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Ausstellung „Mathe? — Einfach schön!”
Algebraische Flächen


Global-TV-A.png   Global-TV-BA.png Global-TV-C.png  B   ball-plane-A.png Kompass-4.png  F
Global-TV-B.png   Global-TV-CAB.png Global-TV-BA-cut.png  D   rings.png Octic-A.png  H
  'Global TV'    

 

Eine Algebraische Fläche ist die Menge aller Nullstellen eines Polynoms p(x,y,z). Die Parameter x, y und z sind dabei reelle Zahlen. In den obigen Bildern ist ein Punkt mit den Koordinaten (x,y,z) eingefärbt und damit sichtbar, wenn das zum Bild gehörige Polynom p an dieser Stelle p(x,y,z) den Wert Null hat. Andere Funktionswerte c lassen sich darstellen, indem das Polynom leicht verändert wird zu q(x,y,z) := p(x,y,z)-c; dessen Nullstellen sind identisch mit den c-Stellen von p. Die Farben deuten an, ob das Polynom in der Richtung, aus der man darauf schaut, steigt oder fällt; auf der Rückseite hat die Fläche an dieser Stelle gerade die andere Farbe.

Bild A vereinigt die beiden links stehenden Bilder, und Bild C vereinigt A und B: das definierende Polynom von C ist das Produkt der Polynome von A bzw. B. Bild D zeigt im wesentlichen den Schnitt der beiden Teile, aus denen Bild A zusammengesetzt ist: die sechs Ringe, die diesen Schnitt bilden, sind durch eine kleine Konstante c 'ausgewalzt', und zwecks besserer Optik ist das Bild vergrößert dargestellt.

Für die anderen Bilder braucht man Kenntnisse wie zum Beispiel Ebenengleichung (E) oder Kugel- und Torus-Gleichung (G). Bild F verwendet die Gleichungen von Kugel und Hyperboloid, während H einen verunglückten Abstecher in die 'hohe Mathematik' zeigt. Gesucht war eine Algebraische Fläche mit vielen 'Singularitäten' (Spitzen, Kanten), aber die gefundene Schoko-Kugel sieht doch auch ganz lecker aus, oder?

 

Die Bilder wurden erstellt unter Verwendung des Programms surfer, das Sie im Internet finden unter der Adresse http://www.imaginary2008.de/surfer.php.

 

Klaus Bernt,   15. Juli 2010