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Frühjahr 2011


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Aufgabe 1

Sei $K\coloneqq\Q(\sqrt[3]{5})$. Geben Sie eine Basis von $K$ über $\Q$ an und die Darstellungsmatrix des Endomorphismus $$K\rightarrow K,\quad \sqrt[3]{5}\cdot x$$ bezüglich dieser Basis. Begründen Sie, warum diese Matrix über $\Q$ nicht diagonalisierbar ist. (5 Punkte)

Aufgabe 2

Sei $G$ eine endliche Gruppe. Die Ordnung von $g\in G$ bezeichnen wir mit $\mathrm{ord}(g)$. Es seien $a,b,c\in G$ mit folgenden Eigenschaften: Die Gruppe $G$ wird von $\{a,b,c\}$ erzeugt, das Element $a$ erzeugt das Zentrum von $G$, und es gilt $$bcb^{-1}c^{-1}=a.$$
  1. Berechnen Sie $b^ncb^{-n}c^{-1}$ für alle $n\in\mathbb{N}_0$.
  2. Zeigen Sie, dass $\mathrm{ord}(a)\vert\mathrm{ord}(b)$.
  3. Zeigen Sie, dass $b^{\mathrm{ord}(a)}$ im Zentrum von $G$ liegt.
  4. Folgern Sie hieraus $\mathrm{ord}(b)\vert(\mathrm{ord}(a))^2$. (8 Punkte)
(Hinweis: Das Zentrum einer Gruppe $G$ ist die Menge aller $x\in G$ mit $xg=gx$ für alle $g\in G$.)

Tipps

Zu a). Induktion über $n$.

Aufgabe 3

Sei $p$ eine ungerade Primzahl. Zeigen Sie, dass $$2^2\cdot 4^2\cdots(p-3)^2\cdot (p-1)^2\equiv (-1)^{\frac{1}{2}(p+1)}\mod p.$$ (Ohne Beweis darf der Wilson'sche Satz verwendet werden: Eine natürliche Zahl $n\geq 2$ ist genau dann eine Primzahl, wenn $(n+1)!+1$ durch $n$ teilbar ist.) (6 Punkte)

Tipps

Finde eine Bijektion zwischen geraden Zahlen $0\lt a\lt p$ und ungeraden Zahlen $0\lt b\lt p$ und verwende diese, um das Produkt $(p-1)!$ bis auf ein geeignetes Vorzeichen als Produkt gerader Zahlen auszudrücken.

Aufgabe 4

Sei $E/K$ eine Körpererweiterung mit $[E:K]=2^k$ für ein $k\in\N_0$. Sei $f\in K[X]$ ein Polynom vom Grade $3$, welches in $E$ eine Nullstelle besitzt. Zeigen Sie, dass $f$ in $K$ eine Nullstelle besitzt. (5 Punkte)

Tipps

Betrachte die Erweiterungen $K\subset K(a)\subset E$ und benutze die Gradformel.

Aufgabe 5

Sei $K$ ein endlicher Körper mit $q$ Elementen. Weiter sei $f\coloneqq X^q-X-a\in K[X]$ für ein $a\in K$. Sei $L$ ein Zerfällungskörper von $f$ über $K$. Sei $\alpha\in L$ eine Nullstelle von $f$. Zeigen Sie, dass die Menge der Nullstellen von $f$ durch $\{\alpha+\beta\vert\beta\in K\}$ gegeben ist und dass $K(\alpha)$ Glaois'sch über $K$ ist. (6 Punkte)

Tipps

Bedenke, dass $X^q-X-a$ (in einem algebraischen Abschluss von $K$) höchstens $q$ verschiedene Nullstellen haben kann, und dass $\lvert\{\alpha+\beta\vert\beta\in K\}\rvert=q$ gilt.

Aufgabe 1

Bestimmen Sie alle ganzzahligen Lösungen des folgendes Systems: $$\begin{aligned} x&\equiv 1\quad(\mathrm{mod}~2)\\ x&\equiv 2\quad(\mathrm{mod}~3)\\ x&\equiv 3\quad(\mathrm{mod}~5) \end{aligned}$$

(5 Punkte)

Tipps

Wie sieht die Umkehrabbildung zum Isomorphismus $\Z_{30}\overset{\sim}{\rightarrow}\Z_2\times\Z_3\times\Z_5$ aus dem chinesischen Restsatz aus?

Aufgabe 2

  1. Sei $P=\sum_{i=0}^na_iX^i\in\Z[X]$ ein Polynom mit $a_n\neq 0$. Zeigen Sie: Ist $\frac{p}{q}$ eine rationale Nullstelle von $P$, und sind $p$ und $q$ teilerfremde ganze Zahlen, dann gilt $q\vert a_n$ und $p\vert a_0$.
  2. Bestimmen Sie die rationalen Nullstellen und deren Multiplizitäten von $$P=X^4-2X^3+3X^2-4X+2$$ und zerlegen Sie $P$ in irreduzible reelle Polynome.
  3. Sei $Q_a=X^3+2X+a$. Bestimmen Sie alle $a\in\R$, so dass $P$ und $\Q_a$ teilerfremd in $\R[X]$ sind. (9 Punkte)

Tipps

Zu a).Vgl. Übungsblatt 'Polynome'.

Aufgabe 3

Sei $V\coloneqq \F_2^2$ der zweidimensionale Vektorraum d über dem Körper $\F_2$ mit zwei Elementen. Sei $$G\coloneqq \{v\mapsto Av+b\vert A\in\gl_2(\F_2),~b\in V\}$$ die Gruppe der affinen Abbildungen von $V$.
  1. Geben Sie alle Matrizen in $\gl_2(\F_2)$ an.
  2. Zeigen Sie die folgenden Isomorphismen: $G\simeq S_4$, $\gl_2(\F_2)\simeq S_3$. (Hierbei bedeutet $S_m$ die symmetrische Gruppe vom Grad $m$.)
  3. (8 Punkte)

Tipps

Zu b). Betrachte geeignete Gruppenwirkungen.

Aufgabe 4

Bestimmen Sie zwei irreduzible Polynome $f,g\in\Q[x]$, so dass die Galoisgruppen $\gal(f)$ und $\gal(g)$ gleich viele Elemente haben, aber nicht isomorph sind. (8 Punkte)

Tipps

Wähle beispielsweise ein Polynom mit abelscher und eines mit nicht abelscher Galoisgruppe (der gleichen Ordnung).

Aufgabe 1

Zeigen Sie: Eine ungerade Primzahl $p$ ist Teiler einer Zahl $n^2+1$ mit $n\in\N$ genau dann, wenn $p\equiv 1\mod 4$ gilt. (7 Punkte)

Tipps

Zeige, dass die Frage äuivalent dazu ist, ob $-1$ ein Quadrat ist modulo $p$. Um dies zu beantworten, kann das vom Übungsblatt 'Elementare Zahlentheorie' bekannte Eulerkriterium helfen.

Aufgabe 2

Zeigen Sie: Ist $G$ eine endliche Gruppe, so existiert eine natürliche Zahl $n$ derart, dass $G$ isomorph ist zu einer Untergruppe der alternierenden Gruppe $A_n$. (6 Punkte)

Tipps

Erinnere Dich an den Beweis, dass sich jede Gruppe $G$ mit $\lvert G\rvert =n$ als Untergruppe von $S_n$ auffassen lässt. Lässt sich dieser Beweis so modifizieren, dass man $G$ als Untergruppe von $A_{2n}$ auffassen kann?

Aufgabe 3

  1. Beweisen Sie, dass $$f(X)\coloneqq X^3+X^2-2X-1$$ in $\Q[X]$ irreduzibel ist.
  2. Zeigen Sie, dass $f$ eine reelle Nullstelle $\alpha$ im offenen Intervall $]1,2[$ besitzt.
  3. Zeigen Sie, dass neben $\alpha$ auch $-\frac{1}{\alpha+1}$ Nullstelle von $f$ ist.
  4. Folgern Sie, dass $\Q(\alpha)$ ein Zerfällungskörper von $f$ ist.
  5. Wie viele Elemente enthält die Galoisgruppe von $f$ über $\Q$? (10 Punkte)

Tipps

Zu d).Sind $\alpha,\beta,\gamma$ die Nullstellen von $f$, so überlege Dir, dass $\Q(\alpha,\beta,\gamma)=\Q(\alpha,\beta)$ gilt.

Aufgabe 4

Es sei $L/K$ eine algebraische Körpererweiterung und $\sigma\colon L\rightarrow L$ ein $K$-Endomorphismus von $L$, also $\sigma\vert_K=\id_K$. Beweisen Sie, dass $\sigma$ ein $K$-Automorphismus von $L$ ist. (7 Punkte)

Tipps

Für ein $a\in L$ betrachte dessen Minimalpolynom über $K$. Welche Werte kann $\sigma(a)$ annehmen?