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Die Bilder des Typs 'Rationale Funktion' zeigen jeweils eine komplexwertige Funktion eines komplexen Parameters z. Es werden hier Rationale Funktionen (Brüche mit Polynomen in Zähler und Nenner) dargestellt, da sie sowohl Nullstellen als auch Pole aufweisen; beide Punkt-Typen sind für den Mathematiker im Fachgebiet Funktionentheorie (Analysis komplexer Funktionen) besonders interessant.

 

Polynom

Nullstellen-Muster der folgenden Bilder Die Bilder dieser Seiten verwenden die Funktionen p(z) = cp·Π(z-zi){i=0..5} und q(z) = cq·Π(z-zi){i=6..10}. Dabei ist der Parameter z eine komplexe Zahl, die aus den kartesischen Koordinaten eines Bildpunktes gebildet wird. Die Nullstelle z0 des Polynoms p liegt im Ursprung; die anderen fünf mit den Indizes 1 bis 5 liegen gleichmäßig auf einem Kreis darum herum. Die Nullstellen z6 bis z10 des Polynoms q liegen gleichmäßig auf einem Kreis mit halbem Radius des p-Kreises und gegen diesen um 36° gedreht. Die Konstanten cp und cq wurden hier auf den Wert 1 gesetzt.

 

Rationale Funktion und Pol

Besteht der definierende Term einer Funktion aus einem Bruch, dessen Zähler und Nenner Polynome sind, spricht man von einer rationalen Funktion. Ein komplexes Polynom läßt sich stets in der Form schreiben, in der p und q oben gegeben sind, also (im wesentlichen) als Produkt der Terme „z minus Nullstelle zi”, und durch die Angabe des konstanten Faktors c und der Nullstellen ist es (bis auf deren Reihenfolge) sogar eindeutig beschrieben. Falls Zähler- und Nenner-Polynom identische Nullstellen besitzen, kann man diese Polynom-Faktoren aus dem Bruch herauskürzen, und der Einfachheit halber setzen wir voraus, daß dies bei den dargestellten rationalen Funktionen bereits geschehen ist.
Wie bei den 'normalen' reellen Zahlen auch ist bei den komplexen Zahlen die Division durch die (komplexe) Null nicht definiert; Nullstellen des Nenners sind daher aus dem Definitionsbereich der Funktion auszunehmen. Nähert man sich auf einem beliebigen Weg einer solchen Stelle, wird der Betrag des Funktionswertes beliebig groß; solche Stellen werden Pole genannt.

 

Grafiken

Darstellungen von komplexen Zahlen: Real- und Imaginärteil bzw. Betrag und Winkel(„Argument”) Jede komplexe Zahl z der Zeichen­fläche wird mit der Funk­tion f (gegeben als p, 1/p, p/q oder q/p) abge­bil­det auf den Punkt fz = f(z); dieser ist eben­falls eine kom­plexe Zahl mit (in karte­si­schen Koor­di­naten) Real- und Ima­gi­när­teil: fz = xz + i·yz. Alter­nativ kann man diese Zahl in Polar­koor­di­naten schrei­ben: fz = rz · ( cos(φz)+i·sin(φz) ). Von diesen 4 Kompo­nen­ten einer kom­ple­xen Zahl (je 2 für jede der beiden Dar­stel­lun­gen) ist allein das 'Argument' φ, der Winkel zwischen der posi­tiven Real-Achse x und einem Strahl vom Ursprung in Rich­tung fz, beschränkt. Diese Kompo­nente kann daher linear auf das Inter­vall [0,1] trans­for­miert werden, das wie­derum auf ein Farben­spektrum abge­bildet wird; in dieser Farbe wird z auf dem Bild ge­zeich­net. Jede der ande­ren drei mög­li­chen Kompo­nen­ten ist unbe­schränkt. Daher ist eine line­are Umset­zung der Art 'je größer der Wert, desto heller (oder dunkler) wird der Punkt' nicht sinn­voll; selbst eine loga­rith­mi­sche Ska­lie­rung hilft nicht viel, da der Mensch nur ca. 70 Hellig­keits­stufen einer Farbe unter­schei­den kann. Statt­dessen wird eine (meist perio­dische) Funk­tion zwi­schen­ge­schal­tet, die auf das Inter­vall [0,1] abbil­det. Mit wei­te­ren Trans­for­ma­tionen kann man hell und dunkel ver­tau­schen ('Inver­sion': 1-v statt v) oder die hellen bzw. dunklen Regio­nen aus­deh­nen oder zu Linien zusam­men­ziehen ('Expo­nen­tia­tion': vc statt v mit einer posi­ti­ven reel­len Kon­stan­ten c). Eine andere oft ver­wen­dete Trans­for­ma­tion des unbe­schränk­ten Berei­ches (also rela­tiv früh in der Kette anzu­wen­den) ist das Loga­rith­mie­ren. Deren Ergeb­nis ist zwar eben­falls unbe­schränkt, aber sie hebt sowohl Null­stel­len als auch Pole (Punkte mit unbe­schränk­tem Betrag des Funk­tions­wertes) heraus, und beide Punkt-Typen sind mathe­ma­tisch beson­ders inter­es­sant.

Die folgen­den Tabel­len zeigen eine kleine Aus­wahl von Ein-Kompo­nen­ten-Dar­stel­lun­gen der oben genann­ten ratio­nalen Funk­tio­nen. Man be­achte: ein Poly­nom ist eben­falls eine 'ratio­nale Funk­tion'; der Nenner ist das kon­stante Poly­nom mit dem Wert 1.

Polynom p(z)
 
Realteil
p5a-re-BY.png p5a-re-mod-04-GoR.png p5a-re-mod-08-GoB.png p5a-re-mod-16-GoM.png
Imaginärteil
p5a-im-BY.png p5a-im-mod-08-GoC.png p5a-im-mod-10-GoG.png p5a-im-mod-15-SiC.png
Betrag
p5a-abs-mod-02-GoC.png p5a-abs-mod-03-Si40C.png p5a-abs-mod-04-GoM.png p5a-abs-mod-08-GoG.png
Argument
p5a-arg-mod-072-BY.png p5a-arg-mod-072-GoR.png p5a-arg-GoG.png p5a-arg-mod-180-GoB.png

 

Rationale Funktion 1/p(z)
 
Realteil
p5i-re-BY.png p5i-re-mod-04-GoR.png p5i-re-mod-08-GoB.png p5i-re-mod-16-GoM.png
Imaginärteil
p5i-im-BY.png p5i-im-mod-08-GoC.png p5i-im-mod-10-GoG.png p5i-im-mod-15-SiC.png
Betrag
p5i-abs-mod-02-GoC.png p5i-abs-mod-03-Si40C.png p5i-abs-mod-04-GoM.png p5i-abs-mod-08-GoG.png
Argument
p5a-arg-mod-072-BY.png p5a-arg-mod-072-GoR.png p5a-arg-GoG.png p5a-arg-mod-180-GoB.png

 

Rationale Funktion p(z)/q(z)
 
Realteil
r5a-re-BY.png r5a-re-mod-04-GoR.png r5a-re-mod-08-GoB.png r5a-re-mod-16-GoM.png
Imaginärteil
r5a-im-BY.png r5a-im-mod-08-GoC.png r5a-im-mod-10-GoG.png r5a-im-mod-15-SiC.png
Betrag
r5a-abs-mod-02-GoC.png r5a-abs-mod-03-Si40C.png r5a-abs-mod-04-GoM.png r5a-abs-mod-08-GoG.png
Argument
r5a-arg-mod-072-BY.png r5a-arg-mod-072-GoR.png r5a-arg-GoG.png r5a-arg-mod-180-GoB.png

 

Rationale Funktion q(z)/p(z)
 
Realteil
r5i-re-BY.png r5i-re-mod-04-GoR.png r5i-re-mod-08-GoB.png r5i-re-mod-16-GoM.png
Imaginärteil
r5i-im-BY.png r5i-im-mod-08-GoC.png r5i-im-mod-10-GoG.png r5i-im-mod-15-SiC.png
Betrag
r5i-abs-mod-02-GoC.png r5i-abs-mod-03-Si40C.png r5i-abs-mod-04-GoM.png r5i-abs-mod-08-GoG.png
Argument
r5a-arg-mod-072-BY.png r5a-arg-mod-072-GoR.png r5a-arg-GoG.png r5a-arg-mod-180-GoB.png

 

Polardarstellung

In der obigen Auswahl wird in jedem Bild nur eine Kompo­nente dar­ge­stellt, und meist kann man nicht einmal er­ken­nen, in welcher Rich­tung der Wert dieser Kompo­nente steigt oder fällt. Bei einer geeig­neten Wahl des Farben­spek­trums könnte man diese Infor­ma­tion ver­mit­teln, aber es sähe nicht gut aus; als Bei­spiel können Sie das linke Bild in der letzten Zeile nehmen. Bei Ver­wen­dung der Polar­dar­stel­lung läßt sich ein zu buntes Bild ver­mei­den, und den­noch kann man -zumin­dest einge­schränkt und bei ein wenig Übung- das quali­ta­tive Ver­hal­ten der Funk­tion erken­nen. In die­sen Bil­dern wird das Argu­ment φz := φ(fz) in eine kräf­tige Farbe umge­setzt, wobei eine Stan­dard-Reprä­sen­ta­tion der Regen­bogen­farben zum Ein­satz kommt, der →Farben­kreis. Alle Punkte z der Grafik, deren Funk­tions­wert fz das Argu­ment φz = 0° haben, werden rot ge­zeich­net; φz = 60° führt zu einem gelben Punkt im Bild, φz = 120° wird grün, danach folgen im 60°-Abstand cyan (=türkis), blau, magenta (=lila) und wieder rot. Damit sieht man für jeden Punkt der Grafik, in wel­cher Rich­tung vom Ur­sprung aus gese­hen das Bild des Punk­tes liegt; über den Ab­stand vom Ur­sprung ist damit jedoch noch nichts gesagt. Da dieser, wie schon er­wähnt, belie­big groß sein kann, ist eine line­are Trans­forma­tion der Art 'je größer der Betrag, desto heller der Punkt auf dem Bild' wenig hilf­reich. Statt dessen wird der Betrag eine Klei­nig­keit ver­größert und loga­rith­miert (der Betrag kann den Wert 0 anneh­men, aber log(0) ist nicht defi­niert!) und das Resul­tat mit dem Cosi­nus nach [-1,1] und von dort linear nach [0,1] trans­for­miert. Dieser Wert dient als Hellig­keits­filter: ist er nahe 0, er­scheint der Punkt in der Grafik dunkel, ist er nahe 1, behält der Bild­punkt seine Farbe in voller Hellig­keit.
Werte im Inter­vall [0,1] kann man durch Expo­nen­tia­tion weiter 'ver­bie­gen': beim Qua­drie­ren bei­spiels­weise wird die Grafik ins­ge­samt dunk­ler, aber hohe Werte (in der Nähe von 1) bleiben hoch. Wurzel­ziehen hin­ge­gen hat den gegen­tei­ligen Effekt: die Grafik wird ins­ge­samt heller, und nur Werte nahe 0 blei­ben nie­drig. Ver­wen­det man für dieses Hellig­keits­filter sowohl Argu­ment als auch Betrag jedes Funk­tions­wertes und kombi­niert beide Werte z.B. durch Addi­tion oder Multi­pli­ka­tion, kann man ein Gitter des Funk­tions­gra­phen erzeu­gen, das einen Ein­druck vom Verlauf der Funk­tion gibt.
Die 'normalen' Trans­forma­tionen liefern Gra­fi­ken, in denen jede Farbe in jeder Hellig­keit auf­tre­ten kann. Die fol­gen­de Auswahl bietet jedoch auch Bilder mit einer 'Binär'-Trans­for­ma­tion: Ist ein Filter-Wert (Argu­ment oder Betrag, je­weils modulo einer Periode) größer als eine vorde­fi­nierte Schwelle, wird er zur 1 korri­giert, sonst zur 0. Erst diese korri­gier­ten Werte werden mit Addi­tion usw. zusam­men­ge­setzt, wobei hier auch logi­sche Opera­toren wie 'gleich' und 'ungleich' zum Ein­satz kommen. Die Zweit-Über­schrift be­zeich­net je­weils die Art der Ver­knüpfung von Betrags- und Argu­ments-Trans­for­mier­ten.

Polynom p(z)
 
Multiplikation
p5a-polar-w8m.png p5a-polar-w2im.png p5a-polar-w2mi.png p5a-polar-w2imi.png
Addition
p5a-polar-x2a.png p5a-polar-x2ia.png p5a-polar-x2ai.png p5a-polar-x2iai.png
Subtraktion
p5a-polar-sub.png p5a-polar-si.png p5a-polar-w2si.png p5a-polar-w4isi.png
Multiplikation/Exponentiation
p5a-polar-mw4.png p5a-polar-maw2.png p5a-polar-max1.png p5a-polar-msx1.png
Addition/Exponentiation
p5a-polar-aaw4.png p5a-polar-aaw2.png p5a-polar-aax1.png p5a-polar-sax2.png
Subtraktion/Exponentiation
p5a-polar-asw8.png p5a-polar-asw4.png p5a-polar-asw2.png p5a-polar-asx1.png
Log-Binary
p5a-polar-log-bin03-a.png p5a-polar-log-bin05-b.png p5a-polar-log-bin04-c.png p5a-polar-log-bin02-e.png
Log-Binary Invert
p5a-polar-log-bin02-inv-a.png p5a-polar-log-bin02-inv-b.png p5a-polar-log-bin02-inv-c.png p5a-polar-log-bin02-inv-e.png
Log-Binary Not-Equal
p5a-polar-log-bin07-ne-b.png p5a-polar-log-bin07-ne-c.png p5a-polar-log-bin07-ne-d.png p5a-polar-log-bin07-ne-e.png
Log-Binary Equal
p5a-polar-log-bin05-eq-b.png p5a-polar-log-bin04-eq-c.png p5a-polar-log-bin03-eq-d.png p5a-polar-log-bin02-eq-e.png

 

Rationale Funktion 1/p(z)
 
Multiplikation
p5i-polar-w8m.png p5i-polar-w2im.png p5i-polar-w2mi.png p5i-polar-w2imi.png
Addition
p5i-polar-x2a.png p5i-polar-x2ia.png p5i-polar-x2ai.png p5i-polar-x2iai.png
Subtraktion
p5i-polar-sub.png p5i-polar-si.png p5i-polar-w2si.png p5i-polar-w4isi.png
Multiplikation/Exponentiation
p5i-polar-mw4.png p5i-polar-maw2.png p5i-polar-max1.png p5i-polar-msx1.png
Addition/Exponentiation
p5i-polar-aaw4.png p5i-polar-aaw2.png p5i-polar-aax1.png p5i-polar-sax2.png
Subtraktion/Exponentiation
p5i-polar-asw8.png p5i-polar-asw4.png p5i-polar-asw2.png p5i-polar-asx1.png
Log-Binary
p5i-polar-log-bin03-a.png p5i-polar-log-bin05-b.png p5i-polar-log-bin04-c.png p5i-polar-log-bin02-e.png
Log-Binary Invert
p5i-polar-log-bin02-inv-a.png p5i-polar-log-bin02-inv-b.png p5i-polar-log-bin02-inv-c.png p5i-polar-log-bin02-inv-e.png
Log-Binary Not-Equal
p5i-polar-log-bin07-ne-b.png p5i-polar-log-bin07-ne-c.png p5i-polar-log-bin07-ne-d.png p5i-polar-log-bin07-ne-e.png
Log-Binary Equal
p5i-polar-log-bin05-eq-b.png p5i-polar-log-bin04-eq-c.png p5i-polar-log-bin03-eq-d.png p5i-polar-log-bin02-eq-e.png

 

Rationale Funktion p(z)/q(z)
 
Multiplikation
r5a-polar-w8m.png r5a-polar-w2im.png r5a-polar-w2mi.png r5a-polar-w2imi.png
Addition
r5a-polar-x2a.png r5a-polar-x2ia.png r5a-polar-x2ai.png r5a-polar-x2iai.png
Subtraktion
r5a-polar-sub.png r5a-polar-si.png r5a-polar-w2si.png r5a-polar-w4isi.png
Multiplikation/Exponentiation
r5a-polar-mw4.png r5a-polar-maw2.png r5a-polar-max1.png r5a-polar-msx1.png
Addition/Exponentiation
r5a-polar-aaw4.png r5a-polar-aaw2.png r5a-polar-aax1.png r5a-polar-sax2.png
Subtraktion/Exponentiation
r5a-polar-asw8.png r5a-polar-asw4.png r5a-polar-asw2.png r5a-polar-asx1.png
Log-Binary
r5a-polar-log-bin03-a.png r5a-polar-log-bin05-b.png r5a-polar-log-bin04-c.png r5a-polar-log-bin02-e.png
Log-Binary Invert
r5a-polar-log-bin02-inv-a.png r5a-polar-log-bin02-inv-b.png r5a-polar-log-bin02-inv-c.png r5a-polar-log-bin02-inv-e.png
Log-Binary Not-Equal
r5a-polar-log-bin07-ne-b.png r5a-polar-log-bin07-ne-c.png r5a-polar-log-bin07-ne-d.png r5a-polar-log-bin07-ne-e.png
Log-Binary Equal
r5a-polar-log-bin05-eq-b.png r5a-polar-log-bin04-eq-c.png r5a-polar-log-bin03-eq-d.png r5a-polar-log-bin02-eq-e.png

 

Rationale Funktion q(z)/p(z)
 
Multiplikation
r5i-polar-w8m.png r5i-polar-w2im.png r5i-polar-w2mi.png r5i-polar-w2imi.png
Addition
r5i-polar-x2a.png r5i-polar-x2ia.png r5i-polar-x2ai.png r5i-polar-x2iai.png
Subtraktion
r5i-polar-sub.png r5i-polar-si.png r5i-polar-w2si.png r5i-polar-w4isi.png
Multiplikation/Exponentiation
r5i-polar-mw4.png r5i-polar-maw2.png r5i-polar-max1.png r5i-polar-msx1.png
Addition/Exponentiation
r5i-polar-aaw4.png r5i-polar-aaw2.png r5i-polar-aax1.png r5i-polar-sax2.png
Subtraktion/Exponentiation
r5i-polar-asw8.png r5i-polar-asw4.png r5i-polar-asw2.png r5i-polar-asx1.png
Log-Binary
r5i-polar-log-bin03-a.png r5i-polar-log-bin05-b.png r5i-polar-log-bin04-c.png r5i-polar-log-bin02-e.png
Log-Binary Invert
r5i-polar-log-bin02-inv-a.png r5i-polar-log-bin02-inv-b.png r5i-polar-log-bin02-inv-c.png r5i-polar-log-bin02-inv-e.png
Log-Binary Not-Equal
r5i-polar-log-bin07-ne-b.png r5i-polar-log-bin07-ne-c.png r5i-polar-log-bin07-ne-d.png r5i-polar-log-bin07-ne-e.png
Log-Binary Equal
r5i-polar-log-bin05-eq-b.png r5i-polar-log-bin04-eq-c.png r5i-polar-log-bin03-eq-d.png r5i-polar-log-bin02-eq-e.png

 

Errare humanum est!

Die folgenden Bilder sind Vorläufer der obigen, denn ihr Programm entstand zuerst. Es verwendet eine falsche Implementierung der komplexen Multiplikation und erzeugt dadurch unerwartete, aber auch überraschend ansprechende Grafiken. Da dieser Beitrag nicht nur und unbedingt ein Beitrag zur Mathematik (und ihrer Präsentation) sein soll, beruft sich der Autor auf die künstlerische Freiheit, hier in der Galerie auch von diesen Ergebnissen eine kleine Auswahl zu präsentieren. Die rationalen Funktionen, Komponenten und ihre Verknüpfungen sind mit denen der obigen Auswahl identisch, nur besagter Operator ist anders definiert.

Polynom p(z)
 
Realteil
q5a-re-BY.png q5a-re-mod-04-GoR.png q5a-re-mod-08-GoB.png q5a-re-mod-16-GoM.png
Imaginärteil
q5a-im-BY.png q5a-im-mod-08-GoC.png q5a-im-mod-10-GoG.png q5a-im-mod-15-SiC.png
Betrag
q5a-abs-mod-02-GoC.png q5a-abs-mod-03-Si40C.png q5a-abs-mod-04-GoM.png q5a-abs-mod-08-GoG.png
Argument
q5a-arg-mod-072-BY.png q5a-arg-mod-072-GoR.png q5a-arg-GoG.png q5a-arg-mod-180-GoB.png

 

Rationale Funktion 1/p(z)
 
Realteil
q5i-re-BY.png q5i-re-mod-04-GoR.png q5i-re-mod-08-GoB.png q5i-re-mod-16-GoM.png
Imaginärteil
q5i-im-BY.png q5i-im-mod-08-GoC.png q5i-im-mod-10-GoG.png q5i-im-mod-15-SiC.png
Betrag
q5i-abs-mod-02-GoC.png q5i-abs-mod-03-Si40C.png q5i-abs-mod-04-GoM.png q5i-abs-mod-08-GoG.png
Argument
q5a-arg-mod-072-BY.png q5a-arg-mod-072-GoR.png q5a-arg-GoG.png q5a-arg-mod-180-GoB.png

 

Rationale Funktion p(z)/q(z)
 
Realteil
s5a-re-BY.png s5a-re-mod-04-GoR.png s5a-re-mod-08-GoB.png s5a-re-mod-16-GoM.png
Imaginärteil
s5a-im-BY.png s5a-im-mod-08-GoC.png s5a-im-mod-10-GoG.png s5a-im-mod-15-SiC.png
Betrag
s5a-abs-mod-02-GoC.png s5a-abs-mod-03-Si40C.png s5a-abs-mod-04-GoM.png s5a-abs-mod-08-GoG.png
Argument
s5a-arg-mod-072-BY.png s5a-arg-mod-072-GoR.png s5a-arg-GoG.png s5a-arg-mod-180-GoB.png

 

Rationale Funktion q(z)/p(z)
 
Realteil
s5i-re-BY.png s5i-re-mod-04-GoR.png s5i-re-mod-08-GoB.png s5i-re-mod-16-GoM.png
Imaginärteil
s5i-im-BY.png s5i-im-mod-08-GoC.png s5i-im-mod-10-GoG.png s5i-im-mod-15-SiC.png
Betrag
s5i-abs-mod-02-GoC.png s5i-abs-mod-03-Si40C.png s5i-abs-mod-04-GoM.png s5i-abs-mod-08-GoG.png
Argument
s5a-arg-mod-072-BY.png s5a-arg-mod-072-GoR.png s5a-arg-GoG.png s5a-arg-mod-180-GoB.png

 

Polardarstellung

Polynom p(z)
 
Multiplikation
q5a-polar-w8m.png q5a-polar-w2im.png q5a-polar-w2mi.png q5a-polar-w2imi.png
Addition
q5a-polar-x2a.png q5a-polar-x2ia.png q5a-polar-x2ai.png q5a-polar-x2iai.png
Subtraktion
q5a-polar-sub.png q5a-polar-si.png q5a-polar-w2si.png q5a-polar-w4isi.png
Multiplikation/Exponentiation
q5a-polar-mw4.png q5a-polar-maw2.png q5a-polar-max1.png q5a-polar-msx1.png
Addition/Exponentiation
q5a-polar-aaw4.png q5a-polar-aaw2.png q5a-polar-aax1.png q5a-polar-sax2.png
Subtraktion/Exponentiation
q5a-polar-asw8.png q5a-polar-asw4.png q5a-polar-asw2.png q5a-polar-asx1.png
Log-Binary
q5a-polar-log-bin03-a.png q5a-polar-log-bin05-b.png q5a-polar-log-bin04-c.png q5a-polar-log-bin02-e.png
Log-Binary Invert
q5a-polar-log-bin02-inv-a.png q5a-polar-log-bin02-inv-b.png q5a-polar-log-bin02-inv-c.png q5a-polar-log-bin02-inv-e.png
Log-Binary Not-Equal
q5a-polar-log-bin07-ne-b.png q5a-polar-log-bin07-ne-c.png q5a-polar-log-bin07-ne-d.png q5a-polar-log-bin07-ne-e.png
Log-Binary Equal
q5a-polar-log-bin05-eq-b.png q5a-polar-log-bin04-eq-c.png q5a-polar-log-bin03-eq-d.png q5a-polar-log-bin02-eq-e.png

 

Rationale Funktion 1/p(z)
 
Multiplikation
q5i-polar-w8m.png q5i-polar-w2im.png q5i-polar-w2mi.png q5i-polar-w2imi.png
Addition
q5i-polar-x2a.png q5i-polar-x2ia.png q5i-polar-x2ai.png q5i-polar-x2iai.png
Subtraktion
q5i-polar-sub.png q5i-polar-si.png q5i-polar-w2si.png q5i-polar-w4isi.png
Multiplikation/Exponentiation
q5i-polar-mw4.png q5i-polar-maw2.png q5i-polar-max1.png q5i-polar-msx1.png
Addition/Exponentiation
q5i-polar-aaw4.png q5i-polar-aaw2.png q5i-polar-aax1.png q5i-polar-sax2.png
Subtraktion/Exponentiation
q5i-polar-asw8.png q5i-polar-asw4.png q5i-polar-asw2.png q5i-polar-asx1.png
Log-Binary
q5i-polar-log-bin03-a.png q5i-polar-log-bin05-b.png q5i-polar-log-bin04-c.png q5i-polar-log-bin02-e.png
Log-Binary Invert
q5i-polar-log-bin02-inv-a.png q5i-polar-log-bin02-inv-b.png q5i-polar-log-bin02-inv-c.png q5i-polar-log-bin02-inv-e.png
Log-Binary Not-Equal
q5i-polar-log-bin07-ne-b.png q5i-polar-log-bin07-ne-c.png q5i-polar-log-bin07-ne-d.png q5i-polar-log-bin07-ne-e.png
Log-Binary Equal
q5i-polar-log-bin05-eq-b.png q5i-polar-log-bin04-eq-c.png q5i-polar-log-bin03-eq-d.png q5i-polar-log-bin02-eq-e.png

 

Rationale Funktion p(z)/q(z)
 
Multiplikation
s5a-polar-w8m.png s5a-polar-w2im.png s5a-polar-w2mi.png s5a-polar-w2imi.png
Addition
s5a-polar-x2a.png s5a-polar-x2ia.png s5a-polar-x2ai.png s5a-polar-x2iai.png
Subtraktion
s5a-polar-sub.png s5a-polar-si.png s5a-polar-w2si.png s5a-polar-w4isi.png
Multiplikation/Exponentiation
s5a-polar-mw4.png s5a-polar-maw2.png s5a-polar-max1.png s5a-polar-msx1.png
Addition/Exponentiation
s5a-polar-aaw4.png s5a-polar-aaw2.png s5a-polar-aax1.png s5a-polar-sax2.png
Subtraktion/Exponentiation
s5a-polar-asw8.png s5a-polar-asw4.png s5a-polar-asw2.png s5a-polar-asx1.png
Log-Binary
s5a-polar-log-bin03-a.png s5a-polar-log-bin05-b.png s5a-polar-log-bin04-c.png s5a-polar-log-bin02-e.png
Log-Binary Invert
s5a-polar-log-bin02-inv-a.png s5a-polar-log-bin02-inv-b.png s5a-polar-log-bin02-inv-c.png s5a-polar-log-bin02-inv-e.png
Log-Binary Not-Equal
s5a-polar-log-bin07-ne-b.png s5a-polar-log-bin07-ne-c.png s5a-polar-log-bin07-ne-d.png s5a-polar-log-bin07-ne-e.png
Log-Binary Equal
s5a-polar-log-bin05-eq-b.png s5a-polar-log-bin04-eq-c.png s5a-polar-log-bin03-eq-d.png s5a-polar-log-bin02-eq-e.png

 

Rationale Funktion q(z)/p(z)
 
Multiplikation
s5i-polar-w8m.png s5i-polar-w2im.png s5i-polar-w2mi.png s5i-polar-w2imi.png
Addition
s5i-polar-x2a.png s5i-polar-x2ia.png s5i-polar-x2ai.png s5i-polar-x2iai.png
Subtraktion
s5i-polar-sub.png s5i-polar-si.png s5i-polar-w2si.png s5i-polar-w4isi.png
Multiplikation/Exponentiation
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Addition/Exponentiation
s5i-polar-aaw4.png s5i-polar-aaw2.png s5i-polar-aax1.png s5i-polar-sax2.png
Subtraktion/Exponentiation
s5i-polar-asw8.png s5i-polar-asw4.png s5i-polar-asw2.png s5i-polar-asx1.png
Log-Binary
s5i-polar-log-bin03-a.png s5i-polar-log-bin05-b.png s5i-polar-log-bin04-c.png s5i-polar-log-bin02-e.png
Log-Binary Invert
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Log-Binary Not-Equal
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Log-Binary Equal
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Klaus Bernt,   15. Juli 2010