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Ausstellung „Mathe? — Einfach schön!”


Die folgende Seite liefert eine Link­liste zu einer Aus­wahl von Bil­dern, die mit ver­schie­de­nen Algo­rith­men er­zeugt wur­den. Die eine Gruppe von Algo­rith­men ver­wen­det Punkte auf vorge­ge­be­nen Kurven. Durch die Ver­bin­dung zu einem Poly­gon, das als Linie oder Fläche mehr­fach in ver­schie­de­nen Far­ben ge­zeich­net und dabei in Größe und/oder Lage ver­än­dert wird, ent­ste­hen deren Bil­der. Die andere Gruppe von Algo­rith­men arbei­tet auf einer Zellen-Basis: die Zeichen­fläche wird in kleine Zellen unter­teilt, jeder Zelle ein Punkt zuge­ordnet (meist ihr Mittel­punkt, aber das ist nicht zwin­gend erfor­der­lich), und eine Funk­tion an diesem Punkt ausge­wer­tet. Zum Schluß wird der Funk­tions­wert in eine Farbe trans­for­miert und die Zelle in die­ser Farbe ausge­füllt.

Mathematik
Viele der hier angewand­ten mathe­ma­tischen Kennt­nisse werden bereits in der Schule behan­delt:

  • Sinus, Cosinus, Logarithmus.
     
  • Vektorrechnung: (px,py)+(qx,qy)=(px+qx,py+qy).
     
  • Kreisgleichung: die Punkte eines Krei­ses um den Ur­sprung mit dem Radius r lassen sich mit den Koor­di­naten (r·cos(t),r·sin(t)) mit t∈[0,2π)≅[0°,360°) beschreiben.
     
  • Ellipsengleichung: die Punkte einer Ellipse um den Ursprung mit den Halb­achsen a und b lassen sich mit den Koor­di­naten (a·cos(t),b·sin(t)) mit t∈[0,2π)≅[0°,360°) beschreiben.
     
  • Lissajous-Figur: die Punkte einer Lissajous-Figur um den Ursprung mit den Halb­achsen a und b lassen sich mit den Koor­di­naten (a·cos(na·t),b·sin(nb·t)) mit t∈[0,2π)≅[0°,360°) beschreiben. Sind na und nb ganze Zahlen, ist die Figur geschlossen. Man bedenke dabei die Möglichkeit, daß die sichtbare Kurve mehrfach durchlaufen wird!
     
  • Geradengleichung in der Hesseschen Normalform: A·x + B·y + C = 0   mit A²+B²=1
    Setzt man in den Term A·x + B·y + C einen belie­bi­gen Punkt (x,y) ein, so lie­fert er den Abstand des Punk­tes von der Geraden.
     
  • Parabel: y(x) = a·x² + b·x + c.
     
  • Hyperbel: y(x) = a / x + c.
     
  • Even-Odd-Algorithmus: Beim 'Füllen' eines geschlos­senen Poly­gons stellt sich für jeden Bild­punkt die Frage, ob er inner­halb oder außer­halb des Poly­gons liegt; nur die inne­ren Punkte werden farbig markiert. Ein mög­licher Algo­rith­mus sagt: „Ein Punkt liegt innen, wenn jeder Weg ins Unend­liche das Poly­gon queren muß” (das Poly­gon bildet um den Punkt herum eine geschlos­sene Linie). Der Even-Odd-Algo­rith­mus hin­gegen zählt die Schnitt­punkte eines belie­bigen, vom Punkt aus­ge­hen­den Strahls mit dem Poly­gon: ist die Anzahl gerade (engl. 'even'), liegt der Punkt außer­halb, ist sie unge­rade (engl. 'odd'), liegt er inner­halb. Dadurch kann die flächige Fül­lung eines ge­schlos­se­nen Poly­gons 'Löcher' be­kom­men, wenn sich das Poly­gon selbst schneidet.
     
  • compl Komplexe Zahlen: Man definiert die kom­plexe Ein­heit i mit­tels der Eigen­schaft i²=-1. Objekte der Gestalt x+iy (x, y reelle Zahlen) werden 'komplexe Zahlen' genannt. Mit (x+iy)+(a+ib)=(x+a)+i(y+b) und (x+iy)·(a+ib)=(x·a-y·b)+i(y·a+x·b) werden 'natürliche' Erwei­te­run­gen der reel­len Addi­tion bzw. Multi­pli­kation defi­niert.
    Man kann die komple­xen Zahlen als Punkte einer Ebene auf­fassen: trägt man den Real­teil x hori­zontal und den Ima­gi­när­teil y verti­kal (mit der Ein­heit i) auf, so sieht man die Entsprechung zwischen den karte­si­schen Koor­di­naten (x,y) eines Punktes der Ebene und der kom­ple­xen Zahl x+iy. Alter­nativ kann man die gleiche Zahl in Polar­koor­di­naten schrei­ben: r·(cos(φ)+i·sin(φ)). Dabei ist der Betrag r iden­tisch mit dem Wert sqrt(x²+y²). Das Argu­ment φ ist der Winkel (im Bogen­maß, also im Bereich [0,2π)) zwischen der posi­ti­ven x-Achse und dem Strahl vom Ursprung zur Zahl x+iy (analog: zum Punkt (x,y)) gemes­sen in mathe­ma­tisch posi­ti­ver Rich­tung (Gegen­uhr­zei­ger­sinn).

 
Copyright © 2010 Klaus.Bernt@math.uni-augsburg.de
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Die Links in den folgen­den Erläu­te­rungs-Titeln führen zu den ent­spre­chen­den Stel­len der →Galerie.

 

Asterisk

Einem 2n-Eck werden abwech­selnd ein großer und ein klei­ne­rer Radius zuge­wie­sen, wodurch ein 'Stern' (engl. Asterisk) ent­steht. Der Stern wird flächig ge­zeich­net. Durch wieder­holte Ver­rin­ge­rung des großen Radius mit anschließen­dem Zeich­nen in leicht verän­der­ter Farbe ent­steht ein Ring von bunten Vier­ecken, der einen ein­far­bigen, klei­ne­ren Stern umgibt. Diese Kon­struk­tion wird mit dem inne­ren Stern wieder­holt, bis als Rest nur noch ein Gebilde aus n Strah­len im Inne­ren übrig bleibt. Für das rechte Bild wird der innere Stern jeweils zuerst in die Rich­tung des äuße­ren Sterns ausge­rich­tet, bevor die Sequenz 'Radius ver­rin­gern, Farbe ändern, füllen' wieder­holt wird. Eine wei­tere Varia­tion ergibt sich durch suk­zes­sive Dre­hung des Koor­di­na­ten­systems nach jedem Schritt.
Mathematik: Kreisgleichung.
Asterisk_38.jpg Asterisk_41.jpg

Epizykel

Zur Konstruktion eines Epizykels werden zwei Kreis-Kon­strukte mit­ein­ander über­lagert:
    (x,y) = (a·cos(na·t)+b·cos(to+nb·t),a·sin(na·t)+b·sin(to+nb·t)).
Dies war lange Zeit der theore­tische Ansatz zur Erklä­rung der von der Erde aus beob­ach­te­ten Plane­ten­be­we­gun­gen, bis diese Theo­rie auf­grund ver­bes­ser­ter Mes­sun­gen nicht mehr halt­bar blieb. Ein sol­cher Epi­zykel (die Para­meter sind so ge­wählt, daß die Kurve ge­schlos­sen ist) wird z.B. mit dem Even-Odd-Algo­rith­mus (siehe oben) gefüllt. Wieder­holung mit Ver­klei­ne­rung des Haupt­radius a und leich­ter Dre­hung des Koor­di­na­ten­systems ergibt das Bild. Als Alter­native werden die Epi­zykel nicht gefüllt, son­dern mit gerin­ger wer­den­der Stärke als Linien ge­zeich­net. Die Resul­tate zei­gen zwar auch 'Löcher', sehen aber den­noch anders aus als even-odd-gefüllt. Die Bilder in der Mitte und rechts sind nach­träg­lich in die Breite gezo­gen: so sehen die Kreise aus wie Ellipsen.
Mathematik: Even-Odd-Algo­rith­mus, Kreis­glei­chung und Vektor­rech­nung: Der Mittel­punkt des Epi­zykels bewegt sich auf einer Kreis­bahn. Der jeweils aktu­elle Epi­zykel-Punkt muß zum aktu­ellen Punkt dieses Kreises addiert werden.
Epizykel_01.jpg Epizykel-lw_41.jpg Epizykel-lw_53.jpg

Cross

Die Punkte von vier Vier­tel-Ellip­sen sowie die Eck­punkte und der Mittel­punkt eines Recht­ecks bilden die Kon­struk­tions­basis für die Kreuz-Bilder (engl. Cross). Jeweils wird ein Viereck aus Recht­eck-Mittel­punkt, einem Seiten-Mittel­punkt, einem Seiten-Eck­punkt und einem Ellip­sen-Punkt ein­far­big gefüllt. Das rechte Bild zeigt eine ähn­liche Kon­struk­tion, arbei­tet aber nicht mit Flächen­füllung, sondern mit wieder­holtem Linien-Zeich­nen.
Mathematik: Ellipsengleichung.
Cross_03.jpg Cross-lw-bw_08.jpg

Eye

Eine Ellipse wird flächig gefüllt. Die große Halb­achse wird wieder­holt ver­klei­nert und die resul­tie­rende Ellipse -mit anderer Farbe- wieder gefüllt. Nach einigen derar­tigen Schrit­ten ist aus der großen Halb­achse die klei­nere gewor­den, und das Ver­fahren wird mit ver­tausch­ten Rollen der Halb­achsen wieder­holt. Die Kon­struk­tion ähnelt inso­fern dem 'Asterisk'. Das rechte Bild zeigt eine ähn­liche Kon­struk­tion mit wieder­holtem Linien-Zeichnen.
Mathematik: Ellipsengleichung.
Eye_02.jpg Eye-lw_28.jpg

Lissajous

Die Lissajous-Figur ist eine Ver­wandte des Krei­ses bzw. der Ellipse. Während der Kreis mit Radius r die Dar­stel­lung (x,y) = (r·cos(t),r·sin(t)) hat und die Ellipse statt eines Radius r zwei i.a. ver­schie­dene 'Halb­achsen' a und b ver­wendet, läßt die Lissajous-Figur den Para­meter t in den trigo­no­me­tri­schen Funk­tio­nen Sinus und Cosinus ver­schie­den schnell laufen: (x,y) = (a·cos(na·t),b·sin(nb·t)).
Für das linke Bild werden die Punkte einer (3,2)-Lissajous-Figur als Linie ge­zeich­net. Dies wird mit schwin­denden Halb­achsen und wech­seln­den Farben bei kon­stan­ter Linien­stärke wieder­holt. Für das rechte Bild wird eine (5,3)-Lissajous-Figur als Linie wieder­holt mit schwin­den­der Linien­stärke und wech­seln­den Farben bei kon­stan­ten Halb­achsen ge­zeichnet.
Mathematik: Lissajous-Figur.
Lissajou_11.jpg Lissajou-lw_19.jpg

Polyzykel

Die Punkte eines regel­mäßi­gen n-Ecks werden nach Art eines Penta­gramms zum Poly­gon ver­bun­den und mehr­fach unter Ände­rung der Farbe und Dre­hung des Koor­di­na­ten­systems als Linie mit kon­stan­ter Stärke gezeich­net. Durch eine nach­träg­liche Deh­nung der X-Achse erscheint der ursprüng­liche Kreis als Ellipse.
Mathematik: Kreisgleichung.
Polyzykel_09.jpg

Permutationskurven

Die Konstruktion folgt dem Prinzip der 'ver­lieb­ten Mäuse': jedem Punkt einer n-ele­men­tigen Menge wird als Ziel­punkt ein ande­rer dieser Punkte zuge­ordnet. Das Poly­gon aus den n Punk­ten (deren Reihen­folge inso­fern eine Rolle spielt) wird flächig gefüllt. Anschließend wandern die Poly­gon-Punkte ent­spre­chend den 'Sympa­thie-Vor­gaben' auf­ein­ander zu, wodurch sich ein ande­res Poly­gon ergibt, das in leicht modi­fi­zier­ter Farbe ge­füllt wird.
Mathematik: Vektorrechnung: Zur Berechung des nächsten Poly­gons benö­tigt man die Linear­kom­bi­na­tion zweier Vor­gän­ger-Punkte, nämlich des zu bewe­gen­den Punk­tes und sei­nes 'Schatzes'.
Permucur_02.jpg Permucur_14.jpg

Twirl

Dies ist eine einfache Vari­ante der 'Permu­ta­tions­kurven': Aus­gangs-Punkt­menge ist ein regel­mäßi­ges n-Eck, und die Punk­te bewe­gen sich auf ihren direk­ten Nach­barn (alle in einer Rich­tung) zu.
Mathematik: Vektorrechnung: Zur Berechung des nächsten Poly­gons benö­tigt man die Linear­kom­bi­na­tion zweier Punkte, nämlich des zu bewe­gen­den und seines Nach­barn. Für die Aus­gangs­lage benö­tigt man -wieder einmal- die Kreis­glei­chung. Durch eine nach­träg­liche Deh­nung der X-Achse er­scheint der ur­sprüng­liche Kreis als Ellipse.
Twirl_07.jpg Twirl-lw_28.jpg

Sphere

Der Kugel-Effekt (engl. Sphere) ent­steht durch wieder­holtes Zeich­nen eines Krei­ses mit schwin­den­dem Radius und leicht modi­fi­zier­ter Farbe, wobei der Mittel­punkt der Kreise leicht verän­dert wird, aber alle Kreise inner­halb des Basis-Kreises liegen. Diese Kugel-Kon­struk­tion wird unter Ver­wen­dung eines Zufalls­gene­rators zur Steue­rung von Basis-Koor­di­naten und -Radius wieder­holt, wobei die zuerst ge­zeich­neten Kugeln größer sein dürfen als die letzten.
Mathematik: Neben der Kreis­gleichung spielt hier die Kon­struk­tion von 'Zufalls­zahlen' eine Rolle.
Sphere_05.jpg

Gitter-Polster

Für jeden Bildpunkt (x,y) wird ein Produkt von Differenzen ausgerechnet: ∏(x-xi)·(y-yi){i=1..4}. Die Punkte (xi,yi){i=1..4} sind dabei vorge­geben; im Bild sind sie als Schnitt­punkte der hori­zon­talen und verti­kalen Linien zu er­ken­nen. Mit Loga­rith­mus und Cosi­nus wird das Resul­tat trans­for­miert, damit die opti­sche Wir­kung eines nach oben gewölb­ten Polsters ent­steht.
Mathematik: Subtrahieren, Multiplizieren.
Grid-2-2-BY.png

Rosette

Die Bilder zeigen das Produkt zweier Sinus-Funk­tio­nen, wobei die eine den Betrag jedes Punk­tes als Para­meter ver­wen­det, die andere dessen 'Argument' (Winkel zwischen der posi­ti­ven X-Achse und einem Strahl, der vom Ur­sprung zu diesem Bild­punkt führt). Die beiden Bilder unter­schei­den sich allein durch die Farb­ge­bung.
Mathematik: Sinusfunktion, Polarkoordinaten.
Rosette-9-5-BY.png Rosette-9-5-RC.png

Complex

Die Darstellung einer Funktion in den kom­ple­xen Zahlen ist nicht ganz einfach, da ins­ge­samt vier Dimen­sio­nen ver­füg­bar sein müssen: zwei für den abzu­bil­den­den Punkt und zwei wei­tere für das Bild dieses Punktes. Ein üb­liches Ver­fah­ren ist, nur ein­zelne Bild­kom­po­nen­ten zu be­trach­ten: Real­teil, Imagi­när­teil, Betrag oder Argu­ment. Der­ar­tige Bilder liegen am Bei­spiel einer kom­plex-ratio­nalen Funk­tion vor.
Um beide zusam­men­ge­hö­ren­den Kompo­nen­ten des Funk­tions­gra­phen in einem Bild zu zeigen, kann eine Farb­ko­die­rung der einen Kompo­nente hilf­reich sein. Hier­bei bietet sich an, die ein­zige beschränkte Kompo­nente -das Argu­ment- für diese Kodie­rung zu ver­wen­den, zumal der →Farben­kreis eine Stan­dard-Kodie­rung dar­stellt. Die Hellig­keit kann dann für die Dar­stel­lung der ande­ren Kompo­nente -Betrag- ver­wen­det werden.
Das letzte Beispiel zeigt, was pas­siert, wenn die kom­plexe Multi­pli­ka­tion mit den Opera­toren '*' und '/' nicht kor­rekt rea­li­siert wird.
Mathematik: Komplexe Zahlen.
p5a-im-BY.png r8a-im-BY.png r8i-im-BY.png r8i-pol-BY.png rAa-im-BY.png
r5a-re-mod-180-GoM.png r5a-im-mod-180-GoC.png r5i-re-mod-180-GoG.png r5i-im-GoB.png r5i-im-GoR.png
r5i-pa-2.png r5i-polar-q3ii.png r5i-polar-add-q.png r5a-polar-sub-w.png r5ca-polar-mul.png
r5i-arg-mod-072-Si40C.png r5a-abs-mod-180-GoC.png s5i-abs-mod-360-GoM.png    

Penta-Star

Die Zeichenfläche trägt fünf Geraden, die sich nach Art eines Penta­gramms kreuzen. Für jede Zelle der Fläche (bzw. ihren Refe­renz­punkt) wird das Produkt der Ab­stän­de zu die­sen Li­nien ge­bil­det und in eine Farbe trans­formiert.
Mathematik: Geradengleichung in der Hesseschen Normalform.
Penta-Star-A-45-3600-BY.png Penta-Star-C-80-3600-BY.png Penta-Star-E-30-3600-BY.png Penta-Star-E-35-3600-BY.png

Geraden-Stern

Die Zeichen­fläche trägt fünf Gera­den, die sich im Ursprung kreuzen. Für jede Zelle der Fläche (bzw. ihren Refe­renz­punkt) wird das Produkt der Abstände zu die­sen Gera­den gebil­det und in eine Farbe trans­for­miert. Es han­delt sich also um eine Va­ri­ante des Penta-Sterns. Die beiden Bilder unter­schei­den sich allein in der Farb­gebung.
Mathematik: Geradengleichung in der Hesseschen Normalform.
Straight_01-BY.png Straight_02-BY.png

Parabel- oder Hyperbel-Stern

Die Zeichenfläche trägt mehrere Parabeln oder Hyper­beln, die sich um den Ursprung ver­sam­meln. Für jede Zelle der Fläche (bzw. ihren Refe­renz­punkt) wird eine Funk­tion der Ab­stän­de zu die­sen Linien ge­bil­det und in eine Farbe trans­for­miert. Es han­delt sich also um eine kom­pli­zier­tere Vari­ante des Penta-Sterns: es ist der Ab­stand eines Punk­tes zu einer Para­bel oder einer Hyper­bel zu be­rechnen!
Mathematik: Parabel- bzw. Hyperbel­gleichung und Abstands­be­stim­mung zwischen einem Punkt und Para­bel bzw. Hyperbel.
Hyperbel-3-1500-BY.png Hyperbel-5-2000-BY.png Parabel_01-BY.png Parabel_02-BY.png Parabel_04-BY.png

Penta-Kreis

Das Bild zeigt das Produkt der Abstände je­des Punk­tes von fünf Kreisen.
Mathematik: Kreisgleichung.
PentaCycle-5-BY.png

 

Algebraische Flächen

Der zweite Teil der Ausstellung zeigt →Algebraische Flächen. Dabei handelt es sich um eine Visua­li­sie­rung von Null­stel­len von Poly­nomen p in drei unab­hän­gi­gen Para­metern x, y, z. Einge­färbt und damit sicht­bar sind alle Punkte (x,y,z) inner­halb eines kugel­för­migen Defi­ni­tions­be­rei­ches mit p(x,y,z) = 0.

 

Penrose-Pflasterungen

Als weiterer Beitrag (© Prof. Eschenburg, H. J. Rivertz) werden die Penrose-Pflaste­run­gen mit glo­ba­ler 7-Symme­trie gezeigt: 'Hohe Mathe­matik' und ein­fach wunder­schön. Davon gibt es genau drei Stück:
heprose-1.png heprose-2.png heprose-3.png

 

Mandelbrot- & Julia-Mengen

Seit den 1980er-Jahren sind Bilder diese Mengen unter dem Namen →„Apfelmännchen” bekannt. Hier einige Kostproben:
mandel-00c mandel-71 mandel-83-2 mandel-79 mandel-72k
julia-35 julia-13 julia-52-3 julia-00-3 julia-47-blue

 

Copyright © 2010, 2011 Klaus.Bernt@math.uni-augsburg.de
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Was gibt's noch?

Zum Schluß sei auf die →Galerie hinge­wiesen, die noch viel mehr Bilder aus den Berei­chen Vektor- und Raster-Grafik zeigt. Die Aus­stel­lung ist nur eine kleine Aus­wahl davon!

Eine Auswahl der 'Ausstel­lung' hängt ge­druckt als Aus­stel­lung unter dem Titel „Mathe? — Einfach schön!” aus. Deren Exponate und ihre Be­schrei­bun­gen liegen eben­falls →online vor.

 

Klaus Bernt,   15. Juli 2010