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Visualisierungen:
Taylor-Approximation invarianter Faserbündel (vgl. Pötzsche und Rasmussen: Taylor Approximation of Invariant Fiber Bundles for Nonautonomous Difference Equations, erscheint in: Nonlinear Analysis. Theory, Methods & Applications):
Kuang und Cushing (Global stability in a nonlinear difference-delay equation model
of flour beetle population growth, Journal of Difference Equations and Applications 2(1)
(1996), 31-37) betrachten folgende Differenzengleichung
zur Beschreibung einer Mehlkäferpopulation. Wir betrachten Parameter a=678559/891000 und b=11/10, sowie Kannibalismusraten βk=1-(1/π)arctan(k) und δk=1+(1/π)arctan(k). Die folgende Animation zeigt die Taylor-Approximation sechster Ordnung der zur trivialen Lösung gehörigen stabilen (Dimension 2) und instabilen Faserbündel (Dimension 1) des korrespondierenden Systems erster Ordnung mit entkoppeltem Linearteil. Die Zeit k=-20...20 ist als Animationsparameter dargestellt. Die Berechnungen wurden mit unserem Maple-Programm IFB_Comp durchgeführt.
Taylor-Approximation von Integralmannigfaltigkeiten (vgl. Pötzsche und Rasmussen: Taylor Approximation of Integral Manifolds):
Wir betrachten folgende FitzHugh-Nagumo-Gleichung mit quadratischer Kopplung
Die Frage nach Lösungen der Form (U,V)(x+ct)=(u,v)(x,t) führt auf die gewöhnliche Differenzialgleichung
Wir setzen c=√2.
Nachfolgende Animation zeigt die Taylor-Approximation vierter Ordnung der zur trivialen Lösung gehörigen zentral-stabilen und zentral-instabilen Integralmannigfaltigkeit, wobei wir den Linearteil entkoppelt haben. Die Zeit t=-8...8 ist als Animationsparameter dargestellt und es ist a(t)=arctan(t).
Gegebenenfalls existente Travelling-Waves-Lösungen verlaufen auf dem Schnitt dieser beiden Integralmannigfaltigkeiten.
Martin Rasmussen, Oktober 2004
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