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Ausstellung „Mathe? — Einfach schön!”
Rationale Funktion
Polar-Darstellung


r5i-pa-2.png r5i-polar-add-q.png   p-polar.png
Farbenkreis
r5ca-polar-mul.png r5a-polar-sub-w.png

 

Nullstellen-Muster der obigen Bilder Die obigen Bilder verwenden über­wiegend die Funk­tionen p(z) = Π(z-zi){i=0..5} und q(z) = Π(z-zi){i=6..10}. Dabei ist der Para­meter z eine kom­plexe Zahl, die aus den karte­sischen Koor­di­naten eines Bild­punk­tes gebil­det wird. Die Null­stelle z0 des Poly­noms p liegt im Ursprung; die anderen fünf mit den In­di­zes 1 bis 5 liegen gleich­mäßig auf einem Kreis darum herum. Die Null­stellen z6 bis z10 des Poly­noms q liegen gleich­mäßig auf einem Kreis mit halbem Radius des p-Kreises und gegen diesen um 36° gedreht.

Jeder Punkt eines Bil­des wird als kom­plexe Zahl z auf­ge­fasst und mit einer ratio­nalen Funk­tion p/q oder q/p abge­bil­det auf den Wert fz; dies ist eben­falls eine komplexe Zahl. Deren Argu­ment wird mit dem Far­ben­kreis in die Farbe umge­rech­net, in der der Bild­punkt z ge­zeich­net wird. Die Hellig­keit des Punktes wird mittels einer Kombi­na­tion aus Betrag und Argument, jeweils trans­formiert mit Loga­rithmus, Cosi­nus und Expo­nen­tia­tion, bestimmt. Oben links wirkt nur der Betrag, oben rechts die Summe von Betrag und Argu­ment, unten links deren Produkt und unten rechts – nicht ganz ernst gemeint – ihre Differenz. Mit dem Produkt kann man Gitter­linien der Polar­koor­dinaten aller fz erzeugen, mit der Summe hingegen eher deren Schnitt­punkte hervorheben. Die Diffe­renz sieht nur nett aus.

Als Besonderheit ist zu erwäh­nen, daß das Bild unten links p/q ver­wen­det mit ei­ner zusätz­li­chen zen­tra­len Null­stelle. Dies kann man sogar am Bild erken­nen: wenn man den Ursprung in großem Abstand umläuft, so daß alle Null­stel­len und Pole inner­halb (d.h. in Lauf­rich­tung links) die­ses Weges lie­gen, durch­läuft man den Far­ben­kreis zwei­mal in posi­tiver Rich­tung: rot, gelb, grün, cyan (=türkis), blau, magenta (=lila) und wieder rot.

Allgemein sorgt jede Null­stelle inner­halb einer Kurve für einen der­ar­ti­gen Farb-Umlauf, und jeder Pol darin wirkt ent­ge­gen­ge­setzt: die Farben werden in umge­kehr­ter Rich­tung durch­laufen. Sum­miert man die Anzahl der Null­stel­len und zieht die Anzahl der Pole ab, die von einer Kurve in mathe­ma­tisch posi­ti­ver Rich­tung (im Gegen­uhr­zei­ger­sinn) umlau­fen wer­den, so er­hält man die Anzahl der posi­ti­ven Umläu­fe durch den Farben­kreis auf dieser Kurve. Damit können Sie selber be­stim­men, ob ein Bild p/q oder q/p zeigt.

 

Klaus Bernt,   15. Juli 2010