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Galerie „Mathe? — Einfach schön!”


Vektor-Grafiken

Die folgende Seite liefert Linklisten zu Vektor-Grafiken, die mit verschiedenen Algorithmen erzeugt wurden. Die beteiligten Punkte liegen auf vorgegebenen Kurven. Durch die Verbindung zu einem Polygon, das als Linie oder Fläche mehrfach in verschiedenen Farben gezeichnet und dabei in Größe und/oder Lage verändert wird, entstehen die vorliegenden Bilder. Ein Klick auf ein kleines Bild führt zur größeren Version.

Dateinamen, die den Text '-lw' enthalten, deuten auf Bilder mit variierter Linienstärke ('lw'='linewidth') hin.

Eine weitere Galerie-Seite für →Raster-Grafiken (jeder Punkt im Bild erhält eine separat berechnete Farbe) enthält nur eine kleine Auswahl der Bilder, aus denen für die Ausstellung ausgewählt wurde: es sind insgesamt mehrere Tausend!

Etliche Bilder einer Serie unterscheiden sich lediglich in der Farbgebung, z.B. rot-gold statt grün-gold. Es gibt aber auch Unterschiede in der Helligkeitsverteilung, denn jeder Farbwert (Rot-, Grün- und Blau-Anteil, jeweils im Intervall [0,1]) wurde einer Transformation (sqr, id oder sqrt) unterzogen. Durch die Quadrierung des Farbwertes wird das Bild dunkler als im untransformierten Original, die Wurzel hingegen macht es heller.

 
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Asterisk

Einem 2n-Eck werden abwechselnd ein großer und ein kleinerer Radius zugewiesen, wodurch ein 'Stern' (engl. Asterisk) entsteht. Der Stern wird flächig gezeichnet ('fill'). Durch wiederholte Verringerung des großen Radius mit anschließendem Zeichnen in leicht veränderter Farbe entsteht ein Ring von bunten Vierecken, der einen einfarbigen, kleineren Stern umgibt. Diese Konstruktion wird mit dem inneren Stern wiederholt, bis als Rest nur noch ein Gebilde aus n Strahlen im Inneren übrig bleibt. Eine weitere Variation ergibt sich durch sukzessive Drehung des Koordinatensystems nach jedem Schritt.
Asterisk-bw_01.jpg Asterisk-bw_02.jpg Asterisk-bw_03.jpg Asterisk-bw_04.jpg Asterisk-bw_05.jpg
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Asterisk-bw_16.jpg Asterisk-bw_17.jpg Asterisk-bw_18.jpg Asterisk_01.jpg Asterisk_02.jpg
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Asterisk_40.jpg Asterisk_41.jpg Asterisk_42.jpg Asterisk_43.jpg Asterisk_44.jpg
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Asterisk_59.jpg Asterisk_60.jpg Asterisk_61.jpg Asterisk_62.jpg Asterisk_63.jpg
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Asterisk_69.jpg Asterisk_70.jpg Asterisk_71.jpg Asterisk_72.jpg  

Cross

Die Punkte von vier Viertel-Ellipsen sowie die Eck- und der Mittelpunkt eines Rechtecks bilden die Konstruktionsbasis für die Kreuz-Bilder (engl. Cross). Jeweils wird ein Viereck aus Rechteck-Mittelpunkt, einem Seiten-Mittelpunkt, einem Seiten-Eckpunkt und einem Ellipsen-Punkt einfarbig gefüllt.
Cross-bw_01.jpg Cross-bw_02.jpg Cross-bw_03.jpg Cross-bw_04.jpg Cross-bw_05.jpg
Cross-bw_06.jpg Cross-bw_07.jpg Cross-bw_08.jpg Cross-bw_09.jpg Cross-bw_10.jpg
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Epizykel

Zur Konstruktion eines Epizykels werden zwei Kreis-Konstrukte miteinander überlagert:
    (x,y) = (a·cos(na·t)+b·cos(to+nb·t),a·sin(na·t)+b·sin(to+nb·t)).
Dies war lange Zeit der theoretische Ansatz zur Erklärung der von der Erde aus beobachteten Planetenbewegungen, bis diese Theorie aufgrund verbesserter Messungen nicht mehr haltbar blieb. Ein solcher Epizykel (die Parameter sind so gewählt, daß die Kurve geschlossen ist) wird mit dem Even-Odd-Algorithmus gefüllt. Wiederholung mit Verkleinerung des Hauptradius a und leichter Drehung des Koordinatensystems ergibt das Bild. Als Alternative werden die Epizykel nicht gefüllt, sondern mit geringer werdender Stärke als Linien gezeichnet. Die Resultate zeigen zwar auch 'Löcher', sehen aber dennoch anders aus als even-odd-gefüllt.
Epizykel-lw_01.jpg Epizykel-lw_02.jpg Epizykel-lw_03.jpg Epizykel-lw_04.jpg Epizykel-lw_05.jpg
Epizykel-lw_06.jpg Epizykel-lw_07.jpg Epizykel-lw_08.jpg Epizykel-lw_22.jpg Epizykel-lw_23.jpg
Epizykel-lw_24.jpg Epizykel-lw_26.jpg Epizykel-lw_27.jpg Epizykel-lw_28.jpg Epizykel-lw_29.jpg
Epizykel-lw_30.jpg Epizykel-lw_31.jpg Epizykel-lw_32.jpg Epizykel-lw_33.jpg Epizykel-lw_34.jpg
Epizykel-lw_41.jpg Epizykel-lw_42.jpg Epizykel-lw_52.jpg Epizykel-lw_53.jpg Epizykel_01.jpg
Epizykel_02.jpg Epizykel_03.jpg Epizykel_04.jpg Epizykel_05.jpg  

Eye

Eine Ellipse wird flächig gefüllt. Die große Halbachse wird wiederholt verkleinert und die resultierende Ellipse -mit anderer Farbe- wieder gefüllt. Nach einigen derartigen Schritten ist aus der großen Halbachse die kleinere geworden, und das Verfahren wird mit vertauschten Rollen der Halbachsen wiederholt. Die Konstruktion ähnelt insofern dem 'Asterisk'.
Eye-lw_01.jpg Eye-lw_02.jpg Eye-lw_03.jpg Eye-lw_04.jpg Eye-lw_05.jpg
Eye-lw_14.jpg Eye-lw_17.jpg Eye-lw_18.jpg Eye-lw_19.jpg Eye-lw_20.jpg
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Eye-lw_36.jpg Eye-lw_37.jpg Eye-lw_38.jpg Eye-lw_39.jpg Eye-lw_40.jpg
Eye-lw_41.jpg Eye-lw_42.jpg Eye-lw_43.jpg Eye_01.jpg Eye_02.jpg
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Lissajous

Eine Lissajous-Figur wird mit dem Even-Odd-Algorithmus gefüllt. Dies wird mit schwindendem Radius und wechselnden Farben wiederholt.
Lissajous-Figur: (x,y) = (a·cos(na·t),b·sin(nb·t))
Even-Odd-Algorithmus: Beim 'Füllen' eines Polygons stellt sich für jeden Bildpunkt die Frage, ob er innerhalb oder außerhalb des Polygons liegt; nur die inneren Punkte werden farbig markiert. Ein möglicher Algorithmus sagt: „Ein Punkt liegt innen, wenn jeder Weg ins Unendliche das Polygon queren muß” (das Polygon bildet um den Punkt herum eine geschlossene Linie). Der Even-Odd-Algorithmus hingegen zählt die Schnittpunkte eines beliebigen, vom Punkt ausgehenden Strahls mit dem Polygon: ist die Anzahl gerade, liegt der Punkt außerhalb, ist sie ungerade, liegt er innerhalb. Dadurch kann die flächige Füllung eines Polygons 'Löcher' bekommen, wenn sich das Polygon selbst schneidet.
Lissajou-lw_01.jpg Lissajou-lw_02.jpg Lissajou-lw_03.jpg Lissajou-lw_04.jpg Lissajou-lw_05.jpg
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Permucur

Die Konstruktion folgt dem Prinzip der 'verliebten Mäuse': jedem Punkt einer n-elementigen Menge wird als Zielpunkt ein anderer dieser Punkte zugeordnet. Das Polygon aus den n Punkten (deren Reihenfolge insofern eine Rolle spielt) wird flächig gefüllt. Anschließend wandern die Polygon-Punkte entsprechend den 'Sympathie-Vorgaben' aufeinander zu, wodurch sich ein anderes Polygon ergibt, das in leicht modifizierter Farbe gefüllt wird.
Permucur_01.jpg Permucur_02.jpg Permucur_03.jpg Permucur_04.jpg Permucur_05.jpg
Permucur_06.jpg Permucur_07.jpg Permucur_08.jpg Permucur_09.jpg Permucur_10.jpg
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Permucur_16.jpg        

Polyzykel

Die Punkte eines regelmäßigen n-Ecks werden nach Art eines Pentagramms zum Polygon verbunden und mehrfach unter Änderung der Farbe und Drehung des Koordinatensystems mit dem Even-Odd-Algorithmus gezeichnet.
Polyzykel_01.jpg Polyzykel_02.jpg Polyzykel_03.jpg Polyzykel_04.jpg Polyzykel_05.jpg
Polyzykel_06.jpg Polyzykel_07.jpg Polyzykel_08.jpg Polyzykel_09.jpg Polyzykel_10.jpg

Sphere

Der Kugel-Effekt (engl. Sphere) entsteht durch wiederholtes Zeichnen eines Kreises mit schwindendem Radius und leicht modifizierter Farbe, wobei der Mittelpunkt der Kreise so verändert wird, daß alle Kreise innerhalb des Basis-Kreises liegen. Diese Kugel-Konstruktion wird unter Verwendung eines Zufallsgenerators zur Steuerung von Basis-Koordinaten und -Radius wiederholt, wobei die zuerst gezeichneten Kugeln größer sein dürfen als die letzten.
Sphere_01.jpg Sphere_02.jpg Sphere_03.jpg Sphere_04.jpg Sphere_05.jpg
Sphere_06.jpg Sphere_07.jpg Sphere_08.jpg Sphere_09.jpg Sphere_10.jpg
Sphere_11.jpg Sphere_12.jpg Sphere_13.jpg Sphere_13b.jpg Sphere_13c.jpg
Sphere_14.jpg Sphere_14b.jpg Sphere_14c.jpg Sphere_14d.jpg Sphere_15.jpg
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Torus

Analog zu 'Sphere' werden nicht Kugeln, sondern Ringe gezeichnet. Ein perspektivischer Effekt ist hierbei jedoch -konstruktionsbedingt- nicht erzielbar.
Torus_01.jpg Torus_02.jpg Torus_03.jpg    

Twirl

Dies ist eine einfache Variante des 'Permucur'-Projekts: Ausgangs-Punktmenge ist ein regelmäßiges n-Eck, und die Punkte bewegen sich auf ihren direkten Nachbarn (alle in einer Richtung) zu.
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Twirl-lw_06.jpg Twirl-lw_07.jpg Twirl-lw_08.jpg Twirl-lw_09.jpg Twirl-lw_10.jpg
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Raster-Grafiken

Analog zu den obigen Mustern der ver­schie­denen Vektor-Grafik-Algo­rith­men, die bei­nahe alles zeigen, was bisher damit er­zeugt wurde, gibt es eine weitere Web-Seite, die Muster von Raster-Algo­rith­men zeigt. Da einige davon 'in Serie' gelau­fen sind, um be­son­ders an­spre­chende Para­meter aus­suchen zu können, wäre eine Gesamt-Prä­sen­ta­tion an dieser Stelle zu umfang­reich, und es werden nur kleine Aus­wah­len davon ge­zeigt. Einige Algo­rith­men sind auch noch ent­spre­chend auf­zu­be­rei­ten, was dem­nächst in Angriff genom­men wird. Der­zeit exis­tiert die ver­spro­chene Aus­wahl ledig­lich für den Algo­rith­mus Ratio­nale Funk­tion.

 

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Augsburg, den 15. Juli 2010