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Ausstellung „Mathe? — Einfach schön!”
Mandelbrot- und Julia-Mengen („Apfelmännchen”)


Die einfache Iteration von komplexen Zahlen nach der Formel zi+1 = zi2 + c mit einer komplexen Konstanten c kann konvergieren (z.B. gegen Null), divergieren oder keines von beiden. Der dritte Fall ist der eigentlich interessante: die Punkte der Folge springen dann in einem Teil der komplexen Ebene umher, können sich aber nicht entscheiden, ob ihr Betrag immer kleiner oder immer größer werden soll. Bekannt ist, daß die Folge, wenn eines ihrer Glieder einen Betrag größer als 2 hat, divergieren wird. Die Divergenzgeschwindigkeit kann man mit der Zahl von Iterationen messen, die zum Erreichen dieser Schranke (oder einer anderen, größeren) benötigt wird. Versieht man jede dieser Zahlen mit einer Farbe und färbt jeden Punkt c der komplexen Ebene mit der Farbe ein, die zu der Iterationszahl der Folge mit dem Startwert z0=0 gehört, ergibt sich ein Bild der Mandelbrot-Menge (Benoît Mandelbrot; französischer Mathematiker, 1924-2010) zu dieser Iteration.

Apfelmännchen Übersicht
Mandelbrot-Menge („Apfelmännchen”) im Bereich [-2.65125,0.88375]×[-1.25,1.25]

 

Wählt man ein c beliebig aber fest, und variiert die Startpunkte z0 in der komplexen Ebene, ergibt sich analog das Bild einer Julia-Menge (Gaston Julia; französischer Mathematiker, 1893-1978). Diese sieht für jedes c anders aus.

Im Bild sind vier Punkte markiert; dies sind die Zentren Mi der Mandelbrot-Ausschnitte bzw. die additive Konstante c=J3 für die Berechnung der dritten Julia-Menge. J1 und J2 sind in der Grafik nicht von M1 bzw. M2 zu unterscheiden.

 

Klaus Bernt,   15. Oktober 2011