Forschungsgebiete

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Repräsentation und Entscheidungsfindung in politischen Gremien (Professor Pukelsheim)

Methoden der proportionalen Repräsentation werden bei Verhältniswahlen eingesetzt oder bei der Zuteilung von Parlamentssitzen an Wahldistrikte oder bei der Anpassung von statistischen Tabellen an vorgegebene Randhäufigkeiten oder bei gleichgelagerten Fragestellungen. Die Verrechnung von Stimmen in Sitze stellt sich aus mathematischer Sicht als die Aufgabe dar, (kontinuierliche) Stimmenverteilungen durch (diskrete) Sitzanteile zu approximieren, weshalb zu ihrer Untersuchung stochastische wie auch diskrete Ansätze dienlich sind. Dieser doppelte Ansatz hilft auch bei der Analyse gewichteter Entscheidungsverfahren, die für Gremien wie den Ministerrat der Europäischen Union von Bedeutung sind. Ein besonderes Augenmerk gilt dem Anspruch, welche quantitativ-operationale Verfahren mit den qualitativ-normativen Vorgaben aus Verfassungsrecht und Politikwissenschaft möglichst gut harmonieren.

Statistische Versuchsplanung (Professor Pukelsheim)

Die mathematische Behandlung von Versuchsplanungsproblemen benutzt Methoden der Statistik, der linearen Algebra und der konvexen Analysis. In diesen Querbeziehungen über mehrere mathematische Bereiche hinweg liegt ein besonderer Reiz. Als Beispiel stelle man sich eine mit mehreren Reglern steuerbare Fertigungsmaschine vor, für die eine optimale Einstellung zu finden ist, um für das Endprodukt eine gleichbleibend hohe Qualität zu garantieren. Das Durchprobieren aller möglichen Einstellungen scheitert in der Praxis an Zeit- und Kostenbeschränkungen. Die statistische Versuchsplanung zeigt Wege auf, mit den Daten aus vergleichsweise wenigen Versuchsläufen eine fast optimale Entscheidung zu treffen. Am hiesigen Lehrstuhl werden insbesondere Anwendungen für die Verbesserung von industriellen Fertigungsprozessen untersucht.

Stochastische Geometrie (Professor Heinrich)

Die stochastische Geometrie stellt Modelle zur Beschreibung und Verfahren zur statistischen Analyse von zufälligen geometrischen Strukturen zur Verfügung. Derartige Gebilde treten u.a. als Gefügestrukturen oder bei mikorskopischen Gewebeuntersuchungen und generell bei Problemen der Bildverarbeitung und Mustererkennung auf. Zu den Grundtypen von Modellen zählen die zufälligen Punktmuster (Punktprozesse), Geraden- und Faserprozesse, zufällige Mosaike sowie Keim-Korn-Prozesse. Beim letzteren handelt es sich um zufällig verstreute und teils sich überlappende zufällige Figuren. Zur Behandlung solcher Zufallsmengen werden geometrische und stochastische Kenngrößen definiert, zu deren Analyse fortgeschrittene Ergebnisse sowohl der Integralgeometrie als auch der Wahrscheinlichkeitsrechnung herangezogen werden. Ein interessantes und praktisch relevantes Problem ist die Gewinnung von Aussagen über 3D-Strukturen durch die statistische Analyse von linearen und ebenen Schnitten. Derartige Methoden werden unter dem Schlagwort "Stereologie" zusammengefasst.

Räumliche Statistik und Stereologie (Professor Heinrich)

Alle stochastisch-geometrischen Modelle von punkt-, linien- oder kornartigen Strukturen in einem euklidischen Raum verlangen geeignete statistische Verfahren zur Schätzung sowohl von Parametern als auch von nichtparametrischer Kenngrößen, welche die Modelle beschreiben. Damit verbunden sind auch statistische Testverfahren und Methoden zur Modellidentifikation. In der Regel wird dabei von einer einzigen Beobachtung in einem möglichst großen Beobachtungsfenster ausgegangen. Meist wird eine unbegrenzt wachsende Fensterfolge (large domain statistics) angenommen, was bei einigen Modellklassen – insbesondere beim Poissonschen Kornmodell (Boolesches Modell) – zu akzeptablen asymptotischen Verfahren geführt hat. Insgesamt ist festzustellen, daß im Vergleich zur klassischen Mathematischen Statistik die räumlich Statistik noch recht gering entwickelt ist. Hauptprobleme sind einerseits die Modellkomplexität und die vergleichsweise geringe Information aus der Beobachtung und andererseits die den Modellen innewohnenden stochastischen und geometrischen Abhängigkeiten. Ein interessantes und praktisch relevantes Problem ist die Gewinnung von Aussagen über 3D-Strukturen durch die statistische Analyse von linearen und ebenen Schnitten. Derartige Methoden werden unter dem Schlagwort "Stereologie" zusammengefaßt.

Die jeweils aktuellen Arbeiten finden Sie in den Publikationsverzeichnisse der einzelnen Autoren (wie z.B. Pukelsheim oder Heinrich).

Themen für Diplom- und Zulassungsarbeiten:

Studenten, die erwägen, am Lehrstuhl für Stochastik und ihre Anwendungen ihre Diplom- oder Zulassungsarbeit zu schreiben, sind herzlich willkommen. Sie werden dringend gebeten, sich von Professor Pukelsheim oder Professor Heinrich frühzeitig beraten zu lassen.

Die Examensarbeit ist ein wichtiges Projekt – vielleicht sogar das wichtigste Projekt – in Ihrem Studium. Damit Sie sich mit dem Thema identifizieren, sollten Sie sich auch selber fragen, wohin Sie Ihren Schwerpunkt legen möchten. Mehr Statistik, mehr Wahrscheinlichkeitstheorie? Mehr mathematische Theoreme, mehr praktische Datenanalyse? Nur theoretisches Studium von Algorithmen oder auch praktische Implementation oder Simulation auf dem Computer?

Hier ist eine Liste von Forschungsgebieten, in denen Ihr Thema angesiedelt sein könnte:

• Mathematische Statistik
• Statistische Methoden zur Qualitätsverbesserung industrieller Fertigungsprozesse
• Stochastische Modellierung von Kommunikationsnetzen
• Rundungsprobleme für diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
• Mandatszuteilungsmethoden für Verhältniswahlen
• Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen
• Statistische Methoden der Stereologie
• Stochastische Methoden der Finanz- und Versicherungsmathematik

Thema und Umfang werden so definiert, daß die in der Studien- und Prüfungsordnung vorgesehene Zeitspanne zur Bearbeitung ausreicht, wenn Sie Ihre Arbeitszeit weitestgehend für dieses Projekt reservieren. Bei der Erstellung Ihrer Arbeit sollten Sie folgende Empfehlungen für die formale Gestaltung einer Diplomarbeit beachten.

Sie sehen: Es gibt viele Möglichkeiten, und es gibt viel zu bedenken. Deshalb noch einmal die dringende Bitte, frühzeitig zu einem beratenden Gespräch bei Professor Pukelsheim oder Professor Heinrich anzuklopfen.

Professor Dr. F. Pukelsheim, Professor Dr. L. Heinrich