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Ausstellung „Mathe? — Einfach schön!”
Raster-Grafik: Rationale Funktion


rAa-im-BY.png   p-polar.png
Farbenkreis
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Nullstellen-Muster des oberen Bildes Das obere Bild zeigt keinen Kroko­dil-Rücken, sondern den Ima­gi­när­teil der kom­ple­xen ratio­nalen Funk­tion p/q, deren Zähler- und Nenner-Poly­nome die neben­ste­hen­den Null­stel­len haben. Da der Ima­gi­när­teil einer kom­plex-ratio­na­len Funk­tion unbe­schränkt ist, die zuge­hö­rige Farb-Funk­tion aber das Inter­vall [0,1] abbil­det, wird er u.a. mit Loga­rith­mus und Co­si­nus behan­delt; die Farbe sagt also nichts über den Wert des Ima­gi­när­teils aus.
Die Pole dieser Funk­tion (die Null­stel­len des Nen­ners q) sind als Punkte ober- und unter­halb der zen­tra­len hori­zon­talen Linie zu erken­nen. Die Null­stel­len des Zählers p hin­ge­gen liegen auf die­ser Linie und auf den ge­schwun­ge­nen Kurven darü­ber und darun­ter, sind aber nicht beson­ders gekenn­zeich­net.

 

Nullstellen-Muster des unteren Bildes Das untere Bild zeigt eine andere komplex-rationale Funktion mit fünf Nullstellen auf einem inneren Kreis (q) und sechs Polen im Zentrum und auf einem äußeren Kreis (p). Die Farbe jedes Bild­punktes reprä­sen­tiert mittels des Farben­kreises (siehe oben) das Argu­ment des Funk­tions­wertes, während seine Hellig­keit aus dem Pro­dukt von Argu­ments- und Betrags-Trans­for­ma­tionen berech­net wird. Auf diese Weise ent­stehen ein­far­bige Li­nien, die aus den Null­stellen und Polen der Funk­tion heraus­führen; alle Punkte auf einer sol­chen Linie werden von der ratio­nalen Funk­tion auf den­je­ni­gen Strahl von kom­ple­xen Zahlen abge­bildet, der im Farben­kreis die glei­che Farbe wie die Linie auf­weist. Folgt man hin­ge­gen einer Linie mit variie­ren­den Farben, die um eine oder meh­rere Null­stellen oder Pole herum­führt, so haben diese Punkte im Bild der ratio­na­len Funk­tion alle den glei­chen Betrag; sie lie­gen auf einem gemein­sa­men Ring des Farben­krei­ses. Diese Dar­stel­lung der Funk­tion lie­fert zwar keine exak­ten Werte, aber immer­hin eine Vor­stel­lung vom quali­ta­tiven Ver­hal­ten der Funk­tion.

Mathematik: Komplexe Zahlen.

 

Klaus Bernt,   15. Juli 2010