimmen Sie die Einheiten-Gruppe $R^\times$.
  2. Zeigen Sie, dass $2$ und $3$ Primelemente von $R$ sind.
  3. Zeigen Sie, dass jedes Primelement entweder zu $2$ oder zu $3$ assoziiert ist. Begriff assoziiert: Zwei Elemente $x,y\in R$ sind zueinander assoziiert, wenn es eine Einheit $u$ gibt mit $x=u\cdot y$.)

Aufgabe 4

Gegeben ist das Polynom $P=X^2+3\cdot X+1\in\Z[X]$. Bestimmen Sie

  1. die Nullstellen von $P$ mod $5$,
  2. die Nullstellen von $P$ mod $11$,
  3. die Nullstellen von $P$ mod $11^2$,
  4. die Nullstellen von $P$ mod $605$.

Tipps
  • Zu c).Erinnere Dich an den Beweis von Hensels Lemma in den Übungen.
  • Zu d).Verwende den chinesischen Restsatz.

Aufgabe 5

Sei $K$ der Zerfällungskörper des Polynoms $X^5+5\in\Q[X]$. Seien $\alpha=\sqrt[5]{5}\in\R$, $\zeta=e^{\frac{2\pi}{5}\cdot i}$. Zeigen Sie:

  1. Der Körper $K$ wir von $\alpha$ und $\zeta$ über $\Q$ erzeugt.
  2. Die Erweiterung $\Q\subseteq K$ ist Galoissch, und $[K:\Q]=20$.
  3. Die Galoisgruppe $\gal(K\vert\Q)$ ist eine nichtabelsche Gruppe der Ordnung $20$.
  4. Die Galoisgruppe hat einen Normalteiler der Ordnung $5$.
  5. Die $2$-Sylow-Untergruppen der Galoisgruppe sind zyklisch mit Ordnung $4$.

Tipps
  • Zu c).Hauptsatz der Galoistheorie (Zusatz).
  • Zu d).Sylowsätze.
  • Zu e).Wiederum nach den Sylowsätzen genügt es hier, für eine Untergruppe der Ordnung $4$ zu zeigen, dass sie abelsch ist. Tipp: Betrachte $\gal(\Q(\zeta):\Q)$.

Aufgabe 1

Welche der folgenden Aussagen sind richtig bzw. falsch? Geben Sie jeweils eine kurze Begründung an:

  1. Die Gruppen $Z_6\times Z_{10}$ und $Z_2\times Z_{30}$ sind isomorph ($Z_n$ bezeichne dabei die zyklische Gruppe der Ordnung $n$).
  2. Die alternierende Gruppe $A_4$ ist eine einfache Gruppe.
  3. In der symmetrischen Gruppe $S_5$ sind alle Elemente der Ordnung $2$ konjugiert.
  4. In $\Z[X]$ ist $(X)$ ein Primideal.

Aufgabe 2

Es seien $G$ eine endliche Gruppe und $p$ eine Primzahl. Begründen Sie, dass die Anzahl der Elemente der Ordnung $p$ in $G$ durch $p-1$ teilbar ist, d.h. $$\lvert \{a\in G\vert \mathrm{ord}(a)=p\}\rvert =(p-1)\cdot k\text{ für ein }k\in\mathbb{N}.$$ (Hinweis: Betrachten Sie die Mengen $M_a=\{a,a^2,\ldots,a^{p-1}\}$ für $a\in G$ mit $\mathrm{ord}(a)=p$.)

Tipps

Zeige, dass die Menge aller Elemente der Ordnung $p$ disjunkt in Mengen wie die im Hinweis gegebene zerfällt.

Aufgabe 3

Bestimmen Sie alle Teiler von $6$ im Ring $\Z[\sqrt{-6}]=\{a+\sqrt{-6}b~\vert~ a,b\in\Z\}$.

Tipps

Definiere eine passende, multiplikative Normabbildung untersuche die Normen der möglichen Faktoren. (Beachte, dass $\Z[\sqrt{-6}]$ bezüglich dieser Norm vermutlich nicht euklidisch sein wird, was aber natürich hier nicht weiter stört.)

Aufgabe 4

Es sei $L\subseteq\C$ der Zerfällungskörper von $f=X^4+4X^2+2\in\Q[X]$.

  1. Begründen Sie, dass $f$ irreduzibel ist.
  2. Warum ist die Körpererweiterung $L/\Q$ Galoissch?
  3. Es sei $\alpha\in L$ eine Nullstelle von $f$. Begründen Sie, dass $\beta\coloneqq \alpha^3+3\alpha$ eine Nullstelle von $f$ ist.
  4. Begründen Sie, dass $\Q(\alpha)=L$ gilt.
  5. Wie viele Elemente enthält die Galoisgruppe $\gal(L\vert\Q)$?
  6. Ist die Galoisgruppe zyklisch? Begründen Sie Ihre Antwort. (Hinweis: Betrachten Sie den $\Q$-Automorphismus $\sigma$, der durch $\sigma(\alpha)=\beta$ gegben ist, und bestimmen Sie $\sigma^2(\alpha)$.

Tipps

Bedenke, dass die Nullstellen von $f$ von der Form $\{\pm\alpha,\pm\beta\}$ für geeignete $\alpha,\beta\in L$ sein müssen.

Aufgabe 1

In der Gruppe $G\coloneqq \gl_4(\C)$ betrachten wir die Teilmenge $$M\coloneqq \left\{ B\in\gl_4(\C)\middle\vert B^2=E_4\coloneqq\left(\begin{matrix}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{matrix}\right)\right\}.$$

  1. Zeigen Sie, dass alle Matrizen $B\in M$ diagonalisierbar sind.
  2. Zeigen Sie, dass die Operation $G\times M\rightarrow M,~(A,B)\mapsto ABA^{-1}$ von $G$ auf $M$ durch Konjugation wohldefiniert ist und die Menge $M$ in genau $5$ disjunkte Bahnen zerlegt.

Tipps

Zu a). Was hat die Diagonalisierbarkeit einer Matrix mit ihrem Minimalpolynom zu tun?
Zu b). Überlege Dir, dass die Bahnen gerade den möglichen verschiedenen (in geeignetem Sinne) Diagonalformen entsprechen (wie genau?).

Aufgabe 2

Sei $p\neq 2$ eine Primzahl, $\zeta\coloneqq \mathrm{exp}(2\pi i/p)\in\C$ und $\sqrt[p]{p}\in\R_{>0}$. Weiter sei $L$ der Zerfällungskörper des Polynomes $f(X)=X^p-p\in\C$ und $M$ der Zerfällungskörper des Polynomes $g(X)=X^{p^2}-1$ in $\C$. Zeigen Sie:

  1. $L=\Q(\zeta,\sqrt[p]{p})$.
  2. $[L:\Q]=[M:\Q]$.
  3. Die Galoisgruppe $\gal(L/\Q)$ ist nicht abelsch.
  4. Die Körper $L$ und $M$ sind nicht isomorph.

Aufgabe 3

Für welche $a,b\in\Q$ ist das Polynom $(X-1)^2$ ein Teiler von $f(X)\coloneqq aX^{30}+bX^{15}+1$?

Tipps

Überlege Dir, dass $(X-1)^2$ nach Definition genau dann ein Teiler ist, wenn $1$ eine doppelte Nullstelle ist. Wie wird eine doppelte Nullstelle charakterisiert?

Aufgabe 4

Sei $ R $ ein Integritätsring. Zeigen Sie: Ist $ R [ X ]$ ein Hauptidealring, so ist $ R $ ein Körper.

Aufgabe 5

Sei $L/K$ eine endliche Galoiserweiterung, $G\coloneqq \gal(L/K)$ die zugehörige Galoisgruppe, $\alpha\in L$ und $f(X)$ das normierte Minimalpolynom von $\alpha$ über $K$. Zeigen Sie, dass $$f(X)^{[L:K(\alpha)]}=\prod_{\sigma\in G}(X-\sigma(\alpha))$$ gilt.

Tipps

Betrachte das Polynom $p(X)=\prod_{g\in G}(X-g(\alpha))$ und zeige, dass sich $p$ schreiben lösst als $p(X)=q(X)^{[L:K(\alpha)]}$ für $q$ eine geeignete Auswahl aus den Linearfaktoren von $p$. Überlege schließlich noch, dass $q$ und $f$ dieselben Nullstellen und denselben Grad haben, also $g=f$ gelten muss.