Suche

Ausstellung „Mathe? — Einfach schön!”
Vektor-Grafik


Asterisk_41.jpg Permucur_02.jpg  B  

Ein Polygon ist eine Folge von Punkten, die mit Geradenstücken verbunden werden. In diesen Anwendungen sind die Polygone geschlossen, d.h. der erste und der letzte Punkt sind ebenfalls so verbunden.

Für jedes dieser Bilder wird ein Polygon konstruiert und entweder als Fläche farbig gefüllt oder als Linie in einer vorgegebenen Stärke gezeichnet. Durch wiederholte leichte Modifikationen des Polygons, der Farbe und – sofern sinnvoll – der Linienstärke werden die optischen Effekte dieser Bilder erzielt.

Lissajou_11.jpg Twirl-lw_28.jpg  D

A: Asterisk   Einem 2n-Eck werden abwechselnd ein großer und ein kleinerer Radius zugewiesen, wodurch ein 'Stern' (engl. Asterisk) entsteht. Der Stern wird flächig gezeichnet ('gefüllt'). Durch wiederholte Verringerung des großen Radius mit anschließendem Zeichnen in leicht veränderter Farbe entsteht ein Ring von bunten Vierecken, der einen einfarbigen, kleineren Stern umgibt. Diese Konstruktion wird mit dem leicht rotierten inneren Stern wiederholt, bis als Rest nur noch ein Gebilde aus n Strahlen im Inneren übrig bleibt. Eine weitere Variation ergibt sich durch sukzessive Drehung des Koordinatensystems nach jedem Schritt.
Mathematik: Kreisgleichung: die Punkte eines Kreises mit dem Radius r lassen sich mit den Koordinaten (r·cos(t),r·sin(t)) mit t∈[0,2π)≅[0°,360°) beschreiben.

B: Permutationskurve   Die Konstruktion folgt dem Prinzip der 'verliebten Mäuse': jedem Punkt einer n-elementigen Menge wird als Zielpunkt ein anderer dieser Punkte zugeordnet. Das Polygon aus den n Punkten (deren Reihenfolge insofern eine Rolle spielt) wird flächig gefüllt. Anschließend wandern die Polygon-Punkte entsprechend den 'Sympathie-Vorgaben' aufeinander zu, wodurch sich ein anderes Polygon ergibt, das in leicht modifizierter Farbe gefüllt wird.
Mathematik: Vektorrechnung: Zur Berechung des nächsten Polygons benötigt man die Linearkombination zweier Vorgänger-Punkte, nämlich des zu bewegenden Punktes und seines 'Schatzes'.

C: Lissajou-Figur   Die Lissajou-Figur ist eine Verwandte des Kreises bzw. der Ellipse. Während der Kreis mit Radius r die Darstellung (x,y) = (r·cos(t),r·sin(t)) hat und die Ellipse statt eines Radius r zwei i.a. verschiedene 'Halbachsen' a und b verwendet, läßt die Lissajou-Figur den Parameter t in den trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus verschieden schnell laufen: (x,y) = (a·cos(na·t),b·sin(nb·t)).
Für das Bild werden die Punkte einer (3,2)-Lissajou-Figur als Linie gezeichnet. Dies wird mit schwindendem Radius und wechselnden Farben bei konstanter Linienstärke wiederholt.
Mathematik: Lissajou-Figur (siehe oben)

D: Twirl   Dies ist eine einfache Variante der 'Permutationskurven': Ausgangs-Punktmenge ist ein regelmäßiges n-Eck, und die Punkte bewegen sich auf ihren direkten Nachbarn (alle in einer Richtung) zu.
Mathematik: Vektorrechnung: Zur Berechung des nächsten Polygons benötigt man die Linearkombination zweier Punkte, nämlich des zu bewegenden und seines Nachbarn. Für die Ausgangslage benötigt man die Ellipsengleichung.

 

Klaus Bernt,   15. Juli 2010