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Frühjahr 2010


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Aufgabe 1

Sei $G$ eine endliche einfache Gruppe und $H$ eine echte Untergruppe vom Index $k>2$ in $G$. Zeigen Sie, dass die Gruppenordnung $\lvert G\rvert $ von $G$ ein Teiler von $k!/2$ ist. (6 Punkte)

Tipps
Betrachte die Wirkung von $G$ auf $G/H$, die durch $(g,aH)\mapsto (ga)H$ gegeben ist und begründe, wieso der zugehörige Gruppenmorphismus $G\rightarrow S_{\lvert G/H\rvert }$ injektiv ist (und sein Bild in $A_{\lvert G/H\rvert }$ liegt. (Die Tatsache, dass $G$ einfach ist, ist hierbei wesentlich!)

Aufgabe 2

Sei $L/K$ die quadratische Köpererweiterung mit $L=K[X]/(X^2-a)$ mit $a\in K^{\times}\setminus (K^{\times})^2$, d.h. $a\neq b^2$ für alle $b\in K^\times$. Geben sie alle normierten quadratischen Polynome $f(X)\in K[X]$, so dass es einen Körperisomorphismus $K [X]/(f(X))\overset{\sim}{\rightarrow}L$ über $K$ gibt. (6 Punkte)

Tipps
Mögliche Variante: Reduziere das Problem auf den Fall, dass $f$ von der Form $X^2-b$ für ein $b\in K^\times\setminus(K^\times)^2$ ist. Bedenke dazu, dass ein $f(X)\in K [X]$ genau dann irreduzibel ist, wenn $f(X-e)$ irreduzibel ist, für alle $e\in K$, und dass außerdem $K [X]\rightarrow K [X],\quad X\mapsto X-e$ ein Isomorphismus von Ringen ist für alle $e\in K$ (der $f(X)$ auf $f(X-e)$ abbildet).

Aufgabe 3

Sei $\F_2$ der Körper mit $2$ Elementen und sei $K=\F_2[X]/(X^2+X+1)$.
  1. Zeigen Sie, dass $K$ ein Körper ist.
  2. Sei $f(X)\in\F_2[X]$ ein normiertes Polynom von Grad $\leq 5$. Gelte $f(0)\neq 0$, $f(1)\neq 0$ und $f(a)\neq 0$, wobei $a\in K$ eine Nullstelle von $X^2+X+1$ ist. Zeigen Sie, dass $f(X)$ irreduzibel ist.
  3. Zeigen Sie, dass $X^5+5X^4+3X^2+X+1$ in $\Q[x]$ irreduzibel ist.
(6 Punkte)

Tipps
Zu b).Überlege Dir, in welche Faktoren $f$ grundsätzlich zerfallen könnte.

Aufgabe 4

Sei $\zeta=\zeta_{11}\in\C$ eine primitibe $11$-te Einheitswurzel. Dann ist $\Q(\zeta)$ über $\Q$ Galoissch mit Galoisgruppe $(\Z/11\Z)^\ast\simeq\gal(\Q(\zeta)/\Q)$.
  1. Geben Sie $\tau,\sigma\in\gal(\Q(\zeta)/\Q)$ an, mit $\lvert\langle\tau\rangle\rvert=2$ und $\lvert\langle\sigma\rangle\rvert = 5$.
  2. Geben Sie $\alpha,\beta\in\Q(\zeta)$ an, mit $[\Q(\alpha):\Q]=5$ und $[\Q(\beta):\Q]=2$.
(6 Punkte)

Tipps
Zu b).Erinnere Dich an die explizite Form der Bijektion aus dem Hauptsatz der Galoistheorie. Bedenke außerdem: Ist $K\subset L$ eine endliche Erweiterung von Primgrad $[L:K]=p$, so ist $L=K(a)$ für jedes $a\in L\setminus K$ (Gradformel).

Aufgabe 5

Sei $D_6$ die Diedergruppe der Ordnung $12$, sei $A_4$ die alternierende Gruppe und sei $G$ die von $a$ und $b$ erzeugte Gruppe, wobei $a$ die Ordnung $3$ und $b$ die Ordnung $4$ hat und $bab^{-1}=a^2$ gilt. Zeigen Sie, dass diese $3$ Gruppen paarweise nicht isomorph sind. (6 Punkte)

Tipps
Mögliche Variante: Betrachte Element-Ordnungen.

Aufgabe 1

Zeigen Sie, dass es bis auf Isomorphie nur zwei Gruppen der Ordnung $99$ gibt. (6 Punkte)

Tipps
Sylowsätze und Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen. Kann es nicht-abelsche Gruppen der Ordnung $99$ geben?

Aufgabe 2

  1. Sei $G$ eine endliche Gruppe und sei $H$ eine echte Untergruppe von $G$ (d.h. $H\neq G$). Zeigen Sie: $$G\neq \bigcup_{x\in G}xHx^{-1}.$$
  2. Sei $G:=GL(2,\mathbb{C})$ die Gruppe der invertierbaren komplexen $2\times 2$-Matrizen und sei $H\subset G$ die Untergruppe der oberen Dreiecksmatrizen, d.h. $$H:=\{\left(\begin{matrix} a&b\\ c&d\end{matrix}\right) \in G\vert c=0\}.$$ Zeigen Sie: $$G=\bigcup_{x\in G}xHx^{-1}.$$
(6 Punkte)

Tipps
  • Zu a). Wieviele verschiedene Mengen der Form $xHx^{-1}$ gibt es? Sind diese disjunkt?
  • Zu b). Eine Möglichkeit: Wie lässt sich eine solche Matrix auf Jordansche Normalform bringen?

Aufgabe 3

Betrachten Sie die Gaußschen Zahlen $$\Z[i]\coloneqq\{a+ib\in\C\vert a,b\in\Z\}$$ mit der Normabbildung $N\colon\Z[i]\rightarrow\N,~N(z)\coloneqq z\overline z$. $\overline z$ steht dabei für die zu $z$ konjugierte Zahl.
  1. Zeigen Sie: $z\in(Z[i])^\ast\coloneqq\{z\in\Z[i]\vert z\text{ ist invertierbar }\}\Leftrightarrow N(z)=1$.
  2. Sei $q\in\Z[i]$, so dass $N(q)$ eine ungerade Primzahl ist. Zeigen Sie: $q$ ist ein Primelement in $\Z[i]$ und für alle $\epsilon\in(\Z[i])^\ast$ gilt: $q\neq\epsilon\overline q$.
(6 Punkte)

Aufgabe 4

  1. Sei $f\coloneqq X^4+a_1X^3+a_2X^2+a_3X+a_4\in\Z[X]$. Seien $a_1,a_4$ ungerade und $a_2,a_3$ entweder gerade oder beide ungerade. Zeigen Sie: $f$ ist irreduzibel.
  2. Sei $K$ ein Körper. Ist $f=Y^3+XY^2+X^3+X^2Y+X\in K[X,Y]$ irreduzibel? Begründen Sie Ihre Antwort!
(6 Punkte)

Tipps
  • Zu a). Reduktionskriterium.
  • Zu b). Eisenstein-Kriterium.

Aufgabe 5

Sei $E/K$ eine endliche Galoiserweiterung und sei $\alpha\in E$, so dass $\sigma(\alpha)\neq\alpha$ für alle $1\neq \sigma\in\gal(E/K)$.
Zeigen Sie: $\alpha$ ist ein primitives Element von $E/K$. (6 Punkte)

Tipps
Verwende den Hauptsatz der Galoistheorie, zusammen mit $\sigma(\alpha)=\alpha\Leftrightarrow \sigma\in\gal(E\vert K(\alpha))$.

Aufgabe 1

Berechnen Sie alle rationalen Nullstellen der reellen Funktion $$f(x)=x^5+x^4-2.$$ Begründen Sie insbesondere, dass es über die von Ihnen angegebenen Nullstellen hinaus keine weiteren rationalen Nullstellen gibt. (5 Punkte)

Tipps
Aufgabe 3 vom Übungsblatt 'Polynome'.

Aufgabe 2

Sei $R$ ein endlicher kommutativer Ring mit Einselement. Zeigen Sie, dass jedes Element aus $R$ entweder Einheit oder Nullteiler ist. (5 Punkte)

Aufgabe 3

Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen $n$ derart, dass die symmetrische Gruppe $S_n$ eine Untergruppe mit Index $3$ hat. (5 Punkte)

Tipps
Untersuche die Fälle für $n\leq 4$ einzeln. Für $n\geq 5$ nimm dann an, dass $S_n$ eine Untergruppe $U$ mit Index $3$ hätte und betrachte die Wirkung von $S_n$ auf $S_n/U$ durch Linkstranslation, entsprechend einem Gruppenmorphismus $S_n\rightarrow S_3$. Der Kern diese Morphismus' liegt nach Konstruktion in $U$. Führe hieraus einen Widerspruch zu $[S_n:U]=3$ herbei (während des Beweises wird hilfreich sein, dass $A_n$ für $n\geq 5$ einfach ist).

Aufgabe 4

Sei $p$ eine Primzahl, $G$ eine endliche $p$-Gruppe und $N$ ein Normalteiler in $G$ der Ordnung $p$. Zeige, dass $N$ im Zentrum von $G$ liegt. (5 Punkte)

Tipps
Erinnere Dich an die Idee für den Beweis, dass das Zentrum einer $p$-Gruppe nicht trivial ist (Betrachte eine passende Gruppenwirkung durch Konjugation und verwende die Bahnengleichung).

Aufgabe 5

Das Polynom $$f=X^4-2aX^2+b\in\Q[X]$$ sei irreduzibel, und $L$ bezeichne seinen Zerfällungskörper in $\C$. Ferner sei $$K\coloneqq \Q(\sqrt{a^2-b}).$$ Beweisen Sie:
  1. Ist $[L:\Q]=4$, so ist $\sqrt b\in K$.
  2. Ist $\sqrt b\in\Q$, so ist $\gal(L\vert\Q)\simeq\Z_2\times\Z_2$.
  3. Ist $\sqrt b\in K\setminus \Q$, so ist $\gal(L\vert\Q)\simeq\Z_4$.
  4. $\sqrt 2+\sqrt 3$ ist ein primitives Element der Körpererweiterungn $\Q(\sqrt 2,\sqrt 3)/\Q$.
  5. Welche Struktur hat die Galoisgruppe $\gal(\Q(\sqrt 2,\sqrt 3)\vert\Q)$?
(10 Punkte)

Tipps
  • Zu a).Wie lässt sich $\sqrt{b}$ durch die Nullstellen von $f$ ausdrücken? Ist $[L:\Q]=4$, so muss $L=\Q(\alpha)$ sein für eine Nullstelle $\alpha$ von $f$. Beschreibe die vier Elemente von $\gal(L\vert\Q)$ explizit durch ihre Wirkungen auf die Nullstellen von $f$. Drücke auch $\sqrt{a^2-b}$ durch die Nullstellen von $f$ aus und zeige, dass ein $\sigma\in\gal(L\vert\Q)$, welches $\sqrt{a^2-b}$ fest lässt, auch $\sqrt{b}$ fest lässt.
  • Zu b) und c).>Hier kann die explizite Beschreibung der Galoisgruppe aus a) helfen. Bedenke, dass eine Gruppe von Ordnung $4$ genau dann isomorph zu $\Z_4$ ist, wenn sie mindestens ein (dann genau zwei) Element der Ordnung $4$ enthält.